Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 32

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

можна встановити зв'язок між виразами (3.70) і (3.74):

Н(р) ^1. (р - р01)(р - р02)(р - р03)

Ь5    (р - р1)(р - р2)(р - р3)(р - р4)(р - р5)

(3.75)

а

Якщо константу — позначити      формула (3.75) з урахуванням рівності

Ь5

(3.74) матиме вигляд:

Н (р) =     (р),

а загалом:

т

П (р

р0і)

П (р - рг)

і =1

^1

Ьп (3.76)

Отже, рівняння (3.76) свідчить, що карта нулів і полюсів дозволяє відтворити ОПФ кола з точністю до постійного множника.

Важливо, що корені характеристичного полінома V (р) можна обчислити,

не складаючи диференціального рівняння, навіть без визначення Н (р). Зазна­чимо, що аналогічний висновок можна отримати, аналізуючи перехідні процеси класичним методом (див. п.1.1.3).

ОПФ - функція комплексної змінної р, причому комплексна частота

р = -8 ± уо належить лівій комплексної півплощині, бо дійсна частина р ­від' ємна (оскільки розглядаються ОПФ кіл, які можна реалізувати фізично). Модуль ОПФ (р)| - це поверхня, яка розташована над лівою півплощиною.

Як приклад на рис.3.11, а зображено |Н (р) за умови: А( р) = р3 і V (р) = (р + 8)(р + 81 - р + 81 + 7'ю1), тобто ОПФ має нуль (р0 = 0) з крат­ністю 3 і три полюси (р1 = -8; р2 3 = -81 ± ую1).

Рисунок 3.11 - До визначення властивостей ОПФ: а - характер поверхні \Н(р)\, яка має один нуль третьої кратності та три полюси; б - АЧХ кола -вертикальний переріз поверхні \Н(р)\ через вісьуо (8 = 0)

У точці р0 поверхня Н (р) має нульовий мінімум, а в точках, координати яких збігаються зі значеннями полюсів р1, р2 3, поверхня наближається до ма­ксимального нескінченного значення (на рисунку обмежено вибраним масшта­бом за вертикальною віссю).

Якщо коло живиться джерелом напруги, а зображення дії і1 (р) = и(р),

тоді відгук, що є струмом на затискачах двополюсника (рис.3.10, б), можна ви­значити за законом Ома в операторній формі:

Р2( р) = І (р) =

Z вх ( р)

де Zвх (р) - операторний вхідний опір двополюсника. Виходячи з виразу (3.71), ОПФ має вигляд:

н ( р) = и4 = ттт • (3-77)

Якщо прирівняти праві частини рівнянь (3.70) і (3.77), виходить співвід-

1       А(р) . ношення: -= —,  з  якого  видно,  що  характеристичне рівняння

2 вх (р)      (р) збігається з рівнянням:

2вх (р) = 0. (3.78) Так, операторний вхідний опір послідовного контуру Я, Ь, С, який жи­виться від джерела напруги, згідно з виразом (3.21) становить:

2вх(р) = Я + рЬ + -17.

рС

Приведення цієї рівності до загального знаменника дозволяє записати:

2вх (р) = ЬСр 2 +СКС +1, (3.79)

С

звідки, прирівнявши праву частину до нуля, отримують характеристичне рівняння: ЬСр + рЯС +1 = 0, яке сходиться з формулою (1.45), знайденою кла­сичним методом (див. розд.1).

Якщо коло живиться від джерела струму, тоді зображення дії і1 ( ) = І( ), а відгуком є напруга на затискачах узагальненої схеми двополюс­ника (рис.3.10, б):

і2( р) = и (р) = тоді:

Н (р) = и(р) = —1—, (3.80)

звідки  1 = А( ) і характеристичне рівняння матиме вигляд:

звідки-= —і характеристичне рівняння матиме вигляд:

(р) ^р)

Гвх (р) = 0. (3.81)

Отже, рівняння (3.78), (3.81) дозволяють методом еквівалентних перетво­рень знайти операторні вхідні функції кола 2 вх (р) чи 7вх (р) (залежно від типу

джерела) і, прирівнявши їх до нуля, отримати характеристичне рівняння кола.

3.8. Операторна вхідна функція кола, її властивості

Операторні вхідні функції (ОВФ) - окремий випадок операторних пере­датних функцій. ОВФ притаманні деякі властивості ОПФ.

1. ОВФ теж є ДРФ комплексної змінної р (наприклад, див. формули

(3.29), (3.79)). Отже, операторний вхідний опір двополюсника (рис.3.10, б) можна записати у вигляді:

2 вх (р) = ^, (3.82)

N (р)

де М (р) і N(р)- раціональні функції комплексної змінної р.

У пасивного двополюсника операторна вхідна провідність - функція, обернена опору:

7вх(р) = МТГ\ (3-83)

М(р)

2. Оскільки функції 2вх (р) і Гвх (р) - окремий випадок ОПФ, знаменник

яких - поліном Гурвіца, можна зробити висновок, що чисельник і знаменник ОВФ М (р) і N (р) також є поліномами Гурвіца.

Виходячи з властивостей поліномів Гурвіца, формулюють третю і четвер­ту властивості ОВФ.

3. Коефіцієнти поліномів чисельника сік і знаменника Ьк ОВФ - дійсні

додатні числа.

4. Нулі та полюси ОВФ розташовані у лівій півплощині комплексної пло­щини.

ОВФ з переліченими вище властивостями для кіл з втратами належать до класу додатних дійсних функцій (ДДФ) комплексної змінної р = а + у—. Оз­наками ДДФ є рівність нулю уявної частини за умови со = 0 і додатність дійсної частини за умови а > 0 .

Ілюстрацією даного твердження є підстановка до виразу (3.21) змінної р = а + у— :

2вх(р) = Я +(а + МЬ + 7-177.

Взяття дійсної та уявної частин дає:

(р)] = Я + аЬ + -^2-; (3.84)

вх р2С

Іт[2вх (р)] = — Ь--^ (3.85)

|р| С

і   12       2 2

де р  = а + — .

Отже, з виразу (3.84) видно, що ЇРе[2вх(р)] > 0 при а > 0 (ОВФ додатна), а з формули (3.85) виходить, що Іт[2 вх (р)] = 0 при — = 0 (ОВФ дійсна).

5. Вважається, що точка р °о належить уявній осі, їй відповідає про­стий нуль або полюс. За умови, що р °о, співвідношення (3.76) набуває ви­гляду:

Н (р) кх рт - п,   кх = ^. (3.86) При цьому можливі такі випадки:

а) т - п = 1 , що відповідає простому полюсу в нескінченності; наприклад, коли ОПФ збігається з операторним вхідним опором: Н (р) = 2вх (р) = кх р, а

характер кола - індуктивний;

б) т - п = -1, що відповідає простому нулю в нескінченності; ОПФ стано­вить: Н (р) = 2вх (р) = —; характер кола - ємнісний;

р

в) т - п = 0 , вхідна функція в нескінченності не має нулів і полюсів; ха­рактер кола - резистивний (к1 > 0).

Отже, аналіз значень величини т - п дозволяє сформулювати ще одну властивість: максимальні степені чисельника і знаменника ОВФ не можуть відрізнятись більше, ніж на одиницю.

6. Дана властивість стосується кіл, втрати в яких прямують до нуля.

При зменшенні втрат у колі зменшується значення дійсної частини по­люсів і вони наближаються до уявної осі комплексної площини. Коли ж втрата­ми кола можна знехтувати, полюси кола будуть розташовані безпосередньо на уявній осі. Слід зазначити, що полюси, розташовані на уявній осі, не можуть бути кратними. Оскільки полюси ОВФ сходяться з коренями характеристично­го полінома, вони обумовлюють характер вільних процесів. За наявності крат­них коренів (р12 = і— 1) вільні коливання визначаються як (А1 + Л2ї) е3— і з ча­сом зростають, що неприйнятно для стійких кіл. Ці висновки стосуються не тільки полюсів, але й (на підставі першої властивості) нулів ОВФ.

Отже, ДДФ не мають на уявній осі кратних нулів і полюсів.

ОВФ кола, яке не має втрат, називається реактансною, бо коло містить тільки реактивні елементи     С. Реактансні функції належать до класу ДДФ,

але утворюють підклас з додатковими властивостями.

Оскільки усі нулі та полюси реактансних функцій розташовані на уявній осі, вони чергуються. Невиконання цієї умови призвело б до утворення крат­них нулів або полюсів, що неможливо. Чергування нулів і полюсів обумовлює зростаючий характер реактивного вхідного опору (провідності). Особливістьреактансних функцій полягає у тому, що до виразів (3.82), (3.83) входять не поліноми Гурвіца, а їх парні (непарні) частини. Якщо М(р) - парна частина

полінома Гурвіца, то N (р) - непарна і навпаки, що й обумовлює відповідне розташування коренів цих поліномів на уявній осі, а також відмінність на оди­ницю їхніх максимальних степенів.

3.9 Зв'язок операторної передатної функції з комплексною передатною функцією. Амплітудно-квадратична характеристика кола, її властивості

Комплексна змінна р = а + у'со має значення комплексної частоти. Вона обумовлює характер коливань, що відтворюють функцію дійсної змінної ї. Згідно з виразом (3.40) функція F(р)ер сір для комплексно-спряжених значень р утворює коливання з нескінченно малою амплітудою, яке змінюється у часі за законом

2| ^ (р)ф|е аї ооб(ю? + 0)

і може зростати (а > 0) або загасати (а < 0). Якщо а = 0, комплексна частота стає уявною величиною р = у'со і обернене перетворення Лапласа переходить у

перетворення Фур'є, яке дозволяє відтворити функцію дійсної змінної ї у ви­гляді незагасаючих синусоїдних (гармонічних) коливань. При синусоїдній дії характеристикою кола є комплексна передатна функція. Отже, ОПФ перетво­рюється у КПФ за умови р = у'со:

Н ( р) р== Н (У®), (3.87)

і навпаки,

Н (усо)| у®=р = Н (р). (3.88)

Із співвідношення (3.87) виходить:

Н (р) р=і—=Н (—).

Тобто АЧХ Н(—) збігається зі значеннями поверхні |Н(р), зображеної на рис.3.11, а за умови р = і— (8 = 0). Значення АЧХ належать кривій, яка є вер­тикальним перерізом поверхні (р) площиною, що проходить через вісь і—.

На рис.3.11, б показано графік АЧХ, яка є парною функцією — . Для додатних значень частоти розглядається права (відносно нуля) частина графіка. На підставі виразів (3.70), (3.87) КПФ матиме вигляд:

Н (і—) = ^ (3.89)

де А(і—) = А(р)|р=і—; Г^(і—) = Г^(р)р=і—, причому }^(р) - поліном Гурвіца.

Наприклад, для кола третього порядку поліном Гурвіца становить:

V (р) = Ь3 р3 + Ь2 р 2 + Ь1 р + Ь0. (3.90)

За умови р = і—: V (і—) = - і©Ь3 — - Ь2 — + і—Ь1 + Ь0, або

= Гке(—2) + і— Гіт(—2), (3.91)

Поліноми, які утворюють дійсну та уявну частини V (і—) - парні функції дійсної змінної —.

Якщо максимальні степені поліномів чисельника і знаменника збігаються (наприклад, т = п = 3), аналогічно виразу (3.91) можна записати:

А(і—) = АКе(—2) + і— Аіт(—2). (3.92) Підстановка до формули (3.89) виразів (3.91), (3.92) дає:

Н(і—) = Аке(—) + УшАіт(—2). (3.93)

^ЯеО ) + ^ІтО )

Тоді аналітичний вираз АЧХ матиме вигляд:

Н) + —2 Аі2т(ш2) . (3.94)

^(о2)2VIm(ш2)

Вираз (3.94) є ірраціональною функцією частоти —, що ускладнює розв'язання задачі синтезу. Тому розглядають квадрат модуля АЧХ, який є раціональною функцією —:

Н2     = Аке(—2) + °2^а)2). (3.95)

^(—о2) + —2 VI2m(ш2)

2

Функція Н (—) називається амплітудно-квадратичною характеристи­кою (АКХ) і має такі основні ознаки:

1) АКХ - це ДРФ дійсної змінної — з дійсними додатними коефіцієнтами;

2) АКХ - парна функція дійсної змінної — ;

3) граничні значення АКХ скінченні та невід' ємні.

АКХ можна визначити як добуток двох комплексно-спряжених функцій:

Н 2(—) = Н (і—) Н (-і—). (3.96) Заміна і— = р згідно з виразом (3.88) призводить до співвідношення:

Н2(—) .     = Н(р)2. (3.97)

і=р

Тоді, зважаючи на формулу (3.96), можна записати:

Н (р)2 = Н (р) Н (-р). (3.98)

На рис.3.12 зображена карта нулів і полюсів функції Н (р), які лежать у лівій півплощині комплексної площини р. Нулі та полюси функції Н (-р) у цьому випадку будуть праворуч від уявної осі. Функція, яка є квадратом модуля

ОПФ, містить усі нулі та полюси функцій Н (р) і Н (-р). Кажуть, що нулі та полюси функції Н(р)  мають квадратну симетрію, або утворюють квадруплет.

Нулі та полюси Н(р) іт ▲ Нулі та полюси Н(-р)

р10

0--

р3

-х—

р2

о--

р20

- р20

2

\0

\

\

3

х—

\ 1 \ і

10

1

І І 2

Нулі та полюси | Н(р) І

2

Рисунок 3.12 - Карта нулів та полюсів функцій Н(р), Н(-р), І Н(р) І

2

Функція (р)| - парна ДРФ комплексної змінної р з дійсними ко­ефіцієнтами. А функція Н (—) - парна ДРФ дійсної змінної — з дійсними ко­ефіцієнтами. Вона пов'язана з передатною функцією кола за потужністю, яку можна ввести як

Р        ТІ     / Р Н  (®) =   вих = и вих ' ^вих

вх        вх вх

де константа кК

вих

або НР (®) = кКНІ (®), (3.99) визначається відношенням вхідного і вихідного

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації