Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 31

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

^     п Я1Я2

де т = —; яе = —. яе яі + я2

Відповідно до табл. 3.1 (п.6, п.5) оригінал шуканого струму становить:

ґ ґ

■ ґ \       ЕЯіТ    /і            Е      ~~       . . і2 ) = -^-^— ^ ч (1 - е т) + - е т , а після підстановки т :

Яі + Я2

Е

І2(і) = —(і-е т) +

Я2

Е

т= Е (і--

Яі + Я2        Я2     Яі + Я2

Яі

е т).

/

і77

3.7 Операторна передатна функція кола, її властивості. Нулі та полюси операторної передатної функції

Диференціальне рівняння (1.2) для кола другого порядку з відгуком /2(ґ) і дією /1(ґ) має вигляд:

^2 Л"(ґ) + к/^ґ) + Ь ($) = а2 /{(і) + ах/{(і) + ао /х(і). (3.63) Характеристичне рівняння, відповідно до виразу (3.63), становить:

*2 Р2 + Ь Р + Ь = 0, де ліва частина - це характеристичний поліном:

Ьг р 2 + Ьу р + Ьо = V (р). (3.64)

Відомо, що корені характеристичного рівняння V(р) = 0 обумовлюють

загасаючий характер вільних коливань. Тому у колі з втратами ці корені розта­шовані в лівій частині комплексної площини.

Нехай дії /1( ґ) відповідає зображення Р1(р), а відгук кола належить до

простору оригіналів: Д[ />(?)] = Р2( р). Щоб перевести рівняння (3.63) у простір

зображень, необхідно скористатись теоремою диференціювання (табл.3.2, п.2):

Д /' (?)] = рр (р) - / (+0);   Д /" (?)] = р 2 р (р) - р/ (+0) - /' (+0).

Вираз (3.63) після підстановки зображення дії, відгуку та їхніх похідних матиме вигляд:

Ь2 [р2Р2 (р) - р/2 (+0) - /2' (+0)] + Ь [(р) - /2 (+0)] + Ь0(р) =

=    р2Р1(р) - р/1(+0) - /1'(+0)] + а1[рР1(р) - /1(+0)] + а0Р1(р). Групування доданків, які містять зображення відгуку і дії, дає:

Р2(р)(Ь2р2 + Ь1 р + Ь0) - /2'(+0)Ь2 - /2(+0)(Ь2р +      = (3

(3.65)

= р1(р)(а2р2 + а1р + а0) - ./1,(+0)а2 - ./1(+0)(а2р + а1) .

Доцільно ввести такі позначення:

(3.66)

І в( р) = Ь2 р 2 + Ь1 р + Л)(р) = /1(+0)а2 + /1(+0)(а2р + а1); (3 67)

В0(р) = /2 (+0)Ь2 + /2(+0)(Ь2 р + Ь1). (. )

Слід звернути увагу на те, що поліном В(р) збігається з характеристич­ним поліномом V (р) (3.64):

В( р) = V (р).

Тоді з урахуванням позначень (3.66) - (3.67) рівняння (3.65) набуває ви­гляду:

Р2(рУ(р) - В0(р) = Р1(р)А(р) - А0(р), звідки зображення відгуку

F2(Р) = Рі{ р) ^ + ^ "І-^(3.68)

І(р) і(р)

У реальних колах відгук не може випереджати дію за нульових початко­вих умов. Для інтервалу часу ґ< 0 за умови /1( ґ) = 0 (перше обмеження для

функцій, які належать до простору оригіналів) відгук має бути нульовим: /і(ґ) = 0. Це можливо, коли у рівнянні (3.68) відсутній другий доданок, тобто виконується умова

В0( р) - Л( р) = 0. (3.69) Тоді Р2(р) = Р1(р)Функцію, яка є відношенням двох поліномів

1 (р)

комплексної змінної р, позначають:

Н (р) = А(р). (3.70) І(р)

Отже, Р2 (р) = Р1 (р) Н (р), звідки

Н ( р) = . (3.71)

Функція Н( р) комплексної змінної р, яка дорівнює відношенню зобра­ження відгуку до зображення дії, має назву операторної передатної функції (ОПФ), або операторної характеристики кола, а ще системної функції.

ОПФ характеризує вплив кола на зображення дії. Для лінійного кола Н( р) не залежить від параметрів дії, а визначається структурою і параметрами

кола, а також типом дії. Так, у розглянутому вище прикладі 3.1 згідно з форму­лою (3.71), виходячи з виразу (3.30), ОПФ кола (рис.3.4, а) становить:

1

р+

СЯ

Н (р) =-^. (3.72)

я2(р+ 1т)

т

У прикладі 3.2 (рис.3.4, б) ОПФ кола згідно з виразом (3.32) дорівнює:

Н ( р) = —,_,_р 2 + рСЯ2 + 1_.

р3С(І1І2 -М2) + ргС(І1Я2 + І2Я1) + р(Іе + СЯ1Я2) + Я + Я2

Щоб визначити ОПФ, слід задатись зображенням дії Р1 (р), потім за зако­нами Ома і Кірхгофа в операторній формі знайти зображення відгуку Р2 (р), визначене через Р1( р), і підставити його до формули (3.71). Для складних кіл

можна використовувати метод контурних струмів і вузлових напруг в опера-торній формі, а також узагальнений метод вузлових напруг для кіл, що містять невзаємні елементи.

Приклад 3.10. Знайти ОПФ кола з операційним підсилювачем (рис.3.9). У першій частині підручника [7, приклад 6.1] визначено комплексний коефіцієнт передачі за напругою даного кола:и4 ^14,43

И. 1 ^11,43

ОПФ визначимо за формулою:

и 4( р) = А14,43 и1(р)     А11,43 '

яка, на відміну від попереднього виразу, містить відношення алгебраїчних до­повнень матриці не комплексних, а операторних провідностей:

Ни (Р)

(У ( Р)) =

Оі

0 0 2

- о

і

з

0

0

- О2

Оі + 02 + 03 + рСі     - о3

і

Я

Я3

иі( Р)

и 4( Р)

Рисунок 3.9 - Схема кола у прикладі 3.і0

Відповідні алгебраїчні доповнення отримуємо, враховуючи відомі прави­ла визначення знаків [7, підрозд. 6.4] та викреслюючи у чисельнику і знаменни­ку і і 4-й рядки, 4 і 3-й стовпці - у чисельнику та і і 3-й - у знаменнику:

Аі4,4з = -0і03 ;      Лц,4з = ргСіС2 + рС2(0і + °2 + 03) + 0203 .

Остаточно матимемо:

0і03

Ни (Р)

(3.73)

р 1СХС1 + рС2(Ох + Ог + в3) + 0203 ' Наведений вище аналіз та розглянуті приклади дозволяють сформулювати властивості ОПФ.

1. Згідно з формулою (3.70) ОПФ - це відношення поліномів А( р) і V (р), до яких р входить раціонально (див. розглянуті вище приклади) і тому Н(р) має назву дробово-раціональної функції комплексної змінної р.

і

3

4

і82. Поліноми А( р) і V (р) = В( р) згідно з виразами (3.66) мають такі самі

коефіцієнти, як і коефіцієнти диференціального рівняння кола (3.63), які зале­жать від порядку кола, способу з'єднання його елементів та параметрів самих елементів. Тобто коефіцієнти ак = 0... т) і Ьк = 0... п) є дійсними числами,

які можуть бути в кожному з поліномів усі додатні або усі від'ємні. Якщо на­приклад, ак > 0, а Ьк < 0, тоді

Н ( р) = - ^,

що можливо за умови, коли коло містить активні невзаємні елементи і змінює початкову фазу дії на протилежну (-1 = 1е ±]п).

3. Якщо максимальний степінь полінома чисельника т , а знаменника п , то між ними, як правило, існує співвідношення: т < п .

4. Знаменник ОПФ є V(р) - характеристичним поліномом (3.64), який

утворює характеристичне рівняння, що має дійсні від' ємні або комплексно-спряжені корені з від'ємною дійсною частиною (Яерк < 0). Щоб забезпечити цю умову, всі коефіцієнти полінома V(р) мають бути ненульовими к Ф 0, к = 0,1,..., п) і обов'язково однакового знаку.  Такий поліном називають

поліномом Гурвіца5.

5. Порядок полінома V (р) визначає порядок кола і ОПФ.

6. Значення р0к, які відповідають кореням V (р), перетворюють (р) у

нескінченність і мають назву полюсів ОПФ. Усі полюси ОПФ кола з втратами розташовані на комплексній площині зліва від уявної осі.

7. При значеннях рк, які відповідають кореням А(р), функція Н(р)

дорівнює нулю. Корені полінома А( р) називають нулями ОПФ.

Коло, ОПФ якого має зазначені властивості, можна фізично реалізувати. Рисунок, що відображає розташування нулів і полюсів Н (р), має назву

карти нулів і полюсів, яка з точністю до постійного множника к1 визначає ОПФ Н(р). Якщо полюси рк ОПФ позначити хрестиками (х), а нулі р0к - ко­лами (о), карта нулів і полюсів деякого кола матиме вигляд (рис.3.10, а).

Відповідно до наведеної карти нулів і полюсів можна записати ОПФ у ви­гляді:

Н~(р) = (р - р01)(р - р02)(р - р03) (3 74)

(р - р1)(р - р2)(р - р3)(р - р4)(р - р5)

5 Гурвіц Адольф, Нішуи^ (1859-1919) - німецький математик. Професор політехнічного інституту в Цюриху. Основні праці належать до математичного аналізу, теорії функцій, алгебри та теорії чисел. У теорії функцій комплексної змінної відомі теореми Гурвіца. Широко застосовується його критерій від'ємності дійсних частин коренів алгебраїчних рівнянь. Зробив внесок у геометрію. Російською пере­кладено його працю "Теорія аналітичних та еліптичних функцій" (1933).

Іт А

О----4-

р20 *-

Рі

X-

р4

а

оІ (Р)

б

Рисунок 3.10 - До визначення властивостей ОПФ: а - карта нулів і полюсів; б - узагальнена операторна схема пасивного двополюсника

Чисельник Н (р) є поліномом третього порядку (т = 3), а знаменник -п'ятого (п = 5). Якщо у формулі (3.70), яка визначає ОПФ Н (р) даного кола, пронормувати поліноми чисельника

А(р) = азр3 + аір2 + аір + ао = аз(р - роі)(р - роі)(р - р03)

і знаменника

V(р) = ^5р5 + ^4р4 + ^3р3 + ^2р2 + ^1р + Ь0 = Ь5(р - р1)(р - р2)(р - р3)(р - р4)(р - p5),

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації