Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 29

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Тобто і2(р) є функцією, складнішою за Жр), що перетворює перехід до

оригіналу відгуку у найскладніший етап аналізу кола у нестаціонарному режимі операторним методом. Є декілька способів визначення оригіналу відгуку.

3.5 Визначення оригіналу відгуку

Оригінал відгуку можна знайти трьома способами.

Перший спосіб. Необхідно перетворити отримане зображення і2(р) до

вигляду однієї з функцій і7(р), які попередньо розраховані та наведені у

довідкових таблицях, що містять деякі відповідності зображень і оригіналів (див. наприклад, табл.3.1, де зображення записане у лівому стовпчику, а шука­ний оригінал - у тому ж рядку праворуч).

Другий спосіб. Якщо і2(р) - правильний дріб (варіант неправильного

дробу розглядатиметься нижче), його треба розкласти на прості дроби (цей прийом застосовують у математиці при інтегруванні) і, виходячи з властивості лінійності перетворення Лапласа, для кожного простого дробу знайти відповідні оригінали, сума яких і утворить відгук /2 ).

Щоб розкласти і2(р) на прості дроби, слід визначити корені полінома

) ( р) , тобто розв' язати рівняння:

Є( р) = 0. (3.33)

Це дає можливість подати поліном п -го порядку )(р) у вигляді:

)(р) = Ьп (р - р1)( р - р2) •... • (р - рп ),

де Ьп - коефіцієнт при р у найвищому степені.

Якщо поліном ) ( р) має прості корені, вони обов'язково будуть дійсними

від'ємними числами (у цьому можна переконатись, розв'язуючи рівняння (3.30), (3.32), нижче це буде обгрунтовано). Тоді зображення відгуку матиме вигляд:

і2(р)=^Ь—+^!2+... +      , (3.34)

р - р1     р - р2 р - рп

де А1, А2,..., Ап - константи, які визначають за методом прирівнювання

коефіцієнтів при однакових степенях чисельників лівої і правої частин виразу (3.34) або за формулою:

Ак = Hm (р - рк). (3.35)

Кожному дробу у виразі (3.34) відповідає оригінал Ake~ак (табл.3.1, п.5),

причому знак «-» у показнику степеня обумовлений від'ємними значеннями коренів рк.

За наявності кратних дійсних коренів рк функція F2(р) містить прості дроби:

-А-+-Av-^ + ... + , (3.36)

(р - рк )V   - рк)V-1        р - рк де v - кратність кореня рк.

Якщо    поліном має   комплексно-спряжені    прості корені

р12 = -8 ± 7е0, кожній парі таких коренів відповідає простий дріб

2 B +D    . (3.37) р + Ь1р + Ьо

Слід зауважити, що коефіцієнти Ь1, Ь0 - дійсні та додатні, а коефіцієнти полінома Q(р) - дійсні. Це можливо за умови: Reр < 0. Знаменник дробу (3.37) можна записати, як (р + 8-jco)(р + 8 + jco) = р + 28р + 8 +со , тобто Ь1 = 28, Ь0 = 8 +ео . Тоді можна скористатись відповідністю (табл.3.1, п.13):

A cos у р + А(8 cos і|/ - co sin у)

[e 5t cos(cot + у)

(р + 8)2 + co2

Щоб визначити коефіцієнти А і у, треба розв'язати систему:

A cos у = B ; А(8 cos у - co sin у) = D . Якщо поліном Q(р) має комплексно-спряжені корені рк = -8к ± 7'сок кратність яких v, тоді зображення F2( р) містить прості дроби:

Ву р + Ру        +     Ву-1р + Ру-1      +    +     В1р + Р1 (3 38)

(р2 + Ь1 р +   у  (р2 + Ь р + ь>)у-1      р2 + Ь р + ь/ "

Як правило, кратність коренів не перевищує двох.

Якщо дріб і*2( р) - неправильний, необхідно виділити цілу частину, тобто подати його як суму многочлена і правильного дробу. Так, якщо функція

р) = р + а , діленням чисельника на знаменник знаходять зображення: р + Ь

Рг(р) = 1 - (3-39) р + Ь

якому відповідає оригінал /2 ) = 8) - - а)е.

1бб

Третій спосіб. Перехід від зображення Е2(р) до оригіналу можна вико­нати за оберненим перетворенням Лапласа, яке для відповідності £[[ (і)] = F (р) має вигляд:

ї(і) = £ -[^(р)] = — \ і7(р)ерійр. (3.40)

2п/ а-/оо

В теорії функцій комплексної змінної формула (3.40) має назву формули обернення Рімана3 - Мелліна4. Обернене перетворення Лапласа визначають, обчислюючи лишки функції ¥2(р) в особливих точках, які збігаються зі зна­ченнями коренів рк полінома <2(р) (3.33). Якщо кількість особливих точок дорівнює ^, можна записати:

їі(і) = 2>*к*і( р)ері. (3.41)

к=1

Значення лишку визначається за формулою:

рґ = р(р) ерґ|

р=рк

ге8кГ2(р)ерґ = ±±^1. е

к 2        Є'(р)

(3.42)

Якщо корені - комплексно-спряжені, лишки теж комплексно-спряжені, а їх сума дорівнює 2Яе[ге£]. Формула (3.41) дозволяє визначити лишки для про­стих коренів. За наявності кратних коренів рк з кратністю £ лишок визна­чається як

геЧЕ2(р)ер< =-І-Р(р)(р - ркУе"> . (3.43)

р = рк

Нижче наведені приклади визначення оригіналів відгуків.

Приклад 3.3. Знайти оригінал відгуку /( і) в схемі з прикладу 3.1

(рис.3.4, а), якщо дією є напруга и(і) = и0е~ат • 1( і).

Розв'язання. Зображення дії на підставі виразу (3.4) становить:

и (р) =        . (3.44) а

р +

3

Ріман Георг Фрідріх Бернгард, Ріетапп (1826-1866) - німецький математик. Створив і застосував для розв'язання фізичних задач нові методи інтегрування дифе­ренціальних рівнянь з частинними похідними. Його ім'ям названі: теорема про алгеб­раїчні функції (теорема Рімана-Роха), матриця у теорії абелевих функцій, метод розв'язання гіперболічних рівнянь, функції Рімана та ін. Увів так звані Ріманові пове­рхні, важливі при дослідженнях аналітичних функцій. Його роботи відіграли значну роль у розвитку теорії функцій комплексної змінної та аналітичної теорії чисел. 4 Меллін Роберт Хільмар (1854-1933) - фінський математик. Професор, а згодом директор Політехнічної школи у Гельсинки. Основні праці присвячені дифе­ренціальним та інтегральним рівнянням. Інтегральне перетворення Мелліна широко застосовують у математичній фізиці та теорії функцій.

За формулою (3.30) з урахуванням співвідношення (3.44) запишемо зо­браження відгуку:

и0( р+) І (р) = = Р(р)

R2( р + а)( р + і)   Q( р)

+ а)( р+

т

Використовуючи значення коренів знаменника ()(р) р1 = -а, р2 = - — ,

т

розкладемо І( р) на прості дроби:

І(р) = ^+- + ^-г- (3.45) р   р+і

Т

Коефіцієнти А1, А2 знайдемо за формулою (3.35):

и0( р+Ск)

А1 = Ііш І(р)(р-р1)= 1

U о( р+^

U0(——а)

R2(T-a) т

р=-а

Uо(і- ^ )

R2(" -а)

(3.46)

і т

р=-

Отже, коефіцієнти А1 і А2 визначені через параметри кола та дії. Врахо­вуючи вираз (3.4), перетворимо зображення струму (3.45) до оригіналу:

t

—аґ

і(і) = А1 е~ш + А2е т. (3.47) Вигляд часової діаграми відгуку залежить від співвідношення між а і

1/ т . Спочатку розглянемо варіант а <1. Нехай а = . Для спрощення

т 4т

М

візьмемо Я1 = Я2 = Я (т = СЯ / 2), тоді з урахуванням виразу (3.46) матимемо:

і = 2        =1 і     =   3          = U0 = 2U0

—     ,   а —      ,       а —       ,   Ал —     , A^

т   CR         2CR т        2CR      1   3R 2 3R

а шуканий струм становитиме:

11    ~— — і(і) = и°2ЯС + 2е ЯС).

3Я

Графік миттєвого значення струму зображено на рис.3.5, а. Струм, як і дія, має імпульсну форму, але імпульс відгуку "гостріший" і прямує до нуля, залишаючись додатним.

х

2 2 Знайдемо струм при а > —. Нехай а = , Я1 = Я2 = Я, тоді

тт

— а =--, А1 = —-, А2 =---, а шуканий струм становитиме:

т ЯС        2Я 2Я

і ) = ^(Зе ЯС - еЯС).

2Я

З графіка і( ), зображеного на рис.3.5, а, видно, що струм також має

імпульсну форму, але на відміну від попереднього випадку в момент часу 1

змінює свій напрямок внаслідок розрядження ємності.

Приклад 3.4. Визначити оригінал струму у прикладі 3.3 за умови дії и ) = УЬ) (постійна величина V має розмірність В • с).

Розв'язання. Зображення дії знайдемо, враховуючи формулу (3.5): £[[ -8(* )] = V.

Згідно з виразом (3.30) зображення відгуку має вигляд:

V (р + ) І (р) =-СЯ-.

Я2( р + ")

т

Оскільки зображення струму - неправильний дріб, виділимо цілу частину аналогічно виразу (3.39):

1 1

1 (р) = (1 + —1—г).

Я2    р+ З урахуванням перетворень 1__1 = __Я1 + Я2

СЯ1   т   СЯ1    ЄЯ1Я2 ЄЯ2 запишемо

оригінал відгуку:

і(ґ) =

Я2

Г

8)

(3.48)

що збігається з відповідністю (табл.3.1, п.8).

Часова діаграма відгуку, як і дії, містить дельта-функцію (рис.3.5, б). На­явність "від'ємної" експоненти у відгуку пояснюється тим, що за час дії ємність спочатку заряджається, а потім починає розряджатися, що й зумовлює проти­лежний напрям струму і(ґ).

Приклад 3.5. Визначити оригінал відгуку ис ) у колі, схема якого наве­дена на рис.3.2, якщо дією є напруга и) = и0 • 1), за умови Я < 2^|С.

Розв'язання. Знаючи значення зображення (3.22) струму у колі, а також загального операторного опору кола (3.21), знайдемо зображення напруги на ємності за формулою (3.16):

1 и(р)

и с (р)

рС Я + рЬ + А

або

рС

(3.49)

ис (р) = 2 и(р) .

р2 ЬС + рСЯ +1 Зображення дії знайдемо за формулою (3.3): и (р)

С     р(р2ЬС + рСЯ +1)

Я

Використовуючи введені вище (див. підрозд.1.3) позначення 8= ;

2 Ь

—. Тоді р

рез

4ЇС запишемо зображення відгуку:

ТТ 2 и о Юрез

и с (р) =-2   0 р 2

р( р    + 25р + юрез )

(3.50)

ис(р)

З виразу (3.50) видно, що зображення напруги на ємності є ДРФ, тобто Р( р)

<2( р)

Отже, визначимо корені полінома ()(р):

р(р2 + 25р + юрез) = 0; р1 = 0, р2,3 = -§ ± 7'ювл, де

.

(3.51)

2 2

Якщо розкласти вираз p + 25p + С0рез на множники:

(p - p2)(p - ps) = (p + 5 - 7«вл)(p + 5 + У^вл) = (p + 5)2 + « вираз (3.50) матиме вигляд:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації