Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 40

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

тобто еквівалентний опір між вузлом а і спільним вузлом дорівнює елементу головної діагоналі оберненої матриці (7) _ )~1.

4.5.4 Обчислення функцій кола в базисі контурних струмів

Для моделювання електричних кіл та відповідних функцій кола в базисі контурних струмів використовують систему рівнянь рівноваги (4.1) та її розв'язок (4.16а).

Як вхід в цьому базисі розглядають вітку, яка (у загальному випадку) ле­жить між двома контурами з номерами А, В, як вихід - вітку між двома конту­рами з номерами С, В (рис.4.9).

Тоді, склавши систему рівнянь рівноваги (4.1) для єдиного джерела Е та розв'язавши її (4.16б), одержують такі функції кола.

Коефіцієнт передачі за напругою:

Н-и+Р)(А+В) -= Рн у+Р)(А + В)

и+р) = дс - 1р)Р = (Уса - 1св - Гра + 1рв )Е р

Е Е

Р-н А (А+ В )(с+Р)

А

Е

ААС - ААР - АВС + АВР

А 7

(4.26)

Е

 

^______^

 

 

А,А-

 

 

 

Рисунок 4.9 - Схема увімкнення джерела Е та навантаження Рн для визначення функцій кола в базисі контурних струмів

Щоб обчислити коефіцієнт передачі за струмом, враховують, що струм у вітці з джерелом Е дорівнює різниці контурних струмів контурів А і В, тобто:

ІС - ІБ _ СА - УСВ - УРА + УРВ )Е _ У(С+в)(а+ в) _

И +р)( А+ В)

ІА - ^ -АА - УАВ - УВА + УВВ )Е- У (А+в)( А+ В) А(А+ В)(с) = ААС - ААР - АВС + АВР

А (А+ В )(А+ В)      А АА    А АВ    А ВА + А ВВ

Передатний опір

7 = и +Р) = с - ііР )Рн = р  УСА - УСВ - УРА + УРВ

г +р)(А+В) = - -      І       І        - Рн У        У        У

(А+В)        А    В УАА   УАВ   УВА УВВ

р  У +Р)(А+В)     РнА(А + В)(с+Р)     р  ААС - ААР - АВС + АВР У(А+ В)(а + В)        А(А+В)(А+ В) ААА - ААВ - АВА + АВВ

Передатна провідність

У+р)(А+В) = іС    ~Р = УСА - УСВ - УРА + УРВ = У+Р)(А+В) =

Е

= А(А+ В)(с+Р) = ААС - ААР - АВА + АВР А7 А7

(4.27)

(4.28)

(4.29)

Вхідний опір на вході (А+В)

7      Е Е 1

7 (А+ в )(А + в) -

1 (а+в)     (УаА    ав    ва + вв ))    (а+В)(а+

в)

А7 А,

(4.30)

А(А+В)(А+В)   ААА   ААВ   АВА + АВВ Вхідна провідність

У(А+В)(А+В) -   ^ е  ) = —АА - —АВ - — ВА + УвВ У(А+ В)(А+ В)

А (А+В)(А + В) ААА- ААВ - АВА + АВВ А7 А7

(4.31)

У формулах (4.26) - (4.31) —у - елементи оберненої матриці ()- (7)-1 у

виразі (4.16а), А 7; А у - визначник і алгебраїчні доповнення матриці опорів (7)

у виразі (4.1). Якщо будь-яка вхідна вітка є власною для контуру (тобто нале­жить лише цьому контуру, а не двом А, В чи С, 2), тоді один з індексів В, Д або обидва разом дорівнюють нулю і з формул (4.26) - (4.31) одержують скороче­ний запис, аналогічно формулам у базисі вузлових напруг. Нехай, наприклад, вхідна вітка належить тільки контуру А (В - 0), а вихідна і?н - тільки контуру

С (2 0). Тоді формули (4.26) - (4.31) матимуть вигляд:

И+0)(А+0)      СА — ^нААС / А7 ; (4.32а)

НІ(С+0)(А+ 0) СА І—АА — ААС / ААА ; (4.32б)

7+0)(А+ 0)      СА 1—АА —     ААС 1ААА ; (4.32в)

+0)(А+ 0) СА — ААС 1А7 ; (4.32г)

7+0)(А+0) 11АА —А7 ІААА ; (4.32д)

(А+ 0)(А+ 0) АА — ААА 7 . (4.32е)

Крім того, важливо зауважити, що

7+Б)(А + В) ф 7(А+В)(С+Б);    +Б)(А+ В) ф + В)(С+Б).

Якщо порівняти формули (4.26) - (4.31) з виразами для функцій кола, об­числених у базисі вузлових напруг, легко помітити формальний збіг формул (4.18в) для коефіцієнта передачі за напругою в базисі вузлових напруг та (4.27) для коефіцієнта передачі за струмом, обчисленого в базисі контурних струмів; коефіцієнта передачі за струмом (4.19а) в базисі вузлових напруг та коефіцієнта передачі за напругою (4.26) в базисі контурних струмів; вхідного (4.23а) та пе­редатного (4.21) опорів у базисі вузлових напруг та вхідної (4.31) і передатної провідності (4.29) в базисі контурних струмів. Цей формальний збіг для еле­ментів обернених матриць провідностей у виразах (4.16б) та опорів в (4.16а) та їх алгебраїчних доповнень у рівняннях (4.2) і (4.1) є проявом принципу дуаль­ності в теорії кіл, коли властивості, методи, формули моделювання кіл фор­мально математично збігаються. Перейти від відповідних понять, методів, вла­стивостей до їх дуальних пар можна формальною заміною понять напруга -струм; контур - вузол; джерело струму - джерело напруги; паралельний -послідовний і так далі. Тобто формули (4.26) - (4.31) для обчислення дуальних функцій кіл в дуальному базисі (відносно базису вузлових напруг) можна було б одержати з (4.18) - (4.25) формально на основі принципу дуальності.

Прикладом прояву цього принципу також є дуальність послідовного і па­ралельного Я, Ь, С кіл [7, підрозд. 3.7].

4.6 Функції кола і розрахунки параметрів чотириполюсника

З наведених у попередньому підрозділі формул обчислення функцій чо­тириполюсника ясно, що для чотирьох зовнішніх вузлів а, Ь, с, сі у загальному випадку моделювання кола, схема якого має п вузлів (п > 4), слід обчислити

лише   16   елементів   оберненої   матриці   провідностей   (7)— (—) 1, тобто

підматрицю (~) четвертого порядку:

(4.33а)

7 =

(ї_) і визначник А7 = \У\:

 

а

Ь

с

й

ґ

у

—аа

у

аЬ

у

ас

7 \

 

7

^±-Ьа

уЬЬ

уЬс

 

 

у

—са

усЬ

у

сс

усй

V

у

 

 

 

матрицю (А) алгебраїч]

 

а

Ь

с

й

а

А аа

АаЬ

Аас

А ай

Ь

АЬа

АЬЬ

АЬс

АЬй

с

А са

АсЬ

Асс

Асй

а

КА йа

А йЬ

А йс

А йй у

(4.33б)

Для прохідного чотириполюсника (Ь = 0, й = 0) виходить матриця друго­го порядку:

ас ас

1 а (Аг

7 =

а' 7 7

аа ас

Аса

(4.34)

\ — ~     і і

7 7

Параметри 7у матриці (~) у формулі (4.34) є елементами матриці

7-параметрів прохідного чотириполюсника. Параметри цього чотириполюс­ника (з точністю до знака у взаємних комірках матриці) можна одержати обер­ненням матриці (~):

а

Ь

с

й

її і]

У =(7 ) =

ас

а ґ V _ У Л

аа ас

(4.35)

— и -їли

- у у

\   і—са      —сс j

Загалом, інші параметри прохідного чотириполюсника можна знайти за відомими значеннями 7-параметрів, користуючись співвідношеннями, наведе­ними у табл.4.2.

4.7 Приклади обчислення функцій деяких кіл

Приклад 4.1. Обчислити операторні та комплексні функції Г-подібного ЯС-моста (рис.4.10).

Розв'язання. ЯС-мости є прохідними чотириполюсниками, які широко використовують в сучасних радіотехнічних селективних колах.

Оберемо як базис канонічну систему вузлових напруг.

2

Я2

Сі

С2

1

3

Рисунок 4.10 - Г-подібний ЯС-міст

Операторна матриця провідностей схеми у цій системи має вигляд:

( р))=

1 ґ

2

_ в1 + 01 + 02        _ ^2

Операторний коефіцієнт передачі за напругою (4.18г) має вигляд (а = 1.

Ь= 0, с= 3, й = 0)

3

V

Ни (с+0)(а+0)( р)

Аа

А

13

Аа

А

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації