Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 28

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Ємність. Припустимо, що струм іс) в ємності має зображення £\іс )] = Іс (р), а напруга ис ) - зображення Х[ис )] = ис (р). Миттєве зна­чення напруги на ємності становить:

1 ї

с -оо

Якщо поділити інтервал інтегрування на два півінтервали: (-оо,+0] та (+ 0, ї ], тоді

1 +0 1 ї

сс+0

Тобто напруга на ємності для ї > +0 складається з двох доданків, перший з яких враховує напругу в момент комутації і дорівнює постійній величині 1 +0

ис (+0) = — | іс ) сії, яка пропорційна площі, обмеженій кривою струму іс ) та

с -оо

віссю ї на півінтервалі (- а,+0].

Тоді попереднє рівняння записується у вигляді:

1 '

ис ) = ис (+0) + - \ -с ) сіі. (3.14)

с + 0

Напругу ис (+0) можна також вважати напругою на затискачах ідеального

джерела напруги, яке умовно приєднується послідовно з ємністю в момент ко­мутації. Дію цієї напруги на коло для і > 0 враховують функцією ис (+0) 1(і),

зображення якої за формулою (3.3) становить:

£[ис ) !(; )] = ис(^.

р

Другий доданок у виразі (3.14) відповідає змінній напрузі на ємності для і > 0 . Ця напруга обумовлена струмом ), який належить до простору оригіналів. Згідно з табл.3.2 визначають зображення цього доданку:

І с ( р)

рс '

Остаточно перетворення за Лапласом виразу (3.14) матиме вигляд:

ис(р) = + с(р). (3.15)

р рс

Якщо початкові умови нульові: ис (-0) = 0, з урахуванням другого закону комутації ис (+0) = ис (-0) = 0 рівняння (3.15) буде таким:

ис (р) = ~1сІс ( р). (3.16)

рс

Коефіцієнт при зображенні струму у формулі (3.16) називають оператор-ним опором ємності та позначають

1 1

~\ -с )

с(Р)

1

РС (3.17)

Вираз (3.16) є операторною формою закону Ома для ємності за нульових початкових умов. Слід зазначити, що операторні опори можна перетворити в комплексні опори формальною заміною оператора р на у'со. Функція комплек­сної змінної р, обернена операторному опору, є операторною провідністю.

Відповідні формули операторних опорів і провідностей елементів кола наведені у табл.3.3.

Таблиця 3.3 - Операторні опори і провідності

Елемент кола

Операторний опір

Операторна провідність

Я

Я

О = 1/Я

Ь

(р) = рЬ

¥ь (р) = 1/рЬ

С

2с (р) = 1/рС

Ус (р) = рС

3.4 Операторна форма закону Ома і законів Кірхгофа за нульових початкових умов

На рис.3.2 зображене коло, утворене послідовним з'єднанням елементів Я, Ь, С, до якого прикладена напруга и). Функція и) належить до простору оригіналів.

Я Ь С

 

 

II

 

и (ґ)

»

Рисунок 3.2 - Схема послідовного з'єднання елементів Я, Ь, С

Для цієї схеми рівняння за другим законом Кірхгофа при ґ > 0 таке:

и(ґ) = иЯ ) + иЬ (ґ) + иС (ґ). У просторі зображень це рівняння згідно з теоремою лінійності (див. табл.3.2, п.1) набуває вигляду:

и (р) = иЯ (р) + иЬ (р) + иС (р). (3.18) Вираз (3.18) є другим законом Кірхгофа в операторній формі. Якщо врахувати співвідношення (3.7), (3.12) і (3.16), за нульових початкових умов:

іь (-0) = 0; с (-0) = 0

1Ь

и

(3.19)рівняння (3.18) буде таким (оскільки на підставі законів комутації іь (+0) = 0, пс(+0) = 0):

и (Р) = Шк (р) + рЬІь (р) + -^-Іс (р).

рс

Зважаючи на те, що струм при послідовному з' єднанні однаковий для усіх елементів, можна записати:

1

або

и (р) = Я1 (р) + рЬІ (р) + — I (р),

рС

и (р) = I (р)( Я + рЬ +

(3.20)

Опір, який дорівнює сумі операторних опорів послідовно з'єднаних еле­ментів, є операторним опором кола (рис.3.2):

2 (р) = Я + рЬ +

1

(3.21)

Тоді вираз (3.20) матиме вигляд:

и (р) = I (р) 2 (р), або

и (р)

I (р)

2 (р)

(3.22)

Формула (3.22) є найзагальнішим записом закону Ома в операторній формі. Її можна використовувати для складного кола при складній дії за нульо­вих початкових умов.

Для паралельного з'єднання елементів Я,Ь,С (рис.3.3) за першим зако­ном Кірхгофа можна записати:

і(ґ) = ія ) + іь ) + іс ). (3.23)

и (ґ)

Я

Ь

іс(ґ)

С

о-

Рисунок 3.3 - Схема паралельного з'єднання елементів Я, Ь, С

Якщо загальний струм і(ґ) є складною функцією, яка належить до про­стору оригіналів, враховуючи співвідношення (табл.3.2, п.1) пряме перетворен­ня за Лапласом рівняння (3.23) буде таким:

І (р) = Ік (р) + Іь (р) + Іс ( р). (3.24)

Вираз (3.24) є першим законом Кірхгофа в операторній формі. Оскільки з'єднання паралельне, напруга на всіх елементах кола однакова і ста­новить: и ), Х[и(ґ )] = и (р).

Виходячи із співвідношень (3.7), (3.12), (3.16), з огляду на нульові почат­кові умови (3.19), можна записати:

І (р) = и(р) + и(р) + и(р), або

К       рЬ    1/рС

І (р) = и (р)(в + \ + рС). (3.25)

У формулі (3.25) вираз у дужках - це сума операторних провідностей елементів кола (див. табл.3.3), яка утворює операторну провідність кола

У ( р):

у(р) = в + — + рС . (3.26)

рЬ

З огляду на співвідношення (3.26), рівняння (3.25) матиме вигляд:

І (р) = и (р) У (р). (3.27)

Рівняння (3.22), (3.27) є законом Ома в операторній формі відносно затис­качів двополюсника. Залежно від типу джерела, що вмикається до двополюсни­ка, відгук в операторній формі визначають через операторні опір або провідність, які встановлюють залежність між зображеннями напруги та стру­му. Операторні опір і провідність двополюсника є оберненими функціями:

2 (р) = -(-. (3.28)

Отже, при складних діях, тобто у нестаціонарному режимі, коло можна описати рівняннями, складеними за законами Ома і Кірхгофа в операторній формі, які аналогічні відповідним законам у комплексній формі для усталеного режиму при синусоїдній дії. Тому усі методи розрахунку кіл для комплексних амплітуд (або комплексних діючих значень) - метод еквівалентних перетво­рень, накладання, еквівалентного джерела, контурних струмів, вузлових напруг тощо - справедливі для зображень струмів і напруг. Елементи кола при цьому визначаються операторними опорами або операторними провідностями. Єдине обмеження при застосуванні перелічених методів - наявність нульових почат­кових умов.

Приклад 3.1. Знайти зображення струму у колі (рис.3.4, а), якщо дією є напруга и ), причому Х)] = и (р).

Розв'язання. Зображення струму визначимо за законом Ома в опера-торній формі (3.22):

І (р)

и (р) 2 (р)

де 2 (р) = Я2 +

у1( р) вхідний опір пасивного двополюсника;

11 + рЯ1С

у1( р)=я-+рс=—я— операторна    провідність паралельно

з'єднаних опору к1 і ємності с .

Після підстановки У1( р) виходить:

2 (р) = К2 +

Я1

1 + рЯ1С 2 (р) = Я1 + Я2 + рЯ1Я2С

або

1 + рК1С

Шукане зображення струму становитиме: (3.29)

1

І    = и (р)(1 + рЯ1С) КР)   Я1 + Я2 + рЯ1Я2С

и (р)( р+—)

СЯ

1

Я2( р+Т)

Т

(3.30)

де т = С

Я1Я2

Я1 + Я2

стала часу, яка визначається при замкнених вхідних за-

тискачах двополюсника.

М

і1) Я1

и (ґ)

ЧН

С

Я2

о-

іь1(ґ) Я1

и(ґ)

с

о-

Я2

а б

Рисунок 3.4 - Схеми кіл у прикладах: а - 3.1; б - 3.2

Приклад 3.2. Вважаючи відомим зображення напруги, що діє на затиска­чах двополюсника (рис.3.4, б), визначити зображення ІЬ1( р) струму іЬ1(ґ) у ко­тушці Ь1, яка індуктивно зв'язана з котушкою Ь2. Взаємна індуктивність М; початкові умови нульові: іЬ1(-0) = 0, іь2(-0) = 0.

Розв'язання. Операторний опір індуктивності рЬ отримаємо з комплекс­ного опору 7'соЬ заміною р на 7'со. Аналогічно знаходимо операторний опір взаємної   індуктивності   (р) = рМ   ((7'со) = 7'соМ).   Після комутації

(увімкнення дії) у колі виникають струми, які визначимо методом контурних струмів.

Вважаючи, що існують відповідності: Л[іі(ґ)]= І1(р), Х[іп(ґ)] = І2(р),

складемо рівняння за другим законом Кірхгофа відносно зображень контурних струмів:

1

1

І1(р)(я +    +—) - і2(р)(— + рМ) = и(р),

рС

І1( р)(-С + рм)+І2( р)( К2 +     + -С) = 0.

рС рС

Знак "-" операторного опору взаємної індуктивності відповідає узгодже­ному увімкненню індуктивно зв'язаних котушок Ь1 і Ь2 (при цьому напруги

само- і взаємоіндукції мають однакові знаки), знак "+" відповідає зустрічному увімкненню. Матрична форма розглянутих рівнянь має вигляд:

11

Я1 + рЬ1 +

рС рС

± рМ

1

± рМ    Я2 + рЬ2 + ■

1

г І1( р)Л І2(р)

ґи (р) ^ 0

(3.31)

рС рС

Розв'язуючи систему (3.31) відносно зображення першого контурного струму, яке збігається із зображенням струму індуктивності ІЬ1( р), отримуємо:

І1(р)

І1( р)

рс

р2 (ьь - М2)+ р(Ь1Я2 + Ь2Я1) +

Ь1 + Ь2 ± 2М

С + Я1Я2 +

Я1 + Я2

рС

и (р)( р 2     + рСЯ2 +1)

р3с {ьхьг - М2) + р 2с (ья + Ь2 Я1) + р(ье + СЯ1Я2)+я + Я2

або

(3.32)

де Ье = Ь1 + Ь2 ± 2М - еквівалентна індуктивність, причому для реальних

2

кіл завжди виконуються нерівності: Ь1Ь2 -М > 0 і Ь1 + Ь2 - 2М > 0.

Отже, у розглянутих прикладах рівняння відносно зображень струмів, на­пруг, ЕРС складаються за законами Ома і Кірхгофа в операторній формі безпо­середньо за схемою кола. Ці рівняння - алгебраїчні, на відміну від рівнянь для оригіналів, які є інтегро-диференціальними. Розв'язок алгебраїчних рівнянь відносно шуканого зображення відгуку - нескладна алгебраїчна задача.

Так, у прикладах 3.1 і 3.2, зображення шуканих струмів (3.30), (3.32) ста­новлять добуток зображення дії Х[/1(ґ )] = и (р) і дробово-раціональної функції

(ДРФ) комплексної змінної р, яка визначає передатні властивості кола. Тобто зображення відгуку Х[/2)] утворює функцію комплексної змінної і2(р), яка також дробово-раціональна:

)( р)

де Р(р) і )(р) - поліноми комплексної змінної р, коефіцієнти яких -дійсні числа, що залежать від параметрів елементів кола, способу з'єднання елементів, а також від зображення дії.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації