Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 34

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

*2( Р) = Н о Ж р)е

-рі о

(3.118)

т

Підстановка зображення (3.118) до виразу (3.71) дозволяє отримати ОПФ неспотворюючого кола:

Н (р) = Н0е - р'°. (3.119) Заміна р = уо дозволяє перейти до КПФ неспотворюючого кола:

Н(усо) =      ",

частотні характеристики якого визначаються модулем і аргументом Н(уо):

Н о) = Н0; [ги^[Н(усо)] = ?0 .

Графіки частотних характеристик неспотворюючого кола зображені на рис.3.17.

Неспотворююче коло у діапазоні частот 0...% має незмінну АЧХ і

лінійну ФЧХ, причому із збільшенням кута нахилу ФЧХ зростає час затримки відгуку відносно дії ^ ф ~ ґ0). У реального кола частотні характеристики, по­чинаючи з частоти со1, відрізняються від ідеальних. Щодо частотних характери­стик немінімально-фазового кола (рис.3.15, а), вони теж відповідають умовам неспотвореної передачі у діапазоні частот 0 к ю1, де ФЧХ майже лінійна. Тому

коло з передатною функцією (3.119) ще має назву лінії затримки.

АН (со)

Н 0г-

0

СОї

со

arg[Н(усо)] *

0

0

а

б

Рисунок 3.17 - Частотні характеристики неспотворюючого кола:

а - АЧХ; б - ФЧХ

3.12 Зв'язок операторної передатної функції з часовими характеристиками

Диференціальне рівняння (3.63) для кола другого порядку пов'язує дію ) з відгуком /2(ґ). Якщо дія належить до простору оригіналів, має викону­ватись умова (3.69), яку можна переписати згідно з формулою (3.67) так:

Во(Р) -Л(Р) (+02+/2(+0)(Ь2р + Ьу) '(+0)а2 -Л(+0)(а2р1)=0. (3.120) Прирівнявши у рівнянні (3.120) коефіцієнти при однакових степенях р нулю, можна записати:

\Ьг /2(+0) = а2 /1(+0); [Ь2/2(+0) + Ьі/2(+0) = а^./1'(+0) + а^./1(+0). Розв'язання цієї системи відносно початкових значень відгуку дає:

Л(+0) = к<,/і(+0); /2(+0) = к«/і'(+0) + *і/і(+0), (3.121)

(3.122)

де к0

Ь2 кі

-

Якщо диференціальне рівняння (3.63) продиференціювати і перевести у простір зображень, аналогічно можна визначити:

/2(+0) = ко ЛТ+0) + ШЩ + к2 (+0), (3.123)

де к2 а0Ь2 - а2Ь0 - к] Ь_

Ь0

Отже, як видно з рівнянь (3.122), (3.123), відгуки, що належать до просто­ру оригіналів, мають початкові значення, зумовлені початковими значеннями дії та коефіцієнтами диференціального рівняння. Аналогічно визначають по­чаткові значення відгуку для кіл інших порядків. В табл.3.4 наведені початкові значення відгуку та його похідних у колах першого і другого порядків (п = 1,2).

Якщо дією є одинична функція ) = 1), відгуком, за визначенням, буде перехідна характеристика /2(ї) = ё). Тоді, з урахуванням зв'язку між пе­рехідною та імпульсною характеристиками, відповідно можна записати:

/1(+0) = 1; /'(+0) = 8(*); /1+0) = 8'(*); /2(40) = ё(+0);  /2(+0) = £'(+0) = 4+0); /2(+0) = ё"(+0) = А'(-Ю).

Початкові значення перехідної та імпульсної характеристик та їх похідних, записані на підставі співвідношень (табл.3.4), зведені до табл.3.5.

Таблиця 3.4 - Початкові значення відгуку та його похідних

Відгук і

його похідні

/2(+0)

Розрахункові співвідношення

к0 /1 (+ 0)

Примітка

—і-

п = 1

к0

а1

а0Ь1- а1Ь0

к = а2

п = 2

Ь2

а1Ь2 - а2Ь1 Ь2

/2(+0) к1=

Ь12

Ь0

к1

а0Ь2-а2Ь0 Ь1

т2

/2 (+0) к0 /1 (+0)+к1 /1 (+0)+к2 /1(+0)

к2 = -° к1

Ь1

к2~     Т2 ТЗрозуміло, що вирази, які визначають початкові значення, спрощуються, якщо дорівнюють нулю деякі коефіцієнти правої частини диференціального рівняння кола.

Таблиця 3.5 - Початкові значення часових характеристик та їх похідних

Часові характе-

Розрахункові співвідношення

Примітка

ристики та їх похідні

 

п = 1

п = 2

ё (+0)

 

 

2

ё ' (+0) = И(+0)

 

к    а0Ь1- а1Ь0

а1Ь2 - а2Ь1

 

 

 

к1 = Ь2

ё' (+0) = И ' (+0)

к0 5' )+к15)+ к2

Ь1

а0Ь2-а2Ь0     Ь1 к Ь2

Між зображеннями часових характеристик і ОПФ існує певний зв'язок. З

відгуком на дію /1(ґ) = 1(ґ);     р) = , пов'язана, за визначенням, перехідна ха-

р

рактеристика - вони чисельно збігаються, тобто /2 ) = g(ґ); Р2 (р) = Х[g(ґ)]. Підстановка зображень відгуку і дії до виразу (3.71) призводить до співвідношення:

Н (р) = , або Д 8 (ї)] = в( р) = Н (р)

(3.124)

1/р р На підставі формули (3.124) можна зробити висновок, що перехідна ха­рактеристика - це оригінал, зображення якого є відношенням ОПФ до операто­ра р, тобто:

Н(р)

ё ) = Д-1

р

(3.125)

У теорії функцій комплексної змінної для відповідності Х[/(ґ)] = Р (р) доведені граничні співвідношення (див. табл.3.2, п.6):

Ііт рР(р) = Ііт /(ґ). (3.126)

р—х ґ—0 р—0 ґ—х

Для О(р) вираз (3.126) записують у вигляді:

Ііт рО(р) = Ііт g(ґ), або з урахуванням співвідношення (3.124)

р—х ґ—0 р—0 ґ—х

Ііт Н (р) = Ііт ё).

р—х /0

р—0 ї—х (3.127)

Рівність (3.127) можна переписати у вигляді двох рівнянь, попередньо замінивши р на ую:

Ііт Н(ую) = Ііт ё(г); (3.128)

ю— о гоо

Ііт Н(ую) = Іітё(г). (3.129)

ю—о г—о

Формула (3.128) показує, що перехідна характеристика в усталеному ре­жимі о) має постійне значення, якщо АЧХ кола при ю — 0 відмінна від нуля (коло „пропускає" постійний струм). Рівність (3.129) означає наявність стрибка у відгуку на одиничну функцію (або ступінчасту дію), якщо АЧХ не-нульова при ю — о (тобто коло „пропускає" коливання верхніх частот).

Отже, рівняння (3.128) і (3.129) встановлюють зв'язок між КПФ та пе­рехідною характеристикою на межах частотного і часового діапазонів. Ці вира­зи відповідають аналогічним співвідношеннями (2.7), (2.8), отриманим часовим методом у розд.2.

Частотні та часові характеристики пов' язані між собою не тільки на ме­жах відповідних діапазонів. Якщо дією є дельта-функція /1(г) = 8), відповідно

Р1( р) = 1, відгук чисельно збігається з імпульсною характеристикою: /2 (() = ), а його зображення Р2( р) = £[И(г)]. Підстановка відповідних зобра­жень до виразу (3.71) дає:

Н(р) =          ,       або Н(р) = ДЧг)]. (3.130)

Рівність (3.130) свідчить, що імпульсна характеристика є оригіналом

ОПФ:

к(г) = £ "1[ Н (р)],

або згідно з виразом (3.40):

1   а+уоо

И(г) = | Н(р)єрг(їр. (3.131)

2пу а-уо

Якщо комплексну змінну р = а + ую перетворити в уявну: р = ую (а = 0), ф = і (ую) = усію, тоді вираз (3.131) набуває вигляду:

і    + уоо і   + уоо

Н(г) = | Н(уоОЛ(ую) = — | Н(уюю.

2пу - уоо 2п - уоо

Оскільки інтегрування тепер треба виконувати за дійсною змінною ю , межі інтегрування позначають як дійсні:

1

Н( г) = | Н (ую)еуюг сію. (3.132)

2п-оо

Отже, імпульсна характеристика кола визначається як обернене перетво­рення Фур'є від КПФ, відповідно КПФ - це пряме перетворення Фур'є від імпульсної характеристики:

Я(jco) = Jh(t)e-jctdt. (З.ІЗЗ) О

У виразі (З.ІЗЗ) нижня межа інтегрування - нульова, оскільки h(t) = О при t < О . Враховуючи, що пряме перетворення Фур' є від функції f(t) визначає її спектральну густину, можна стверджувати, що КПФ Я (jco) - спектральна гус­тина імпульсної характеристики h(t). Співвідношення (З.1З2) дозволяє одно­значно визначити імпульсну характеристику h(t), якщо відома частотна харак­теристика Я (jco) і навпаки, знайти Я (jco) за формулою (З.ІЗЗ) або згідно з да­ними табл.З.1 за умови p = jco.

Приклад 3.11. Визначити граничні співвідношення між перехідною та амплітудно-частотною характеристиками у колі (рис.З.2), якщо дія - напруга u (t), відгук - напруга uc (t).

Розв'язання. У прикладі З.5 знайдено зображення відгуку F2( p) = U c (p) за умови, що зображення дії Fl (p) = U-°-. Якщо підставити зображення відгуку і

p

дії до формули (З.71), отримаємо ОПФ:

Я (p) = юри

р2 + 2Ьр + С0рез

На підставі виразу (3.88) КПФ становитиме:

С2

Н (усо) =-2—СССрез-—. (3.134)

(усо) + 25/ю +

З формули (3.134) видно, що за умови нульової частоти Н (0) = 1, а при со —» да значення Н(да) = 0. У прикладі 3.5 також знайдено відгук пс) на дію и (ґ) = и о-1(0. Якщо покласти, що и0 = 1В, відгук (3.52) чисельно збігатиметься з перехідною характеристикою:

ё) = 1 -Срезе~5ґ совКлґ - У), (3.135)

c вл

t 5 де у = arctg-

c вл

Зазначимо, що вираз (З.1З5) збігається з результатами, отриманими у по­передньому розділі (див. табл.2.З).

Визначимо граничні значення часової (перехідної) характеристики. Ско­риставшись відомою тригонометричною формулою, отримаємо:

l c вл        c вл

Vl + tg2y     д/52+«2л Юрєз

l99

Тоді   g (О) = l--— • cos у = О,  що  сходиться із  значенням   Я (да) і

c вл

підтверджує співвідношення (З.129).

Якщо   час   прямує   до   нескінченності,   виконується співвідношення

Ііт e ~5t = О, і тоді за формулою (З.1З5) значення g (да) = l, що збігається із зна-

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації