Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

співвідношення між напругою і струмом в елементі Ь    иЬ ) = Ь—-—

вигляд:

і1(ґ) = і2(ґ) + іЬ (ґ); є(ґ) = іі(ґ) Д + І2)

І2(ґ ) Д2.

0 = ьдіь (ґ)

дґ

дґ

матиме

Є( )

о

Д2

ТІ2(ґ) ( 0

Ь

Рисунок 1.2 - Електричне коло з нульовими початковими умовами

Розв'язуючи систему методом підстановки, можна підставити значення і1( ) з першого рівняння до другого:

е(ґ) = і2 ( о *1 + іь ( о ях + і2 ( 0 я2;        і2 ( 0 = е(()~Ч°^,

а далі вираз для струму і2( ) - до третього рівняння:

дґ      Д1 + Д2

В результаті виходить шукане диференціальне рівняння відносно струму

іь (ґ):

Д1Д2 дґ

(1.1)

У загальному вигляді процеси в ЛЕК описуються лінійним диферен­ціальним рівнянням и-го порядку:

+ Ьп-1 ^ +... + Ьі Ш + Ь0 У(ґ) = / ),

дґ

дґ

(1.2)де у(ґ) - шукана функція (струм, напруга) - відгук кола на вхідну дію; аітх(ґ) (т-1х(ґ) (х(ґ) .

І(ґ) = ат     , т    + ат-1     7 т+ + а1 + а0 х(ґ)  - відома функція, яка за-

( т ( т-1 (

лежить від дії х(ґ); а0, а1,ат; Ь0, ЬьЬп - постійні коефіцієнти.

Важливо зазначити, що вигляд лівої частини рівняння (1.2) не залежить від того, для якої змінної воно складається, а залежить тільки від схеми кола і параметрів його елементів. В цьому легко переконатися, записавши рівняння (1.1) відносно напруги на індуктивності та врахувавши зв'язок іь ) та иь ):

К1К2 Ь 0 Г1

Якщо продиференціювати останнє рівняння за часом та помножити його на Ь, виходить вираз:

ькї1г^(мм +     = ^ад, (1.3)

який відрізняється від рівняння (1.1) тільки правою частиною. Стосовно ж до (1.1),

х(ґ) = е(ґ);у(ґ) = іь(0; п = 1;    = 1; Ь1 = Ь^-^2; /(ґ) =       ао =

г1 г2 г1 г1

У математиці існують різні способи розв'язання рівняння (1.2).

Згідно з класичним методом розв'язок (1.2) слід шукати у вигляді суми двох функцій - загального розв'язку однорідного рівняння і частинного розв'язку неоднорідного рівняння:

У (0 = Увл (0 + Увм (0, (1.4)

де Увл (ґ) - загальний розв'язок рівняння (1.2) без правої частини, який характеризує електричні явища за відсутністю зовнішньої дії; увм ( ґ) - частин­ний розв'язок (1.2) з правою частиною.

Відомо, що задача про знаходження частинного розв'язку дифе­ренціального рівняння при заданій початковій умові має назву задачі Коші1.

Класичний метод аналізу перехідних процесів в електричних колах по­лягає у складанні диференціального рівняння, що описує стан кола, розв' язанні цього рівняння і фізичному трактуванні розв'язку. Перевагою класичного мето­ду є його відносна простота, якщо порядок кола не перевищує двох.

У колі з реактивними елементами енергія джерела частково розсіюється на опорах, а частково накопичується в реактивних елементах. Процеси, які

1 Коші Огюстен Луі, Саисіїу (1789-1857) - французький математик, член Паризької АН (1816) і Петербурзької АН (1831). Автор більше 800 праць з арифметики і теорії чисел; алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, тригонометрії, теоретичної та небесної механіки, математичної фізики, теорії пружності, оптики то­що. Коші належать терміни «модуль» комплексного числа, «спряжені» комплексні числа та ін.існують у колі за рахунок цього запасу енергії після відключення джерела, на­зивають вільними. Тобто, якщо дія х(ґ) = 0, коло перебуває у вільному режимі.

Функції, що визначаються за загальним розв'язком, звуться вільними складо­вими (струмів, напруг тощо). Характер вільного процесу визначається схемою кола і параметрами його елементів.

Функція увм ) характеризує вимушений режим, обумовлений зовнішнім

джерелом. Характер змінювання електричних величин у колі у вимушеному режимі визначається не тільки схемою і параметрами кола, але й законом змінювання дії. Якщо дія х(ґ) - постійна функція або періодична за часом, то

вимушений струм (напруга) буде одночасно і усталеним.

Існує універсальний метод визначення вільної складової, згідно з яким оператор диференціювання в однорідному для (1.2) рівнянні

Ь„^ + +... + + Ш) = 0 (1.5)

замінюють алгебраїчним оператором р:

(Пу(ґ) =    п .    -1 у ) =      -1 (2 у(ґ) =    2.    (КО =    .    у(ґ) = 1

Після цієї заміни вираз (1.5) перетворюється у характеристичне рівняння кола:

ЬпРп + Ьп-1Рп-1 +... + Ьхр + Ь0 = 0. (1.6) Степінь характеристичного полінома - лівої частини виразу (1.6) - визна­чається порядком диференціального рівняння (1.2) і зветься порядком кола.

Примітка. Диференціальне рівняння кола можна отримати, не складаючи вихідної системи рівнянь Кірхгофа. Достатньо визначити комплексну передатну функцію (КПФ) кола Ню) .

Щоб довести це твердження, доцільно скористатись комплексними миттєвими значеннями дії та відгуку. Якщо дія

Х( 0 = ХтЄ]Ш ,

то для лінійного кола відгук змінюється з такою самою частотою, але має іншу ком­плексну амплітуду

У(0 = Ню)ХтЄ^< .

Функція у( ґ) є частинним розв'язком рівняння (1.2). Підстановка х( ґ) і у( ґ) до (1.2) призводить до тотожності:

Н ОсотЄ^ п ю)п + Ьп-1(7®)п-1 + ... + Ьи® + =

= ХтЄ]Ш т (У©)т + атую)т-1 + ... + ^/0) + а0]. (1.7) Множник (ую)п здобутий внаслідок п-кратного диференціювання еуюґ. Після скорочення на еуюґ та Хт з виразу (1.7) виходить, що

Н (ую) = ат(ую)    + ат-1(ую)       + к + а1ую + а0 (1 8)

Ьп (У©)п + Ьп-1( У©)п-1 + к + Ьхую + Ь0 Порівнюючи формули (1.2) і (1.8), неважко помітити, що коефіцієнти ак і Ьк

відповідно однакові, ую - символ першої похідної, а (ую)к - символ к-ї похідної. Добуток Ьк (ую)   відповідає члену Ьи-к— диференціального рівняння, а ак (ую)

- ак-к. Отже, за знаменником дробу (1.8) можна скласти ліву частину рівняння

(1.2), а за чисельником (1.8) - праву.

Використання КПФ кола для складання підсумкового рівняння дещо спрощує класичний метод аналізу, оскільки зведення системи рівнянь до одного рівняння - за­дача досить громіздка, простіше визначити КПФ.

Знаменник виразу (1.8) після заміни (ую)к на рк утворює характеристичний

поліном. Якщо цей поліном прирівняти до нуля, виходить характеристичне рівняння.

Як зазначено вище, вигляд лівої частини рівняння (1.2) не залежить від того, для якої змінної воно складається. Тому для здобуття рівняння кола можна скориста­тись комплексною функцією (КФ) будь-якого виду, зокрема КВФ - комплексною вхідною функцією - 7вх(ую) чи 7вх(ую), а для складання характеристичного рівняння застосувати такий спосіб: а) записати формулу вхідного опору або провідності кола в комплексній формі; б) у формулі 2вх (ую) чи 7вх (ую) замінити

множник ую на р ; в) отриманий вираз прирівняти до нуля: 2вх (р) = 0, Гвх (р) = 0.

Характеристичне рівняння можна отримати, прирівнюючи до нуля вхідний опір 2вх (р) відносно будь-якої вітки кола. У тих випадках, коли розгалужене коло має

єдиний накопичувач енергії, зручніше розглядати формулу вхідного опору відносно вітки з накопичувачем енергії. Якщо у схемі є джерело струму, для здобуття характе­ристичного рівняння рекомендуються виконати одну з двох дій: розрахувати опір 2вх (р) не відносно вітки з джерелом (вважаючи її розімкненою), а відносно будь-якої іншої вітки кола; або розрахувати провідність відносно вітки з джерелом і прирівняти її до нуля: Гвх (р) = 0.

Як скласти диференціальне та характеристичне рівняння кола за допомогою КПФ і 2вх (р), розглянуто у прикладі 1.2.

Вигляд вільної складової визначається характером коренів характери­стичного рівняння рк =1,2,..., п).

Корені рк рівняння (1.6) можуть бути дійсними, комплексними, простими

і кратними. Оскільки в ЛЕК параметри елементів додатні, а коефіцієнти рівняння (1.6) визначаються схемою кола і параметрами її елементів, то Ьі > 0.

Тому корені рк - від'ємні дійсні або комплексні-спряжені, які мають від'ємну

дійсну частину (Яерк < 0).

Якщо серед коренів характеристичного рівняння немає кратних, тодЛл (0 = Z AePkt, (1-9) &=1

де Ак - сталі інтегрування-

Якщо є комплексно-спряжені корені, наприклад рк к+1 = -Ьк ± у'совлк, то

вираз ЛкєРкі + Ак+1ePk+lt перетворюється у

e"5к* (Аке^влк +Ак+1є~>влк) = e~5кі (M cos совлкґ + N sin совлkt) =

= Ае~Ьк sin^t + (1-10) де ^4, у - сталі інтегрування-

Якщо серед n коренів Рк l коренів є кратними дійсному кореню, напри­клад P1 , то

Увл(0 = і + A2t + ... + Aitl-1)ePlt + ±АкеРкі - (1-11)

к=1 +1

Якщо є т-кратні спряжені комплексні корені, тоді

п

еркҐ

к

і=1 к=т+1

З огляду на те, що в ЛЕК корені або їх дійсна частина є від'ємними,

ііш Лл а)=о.

Увл (t) = e"§1t Z t-1(Mi cos g^/ + N sin g^O +  Z АкеРк1 - (1-12)

Ґ ->оо

Оскільки вільні процеси в ЛЕК загасають, розв'язок диференціального рі­вняння у ) з часом прямує до увм ):

ііш у(0 =     (ґ). (1.13)

Теоретично перехідний процес продовжується нескінченно і вимушена складова увм ) є розв'язком рівняння для ґ —»оо. Ця обставина дозволяє у ви­падку постійної або синусоїдної дії визначати увм (ґ) методами теорії кіл, ви­кладеними у першій частині підручника.

Кількість сталих інтегрування Ак у розв'язку рівняння кола збігається з

його порядком п. Щоб визначити п сталих Ак, необхідно п рівнянь і п

початкових умов. Необхідну кількість рівнянь можна отримати п -1 кратним диференціюванням розв'язку (1.4). Початкові значення знаходять, розглядаючи вихідну систему рівнянь Кірхгофа при ґ = +0, в якій незалежні початкові зна­чення відомі з законів комутації.

Нехай розв' язок рівняння кола порядку п має вигляд:

у(ґ) =^^АкеРкі +     (ґ). (1.14)

к=1

Якщо продиференціювати (1.14) послідовно п -1 разів, вийде система:

y\t) =tpkAePkt + у (t);

k=1 n

y\t) =Z p2kAkePkt + y;'M (t); (115)

k=1

У(n-1)(t) =t Pi-1 AkePkt + yBM-1)(t). k=1

Для t =+0 співвідношення (1.14) і (1.15) призводять до системи рівнянь відносно Ak:

У(+0) = Х4 + Увм (+0);

k=1

у ' (+0) = І PkAk + увм (+0);

k=1

(1.16)

і її"   / і 11 \•

k

k=1

уЧ+0) = І pk2 ak + увм (+0);

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації