Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

ис = 7-са0О - 7-сЬ0О; ис = 7йа0О - Z0O,де 2_ц - елементи оберненої матриці {і_)= (7) 1 у виразі (4.166).

Тоді

Ш+й)(а + Ь)

Пс Пй = 1са 1сЬ 1йа + 1йЬ Па — ПЬ     1аа — 1аЬ — 1Ьа + 1

ЬЬ

або у скороченому запису:

ШП +й )(а +Ь)

1

(с+й)(а+Ь)

де 1

7

(а+Ь)(а+Ь)

(4.18а)

(4.18б)

Якщо врахувати, що     = А у/    , то вираз (4.18б) можна привести до ви-

гляду:

Ш+й )(а+Ь)

= А ас    А Ьс    А ай + А Ьй = А аа А Ьа — А аЬ + А ЬЬ

де

А7

визначник;

А

А(а+Ь)(с+й) ,

А(а+Ь)(а+Ь) алгебраїчні

(4.18в) доповнення;

А (*+1)(/+у) = А */ А А і/ + А

сумарне алгебраїчне доповнення матриці (7) у виразі (4.2).

Формули (4.18) показують, що для визначення коефіцієнта передачі за на­пругою треба обчислити не всі п2 елементи оберненої матриці ) = (7) 1 (п -порядок матриці), а лише вісім (або вісім алгебраїчних доповнень).

Тому в радіотехніці широке розповсюдження знайшли спеціальні методи розкриття визначників (алгебраїчних доповнень) матриці коефіцієнтів системи рівнянь рівноваги складних схем.

Формули (4.18) належать до найзагальнішого випадку обчислення ко­ефіцієнтів передачі за напругою чотириполюсника, коли кожен з вузлів, що утворюють вхід, не з'єднаний зі спільним ("землею").

Якщо будь-який з вузлів а, Ь, с, й увімкнути до спільного, елементи обер­неної матриці (або алгебраїчного доповнення) у формулах (4.18) з індексами, відповідними номеру заземленого вузла, дорівнюють нулю. Наприклад, якщо визначати коефіцієнт передачі за напругою для прохідного чотириполюсника (Ь = 0, й = 0), то формули (4.18) перетворяться так:

н = гт      = 1 +0)(а+0) = = А (с+0)(а+0) = А ас (4 18г)

ИП(с+0)(а+0) - Шіса- 1 ~ 1     ~ А _ А     . (4.18г)

1+0)(а+0)    1аа    А(а+0)(а+0) Ааа Формула (4.18г) збігається з результатом, отриманим у першій частині підручника [7, формула (6.3)] з урахуванням позначення вихідного вузла.

Якщо необхідно знайти коефіцієнт передачі за напругою зі входу (с+ й) на вхід + Ь), тоді джерело струму слід увімкнути до вузлів с, й. Обернена матриця не зміниться, а стовпець (/ 0) буде мати ненульові елементи тільки в

рядках с, й (відповідно +10, — 10). Тоді коефіцієнт передачі за напругою стано-

витиме:

7 Л

И—(а +Ь)(с+й) - 7--' (418д)

7 (с+й)(с+й) Л(с+й)(с+й)

При цьому, порівнюючи вирази (4.18д) і (4.18в), можна помітити, що формулу (4.18 д) з дією на вході + й) і реакцією на виході + Ь) можна одержати з виразів (4.18б), (4.18в) простим переставленням індексів.

З наведених формул також ясно, що коефіцієнти передачі за напругою в різних напрямках, але відносно тієї самої пари входів загалом різні.

4.5.2 Коефіцієнт передачі за струмом

Щоб обчислити цю функцію кола, треба надати або виділити у наданій схемі (рис.4.8, а) та винести ззовні на вхід вітку Он, через яку протікатиме

струм І вих - реакція на надану дію - струм І0 (рис.4.8, б).

Коефіцієнт передачі за струмом - це відношення комплексних амплітуд (діючих значень) І вих та І0, що у базисі вузлових напруг можна записати:

тт 1 вих — — вих^н — с    —й /~<

Ш +й )(а+Ь) —           "        —       "        ин.

10 10 10

а

_^вих

вих

а

а

б

с

Рисунок 4.8 - Схема вимірювання та обчислення коефіцієнта передачі за струмом: а - зі входу + Ь) на вхід + й); б - з винесеною за чотириполюсник вихідною віткою Он

З розв'язку системи рівнянь рівноваги (4.16б), де вектор-стовпець неза­лежних струмів має той самий вигляд, що й для рис.4.7, б, виходить:

с (7-са - 7сЬ ) 10 ; й (7-йа - 7йЬ ) 10 ;

И(с+й)(а+Ь) (7са - 7сЬ - 7йа + 7йЬ )&н 7+й)(а+Ь)&н

Лас - ЛЬс - Лай + ЛЬй Q   Q   Л(а + Ь)(с+й) (4 19а)

Лу Луде 7(с){а+Ь) ~ функція кола, що має сенс передатного опору зі входу + Ь) на вхід + й), як це буде показано нижче; 7ц - елементи оберненої

матриці (7)=(і) 1 у виразі (4.16б); а7; аі]- - визначник та алгебраїчні допов­нення матриці (і) у формулі (4.2).

Отже, щоб обчислити коефіцієнт передачі за струмом, слід розрахувати лише чотири елементи      оберненої матриці (і) 1 або чотири доповнення аі]- і

визначник матриці (і).

Слід також зазначити, що провідність врахована в матриці (і) при

складанні рівняння (4.2).

У зворотному напрямку коефіцієнт передачі за струмом

И+Ь)(с+й) = 7(а +Ь)(с+й)&н =      а(с+й)(а+Ь) / АІ (4.19б)

і також відрізняється від коефіцієнта передачі у напрямку зі входу + Ь) на вхід (с + й), причому провідність , в якій протікає вихідний струм, увімкне­но між вузлами а, Ь.

4.5.3 Вхідний та передатний опір, вхідна та передатна провідність

Передатну провідність зі входу + Ь) на вхід + й) визначають як відношення комплексних амплітуд (діючих значень) струму - реакції на вході (с + й) та напруги - дії на вході (а + Ь) (рис.4.8):

у = 1 вих+й) = Ц-+й= И г   = 7+й)(а + Ь) г (420а)

І-+й)(а + Ь) - - ~~гт - Ии(с+й)(а + Ь)^н ~ ~ . (4.20а)

Цвх (а +Ь)        Ц(а+Ь) 7(а+Ь)(а +Ь)

Аналогічно перетворенням функції (4.18б), вираз передатної провідності, записаний за допомогою алгебраїчних доповнень, має вигляд:

І+й)(а+Ь) = °"АА(а+Ь)(с+"). (4.20б)

А(а+Ь)(а+Ь)

Отже, щоб обчислити передатну провідність між двома входами складної схеми з п вузлами, слід обчислити лише вісім елементів 2_і] оберненої матриці

(і ) 1 або вісім алгебраїчних доповнень матриці (і ) у рівнянні (4.2).

Передатний опір зі входу (а + Ь) на вхід (с + й) обчислюють за схемою (рис.4.8, а) у базисі вузлових напруг за формулою:

7 = ивих(с+й) = Ц- Ий = 7     7     7   + 7 (42іа)

7 +й )(а+Ь) ~        } _       } ~ 7са    7сЬ    7йа^7йЬ , (4.21а)

або використовуючи алгебраїчні доповнення:

7 = А(а+Ь)(с+й) = Аас  Аай   АЬс + АЬй . (4.21б)

7(с+й)(а+Ь) =        7 = 7 . (4.21б)

Аі Аі

Як видно з формул (4.20), (4.21),

7(с+а){а+ь) ф -■> (4.22)

У +і )(а+Ь)

тобто передатні опір та провідність не є взаємно оберненими функціями.

Вхідний опір відносно одного із входів, наприклад (а + Ь), визначають як

7 (а+Ь)( а +Ь) _ ~~     ~, (4.23а) 10(а+Ь)

що за схемою (рис.4.8) після розрахунків, аналогічних попереднім, дає:

7 _ 7        7        7    + 7     _ Ааа - АЬа - АаЬ + АЬЬ _ А(а)(а)    (4 23б)

7 +Ь)(а+Ь) ~ 7аа~ 7аЬ ~ 7Ьа^ 7ЬЬ ~ 7 ~        7 . (4.23б)

Аналогічно формулі (4.23 а) вхідна провідність становить:

У = 10(а+Ь) =       1       _     Ат (4 24)

І-+Ь)(а+Ь) ~ тт ~ 7 ~ Л . (4.24)

^(а+Ь)     7(а+Ь)(а+Ь)     А(а +Ь)(а+Ь)

З формул (4.23), (4.24) виходить, що на відміну від виразу (4.22)

7+Ь)(а +Ь) _ У • (4-25)

У (а+Ь)(а+Ь)

Для прохідного чотириполюсника, коли вузли Ь та сі увімкнені до спільного вузла (Ь _ 0, сі _ 0), передатний опір

7+Ь)(с+і) _ 7+0)(а+0) _ 7аЬ .

Отже, будь-який елемент оберненої матриці, що не лежить на її головній діагоналі, має сенс передатного опору зі входу (Ь + 0), тобто між вузлом Ь і спільним ("землею"), на вхід (а + 0), тобто між вузлом а і спільним .

Вхідний опір прохідного чотириполюсника

7(а+Ь)(а +Ь) _ 7(а+0)(а+0) _ 7аа,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації