Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 33

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

опорів кола.

З рівності (3.99) виходить висновок, що передатна функція кола за по­тужністю збігається з квадратом модуля КПФ за напругою Ни () з точністю

до константи. Відношення потужностей є логарифмічними одиницями:

Рв

Рв

визначають у децибелах (дБ), які

вх

Нр (со), дБ = 10ів рвих = 101в НІ (со),

вх

(3.100)

де для спрощення взято кК = 1.

Отже, враховуючи вимоги до НР(), дБ, можна визначити |Н(р)2 за формулою (3.97). Оскільки НР () - дійсна функція, перехід до функції Н (р)комплексної змінної р можна зробити підстановкою: = р / і. Щоб перейти до

ОПФ, слід визначити нулі та полюси функції Н( р) 2 і взяти тільки ті, що ле­жать у лівій півплощині. Такий спосіб дозволяє отримати схемні структури певного типу кіл.

3.10 Мінімально- та немінімально-фазові кола

Коло з ОПФ (3.70), нулі якої розташовані у лівій півплощині та на її межі - уявній осі, має назву кола мінімально-фазового типу. Коло, частина нулів ОПФ якого лежить у правій півплощині, називається колом немінімально-фазового типу. Доцільність таких назв пояснюється нижче у цьому підрозділі.

Для кола третього порядку поліном Гурвіца (3.90) можна переписати у вигляді:

V(р) = Ь3(р - р1)(р - р2 )(р - р3).

У випадку одного дійсного р1 = -81 і двох комплексно-спряжених ко­ренів р23 =-8± і—вл, розташованих у лівій півплощині, та за умови р = і—, можна записати:

V (і—) = Ь3 (і— + 8і)[( і—)2 + і—28 + 82 + —4 ], або

V(і—) = Ь3(і— + 81)(і—28 + 82 +     - 2). (3.101) Аргумент V (і—) становить:

(і—)] = 1(ео) + Ф2(ео), (3.102)

де ф1(—) =       -,  ф2(—) = ал^ 2   282-2.

81 8 + —вл -

Граничні значення функцій ф1(—), Ф2(—) такі:

п

Ііт ф1(—) = 0;    Ііт ф1(—) = ;

Ііт ф2 () = 0;     Ііт ф2 () = п . Граничне значення функції ф2(—) при нескінченній частоті обумовлене

2       2 2

тим, що Ііт (8 + <х>вл - ) , тобто дійсна частина функції у других дуж­ках виразу (3.101) від'ємна. Графіки частотних залежностей функцій ф1(—), ф2(ео),        (і—)] зображені на рис.3.13. Вони мають зростаючий характер.

А ф(со)

3 П 2

 

 

 

 

.-'^ arg[V(

 

 

 

 

.- * '                      ^ ф2(ю)

2

 

 

ф1(ю)

0

 

юрез

W

ю

усо)]

Рисунок 3.13 - Частотні залежності ф1(ю), ф2(ю), arg[V( ую)]

Для кола третього порядку при наближенні частоти до нескінченності ар-

гумент V(р) прямує до величини 3 2. Загалом, якщо поліном Гурвіца має по­рядок п, його аргумент зростає від нуля до границі:

п

Ііт а^[{7(р)] = п

CO—>0О

2

(3.103)

Чисельник кола мінімально-фазового типу A(p) має корені (вони ж є ну­лями H(p)) у лівій півплощині, як і поліном V(p) (рис.3.14, а). Отже, A(p) -теж поліном Гурвіца, його корені показані на (рис.3.14, б) для n = 5.

V(p) ЬпА -^

p2

p4 Хч--

1 S

p5 *"

p3

V(-p)

__^--

f \

-p3

-------x -p5

Re

-p2

I V(p) I 2

а

p40

p50

p10

p30

p20

A0(p)

0

-p20

- p10

V0(p) B0(p)

A1(p) б

Re

Рисунок 3.14 - Корени поліномів: а - V(p), V(-p), I V(p) I2 ; б - A(p), A1(p)

У виразі для ОПФ кола немінімально-фазового типу

Я1(р) = ^ГТ, (3.104)

знаменник V(р) такий самий, як у співвідношенні (3.70), а чисельник А1(р)

має корені, розташовані як ліворуч, так праворуч від уявної осі.

Нехай корені, які розташовані ліворуч і збігаються з частиною коренів А( р), утворюють поліном А0 (р), а корені, розташовані праворуч, - утворюють

поліном В0(р) (див. рис.3.14, б). Решта коренів А(р), що не увійшла до А0(р),

утворює поліном V) (р), тоді

А( р) = Л( рУо( р); (3.105) 4( р) = А>( р) В0( р). (3.106)

Якщо для спрощення вважати поліноми В0(р) і V0(р) спряженими:

В0( р) = Vо(-р),

тоді

А1( р) = 4( Р)Vо(-р). (3.107) Підстановка виразів (3.106) і (3.107) до формули (3.104) і подальші пере­творення дозволяють записати:

Н( р) = Ао(р) Уо(-р) VШ = Ао(Р)Vо(р) Vо(-р) V(p)       ^(р)       V(p)       Vо(p) ' Тоді на підставі виразу (3.105) справедливе співвідношення

Н1(р) = А(Р) Vо( Р), а з урахуванням формули (3.70) (р)   Vо( р)

Н1( Р) = Н (р) Vо(-^. (3.108)

Заміна в останньому виразі р на і— призводить до співвідношення

Н1(і—) = Н(і—) Vо^-), (3.109)

яке встановлює зв'язок між КПФ кіл немінімально- і мінімально-фазового типу Н1(і—)  і Н(і—), відповідно. Оскільки модуль дробу у формулі (3.109)

дорівнює одиниці, справедлива рівність:

Н1(—) = Н (). (3.110)

Як видно з виразу (3.110), АЧХ кіл немінімально- і мінімально-фазового типів за умов (3.105) і (3.107) однакові. З рівності (3.109) виходить, що аргу­менти функцій  Н1(і—)  і  Н(і—), які визначають ФЧХ відповідних кіл,

відрізняються між собою аргументом дробу V0(-і—)/ V0(і—):

агв[Н1(і—)] = arg[H (і—)] + а^^0*-—)], (3.111) який можна знайти за формулою:а^^-у—^ = а^^-іа))] - arg[Vою)]. (3.112)

Згідно з виразом (3.102) аргумент полінома V0(і—) є непарною функцією:

arg[ Vо (-і—)] = - arg[ Vо (і—)]. Тоді вираз (3.111) можна переписати так:

Н (і—)] = а^[Н (і—)] - 2       (і—)]. (3.113)

Тобто при однакових АЧХ фазочастотна характеристика кола немінімально-фазового   типу   arg[H1( і—)]   відрізняється   від   ФЧХ кола

мінімально-фазового типу а^[Н(і—)] на величину -2arg[V0(і—)]. Графіки ФЧХ кіл мінімально-фазового типу, які розглядалися раніше, мають, як прави­ло, спадаючий характер. Крива (і—)], зображена на рис.3.13, зростає із збільшенням частоти   —   (слід зауважити,  що  поліноми   V(р)   і   V0(р)

відрізняються порядком, який впливає тільки на швидкість такого зростання). Тоді графік залежності - 2arg[V0( і—)] також матиме спадаючий характер.

З формули (3.113) можна зробити висновок, що ФЧХ кіл немінімально-фазового типу в інтервалі частот — > 0 спадатимуть швидше порівняно з ФЧХ кіл мінімально-фазового типу, тобто немінімально-фазові кола вносять більший фазовий зсув. Саме ця обставина і обумовила відповідні назви кіл.

На підставі співвідношення (3.113) і з урахуванням границі (3.103) різниця між ФЧХ кіл немінімально- і мінімально-фазового типів для нескінченної частоти становитиме:

Н1( і»)] =     Н (і»)] - 2Ь п =     Н (і»)] - Ьп, (3.114)

де Ь - кількість нулів ОПФ у правій півплощині.

На відміну від кіл мінімально-фазового типу, які є неврівноваженими прохідними чотириполюсниками (тобто у пари вхідних і вихідних затискачів є один спільний), кола немінімально-фазового типу - це мостові чотириполюсни­ки або їх еквіваленти - прохідні чотириполюсники з 7-подібними перекритими структурами. Щоб реалізувати немінімально-фазові кола, потрібно вдвічі більше реактивних елементів, ніж для мінімально-фазових.

В окремому випадку ОПФ немінімально-фазових кіл можна записати у вигляді:

Н1(Р) = Но уггу. (3.115)

АЧХ такого кола становить Н1(—) = Н0, тобто не змінюється, а ФЧХ ви­значається як

а^[Н10а))] = ^^0 0—))]. (3.116) Якщо V0(р) є поліномом Гурвіца другого порядку, немінімально-фазове коло має частотні характеристики, графіки яких зображені на рис.3.15, а. Нарис.3.15, б показана карта нулів і полюсів цього кола, причому його нулі -спряжені полюсам.

#і(со) * Н о

0

0

-2л

х-

- 5

вл

о

5 Яе

- ю

вл

б

Рисунок 3.15 - Немінімально-фазове коло: а - частотні характеристики;

б - нулі та полюси Н1(р) (3.115)

3.11 Операторна передатна функція неспотворюючого кола

Вважають, що коло не вносить спотворення, якщо відгук /2(ї) у масштабі повторює дію /1(ґ) із затримкою на час ґ0 (рис.3.16):

Л(0 = НоА - *о), (3.117) де Н0 - постійна величина.

о

а

0        ?о ?о + ті

б

Рисунок 3.16 - Часові залежності у неспотворюючому колі: а - дії; б - відгуку

Переведення виразу (3.117) у простір зображень з урахуванням власти­вості перетворення Лапласа (табл.3.2, п. 4) призводить до рівності:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації