Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 30

Uc (p) =-2 .

Скориставшись відповідністю (табл.3.1, п.15), запишемо оригінал відгуку:

де у = arctg­2 / 2

) = [1 -

8

2

+ совл „-5/

5

або остаточно з урахуванням співвідношення (3.51):

uc(t) = Uo[1        e~5t cos(cW - Ц)]. (3.52)

Вираз (3.52) збігається з результатом, отриманим вище в п.1.3.4 (формула (1.66)).

Приклад 3.6. У колі, розглянутому у прикладі 3.1 (рис.3.4, а), діє напруга u(t) = Um cos(cot +   u) • 1(t). Визначити оригінал відгуку операторним методом.

Розв'язання. Згідно з табл. 3.1, п.11 запишемо зображення дії:

тт pcosy-cosiny (3 53)

U ( p) = Um-2-2-. (3.53)

p2 + c

Знаменник виразу (3.53) містить поліном другого степеня від p. Оскільки

степінь полінома у зображенні відгуку ще вищий (див. формулу (3.30), щоб йо­го понизити і відповідно спростити перетворення, скористаємось відомим співвідношенням:

і знайдемо зображення не миттєвого значення u (t), а комплексної функції, яка стоїть під знаком реальної частини, згідно з формулою (табл.3.1, п.5):

£[UmeJct ] = -Um^. (3.54) p - jc

Враховуючи комутативність операції взяття реальної частини, після ви­значення комплексного оригіналу відгуку від нього слід взяти реальну частину.

Підставимо у зображення струму (3.30) замість зображення дії (3.53) ви­раз (3.54):

1

Um        p + CR1       P( p)

I ( p)

Визначимо комплексний оригінал за допомогою лишків (див. формулу

(3.42)).   Корені   полінома   )(р)   становлять:   р1 = у'со,   р2=- 1; похідна

т

)(р) = Я2 (2 р + — - у'со). Тоді перший лишок матиме вигляд:

рґ

Игп ( р + )

1 ерґ

я2(2р + — - Уса)

р=ус

1

-е    =-е    =-, =-е =

Я2 (2 ус + — - ус) СЯ1Я2(у'ст +—) (Я— + ^2 )л/(«т)2 +1 е

т

я1 +

+1

(ст )2 + 1

е

де ф1 = arctgсСЯ1, ф = arctgсот . Другий лишок     res21 (р)ер =

1

ит (р + ся1)

Я2(2 р + 1 - ус)

1

1

СЯ1 т 2 1

)

и

т

е т =

ся2

е т =

1

т

т1

Я2(— + — ус)

тт

Я2(1 + у'ст)        я2(я1 + я2+ (сот)2 е

е т =

итЯ1 е т

и т

+

итЯ1 е

Остаточно оригінал визначимо як реальну частину суми лишків:

І (ґ) = rq[reS1 + Ге5*2]

(юСЯ1)2

+1

(ют)2 + 1

с08<>и - ф)

соб(сґ + у и + ф1 - ф) +

и і- Я —

т        2 ^(сСЯ1)2 + 1сов(со ґ + уи +Ф1 -Ф) + -г-сов(уи -ф) ■ е т ].

Я2

І

т

т

І

ґ

ґ

ґ

ґ

Приклад 3.7. Знайти відгук у прикладі 3.3 при а = —.

т

Розв'язання. За даної умови зображення струму матиме вигляд:

І (Р)

Я2( р + а)2 (3.55)

Оскільки знаменник дробу має корінь другої кратності, скористаємось розкладанням зображення I (р) на прості дроби вигляду (3.36):

І(Р)

А

+

А.

(3.56)

(р + а)2   р + а

Якщо вираз (3.56) привести до загального знаменника, чисельник дробу утворить поліном: Р(р) = А1 + А2(р + а). Константи А1, А2 знайдемо з умови

рівності чисельників правої частини виразу (3.55) і полінома Р(р):

1

А1 + А2(р + а) = —У-(р +-) .

Очевидно, що рівність виконується, коли збігаються коефіцієнти при од­накових степенях р:

А + А2а =   и° ; 1     2 СЯЯ

А2 = ^.

2 Я2 (3.57)

Друге рівняння безпосередньо визначає константу А2, а підстановка А2 у перше дозволяє знайти А1.

Відповідно до табл.3.1 (п.5, п.7) оригінал, який відповідає зображенню

(3.56), становить:      і(і) = А1ґє а 1 + А2е а 1 = (Ахі + А2)е

-а і

а

Якщо я1 = і?2 = я: а = — =

1 2

ЯС ; Аі

ся2 ; а2 = я

2і

. иоє ЯС

(1 -7^).

тоді шуканий струм

(3.58)

Я        4 СЯ

Графік часової залежності струму має такий самий вигляд, як і пунктирна крива на рис.3.5, а, але значення і1 буде меньшим.

Приклад 3.8. Знайти оригінал зображення (3.56) за допомогою лишку. Розв'язання. Скористаємось формулою (3.43) для кореня кратності £ = 2.

сі сір и о( р+

Я2( Р + а)2

(р + а)2 є

рі

с

ср

р=-а

и 0( р + ^Г)

СЯ

Я2

1 єрі

р=-а

Чо[в* + и* (р     1 }]

^0 е-а/ [! + (_а)]

Я2 ЄЯ1

Я2 СЯХ

2                 и   _—~ ї Якщо Е = Я2 = Я, а =-, тоді і (ї) = —- е ЯС (1--), що сходиться з

р=_а        2 1

_ (І » І _ .        ч II ІЛ

результатом (3.58).

3.6. Урахування ненульових початкових умов

Операторний метод порівняно з іншими вважається найпотужнішим, але всі рівняння в операторній формі передбачають наявність нульових початкових умов, і це є суттєвим обмеженням. Щоб його уникнути, слід розглянути схеми індуктивного та ємнісного елементів, які визначають початкові умови в момент ї = 0.

Якщо в індуктивності до комутації (ї < 0) існував струм, зв'язок між струмом і напругою після комутації (ї > 0) відображає вираз (3.8), якому у про­сторі зображень відповідає рівняння (3.11). Якщо врахувати перший закон ко­мутації і і (-0) = і і (+0), рівняння (3.11) можна переписати у такий спосіб:

1{р) = /,(=0) + ЕЦЙ. (3.59)

Перший доданок у формулі (3.59) визначає зображення струму ідеального залежного джерела, яке умовно підключається до індуктивності в момент ї = +0 (згідно з виразом (3.9)), але величину струму цього джерела визначено у доко-мутаційний момент часу ї = -0, тобто в усталеному режимі. Другий доданок -це зображення струму у знеструмленій на момент комутації індуктивності, яка характеризується операторним опором рі. Цей доданок обумовлений напру­гою и1 (ї), якій відповідає зображення и 1 (р). Сума цих зображень - це зобра­ження струму І1 (р) після комутації. Отже, рівняння (3.59) є першим законом

Кірхгофа в операторній формі, складеним для операторної схеми (рис.3.6, а).

З виразу (3.59) можна визначити операторну напругу

(р) = рііі (р) _ ііі (_0). (3.60)

Рівнянню (3.60) відповідає друга операторна схема заміщення індуктивності з ненульовими початковими умовами (рис.3.6, б), оскільки и1 (р) відповідно до другого закону Кірхгофа в операторній формі дорівнює алгебраїчній сумі зображень напруг на двох елементах.

У виразі (3.60) перший доданок рІІ1 (р) - це зображення напруги, зу­мовлене післякомутаційним струмом в індуктивності, яка умовно знеструмлена на момент комутації, другий - зображення напруги на затискачах ідеального джерела напруги, яке дорівнює Іі1 (_0) і має напрям, протилежний напрузі на

затискачах індуктивності. Тобто це джерело, відповідно до закону електро­магнітної індукції, протидіє зміні струму, який існував до комутації.р

Іь (Р)

1Ь (р) рЬ

Ыь (-0)

а

б

Рисунок 3.6 - Операторні схеми заміщення індуктивності зі струмом: а - з джерелом струму; б - з джерелом напруги

Операторні схеми індуктивності з ненульовими початковими умовами (рис.3.6, а, б) - це схеми з залежними джерелами, внутрішнім опором яких є операторний опір індуктивності рЬ. Перехід від однієї схеми до іншої викону­ють за відомими правилами еквівалентних перетворень джерел [7, табл.2.1].

Якщо на момент комутації коло містить заряджену ємність (пс (-0) ф 0),

залежність між струмом і напругою для ґ >+0 описується рівністю (3.14), якій у просторі зображень відповідає вираз (3.15). У цьому рівнянні на підставі дру­гого закону комутації ис (+0) можна замінити на ис (-0):

и с (Р)

и с(-0) р

+

1

рС

Іс ( р).

(3.61)

Така заміна спрощує визначення ис (-0), оскільки момент часу ґ = -0 на­лежить до усталеного режиму.

Рівнянню (3.61) відповідає операторна схема, показана на рис.3.7, а. Зоб­раження напруги на ємності и с ( р) складається з двох доданків. Перший ви­значає зображення напруги на затискачах ідеального залежного джерела напру­ги, яке умовно (згідно з виразом (3.14)) підключається до незарядженої ємності в момент ґ = +0. Величину ЕРС цього джерела визначають в усталеному режимі в момент часу ґ = -0. Другий доданок - це зображення напруги на незаряд-

женій ємності з операторним опором 1

рс викликаної струмом, який має зоб-

раження І(р). Слід звернути увагу, що на відміну від схеми індуктивності зі струмом (рис.3.6, б), для зарядженої ємності напрями напруги ис(р) і зобра­ження ЕРС протилежні.

Іс (Р)

ис (-0) р

Сіс (-0)

рс

ІЬ

Іс (Р)

Рисунок 3.7 - Операторні схеми заміщення зарядженої ємності: а - з джерелом напруги; б - з джерелом струму

Формула (3.61) відповідає другому закону Кірхгофа в операторній формі, складеному для операторної схеми (рис.3.7, а). Якщо з (3.61) визначити зобра­ження струму, матимемо рівняння, яке є операторною формою першого закону Кірхгофа для схеми (рис.3.7, б):

Іс (р) = рсис (р) - сис (-0), (3.62)

де сис (-0) - зображення струму джерела, що враховує ненульові почат­кові умови; напрями джерел (рис.3.7) збігаються.

Подібно схемам (рис.3.6) схеми (рис.3.7, а і 3.7, б) також є еквіва­лентними.

Отже, за наявності у колі в момент комутації індуктивностей, в яких є струм, а також ємностей, на яких є напруга, в операторній схемі такого кола з'являються додаткові джерела, які враховують ненульові початкові умови. Струми і напруги для t > 0 обчислюють за законами Кірхгофа і Ома в опера­торній формі. За наявності декількох джерел відгук визначають методом накла­дання. Якщо коло розгалужене, розрахунок доцільно виконувати, використо­вуючи матричні операторні рівняння (методом контурних струмів або вузлових напруг).

Приклад 3.9. Визначити струм i2(t) після комутації у колі, схема якого зображена на рис.3.8, а.

Розв'язання. До комутації струм в індуктивності iL (-0)

E_ отже по-

чаткові умови - ненульові. Щоб розрахувати операторним методом струм /2(/) після комутації, необхідно скласти операторну схему, яка містить додаткове джерело напруги, увімкнене послідовно з індуктивністю (рис.3.6, б), зображен-

ня ЕРС якого на підставі формули (3.60) становить LiL (-0)

LE

Еквівалентна

операторна схема з додатковою ЕРС, яка враховує ненульові початкові умови,показана на рис.3.8, б. Зображення ЕРС джерела постійної напруги дорівнює

Е_

Р'

Ь

іь (і)

а

Я2

ЬЕ

РЬ

о

р 12( р)

Я2

1

к. (Р)

б

Рисунок 3.8 - Схеми кіл до прикладу 3.9: а - початкова; б - еквівалентна операторна

Визначимо зображення струму ІЬ (р) за законом Ома в операторній формі:

Е / р + ЬЕ / Яі

Іь (Р)

2 е( Р)

де 2 е( р) = РЬ +

ЯіЯ2

Яі + Я2

Зображення струму 12(р) знайдемо за правилом розподілу струмів:

12(Р) = ІЬ (Р)

І2(Р)

Яі

Яі + Я2

(Е+ЬЕ) Яі Р   Я/ 1

ЕЯі

Е

-і-і-=-і-+-

рЬ( Яі +     + ЯіЯ2   ь( Яі + Я2) р( р + -)   (Яі + Я2)( р + -)

Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації