Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 48

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

361п В - й й

1

І 

0

Коаксіальний кабель (рис.5.2, б)

ццо 1п В =

2п й

7 В = 2 • 10-7 ц 1п —

й

2пгг 0

1п В

й

10 -9 г

181п В

й

1   /цц 0     1 + 1 ^

юC1tg8

Стрічкова (рис.5.2, в)

 

ггЬ

1 [ й І

2цц 0 ю

 

 

й

 

 

а

 

Таблиця 5.2 - Параметри діелектриків

Матеріал

г

tg5 для / = 1000 МГц

Поліетилен

2,25

2 -10 -4

Полістирол

2,56

2 -10 -4

Фторопласт

2,08

2,5 • 10 -4

Плавлений кварц

3,85

3-10 -5

Окис алюмінію

9,6

4 • 10 -5

Плексиглас

3,4

2-10 -3

6 Формули стосуються діелектриків без магнітних властивостей. У табл.5.1, 5.2 вико­ристано такі позначення: г0 = 10-9/36п Ф/м - електрична стала вакууму; г -

відносна діелектрична проникність ізоляції; ц 0 = 4п -10 Гн/м - магнітна стала ва­кууму; ц - відносна магнітна проникність металу; tg5 - тангенс кута втрат ізоляції; ю, рад/с - робоча кутова частота; а, См/м - питома об'ємна провідність металу.

Таблиця 5.3 - Параметри металів

Метал

Питома об'ємна провідність а, См/м

Відносна магнітна проникність ц

Срібло

6,17 ■ 107

1,016

Мідь

5,81 ■ІО7

1,017

Золото

4,13 ■ІО7

1,013

Цинк

1,69 ■Ю7

1,011

Латунь

1,55 ■Ю7

1,011

Олово

0,88 ■ 107

1,013

Приклад 5.1. Обчислити первинні параметри симетричної двопровідної повітряної лінії (рис.5.2, а) для частоти / = 100 МГц, якщо розміри латунних

провідників становлять: = 2 мм; В = 10 мм.

Розв'язання. За формулами для первинних параметрів симетричної дво­провідної повітряної лінії (табл.5.1), використовуючи параметри латуні з табл.5.3, виконаємо розрахунки:

»ЛІ = 4.10"7 .1,011 Іп10-^10"3

<1 10"

= 0,8886 мкГн/м;

Ц = 4 ■Ю"7ц 1п= 4 -10"7 ■ 1,011 ■ 1п —-30— = 8,886 ■Ю"7 Гн/м =

10"9 10"9

С1 =--- =---- = 1,264 ■Ю -11 Ф/м = 12,64 пФ/м;

361п—^   361п10 10

а 10 "3

, = 1   Іцц0со = 1 1 ~ПП "^Ю"^

Ї,0ЇЇЇ4П^Ї0"7^2П^Ї08"   ЛҐЛСГЛ , -=-= 1,615 Ом/м.

2 1,55 ■Ю7

Оскільки лінія має повітряну ізоляцію, приймаємо 01 = 0 .

Приклад 5.2. Для частоти / = 1000 МГц знайти первинні параметри ко­аксіального кабелю (рис.5.2, б) з розмірами: 2а = 2 мм; 2В = 20 мм, якщо провідники кабелю латунні, ізолятор - поліетилен.

Розв'язання. За формулами з табл.5.1, використовуючи значення пара­метрів матеріалів (табл.5.2 і 5.3), отримуємо:

Ц = 2 ■ 10"7 ц 1пВ = 2 ■Ю"7 ■ 1,011 ■ Іп10— = 4,656 ■Ю"7 Гн/м = 0,4656 мкГн/м;

а 10 "3

С1 = -10—В = 10   ' 2'225 = 5,429 10-11 Ф/м = 54,29 пФ/м; 181п- Шп1^

1 [ц^

со

2л V 2а

В сС

-3

=2,809 Ом/м;

1,011 4л40-72л409 (_1_ _1

2л ^|       2 1,55 •Ю7       110-2 + 10

^ = соС^5 = 2л • 109- 5,429 102 10-4= 6,822 10-5 См/м = 68,22 мкСм/м.

Приклад 5.3. Визначити первинні параметри стрічкової лінії (рис.5.2, в) з розмірами С = 2 мм; к = 1 мм, якщо лінію виготовлено з латуні та фторопласту, а частота становить / = 1000 МГц.

Розв'язання. Використовуючи відповідні формули та значення пара­метрів матеріалів, матимемо:

А =

С1

щір к = 1,011 • 4л-10 -7-10 -3 С   ~        2 •Ю-3 " єє0 сі = 2,08 •10-9 2 •Ю-3

*1 =

1_

сі

к

36л •Ю-3 6,352 • 10-7 Гн/м = 0,6352 мкГн/м; = 3,678 • 10-11 Ф/м = 36,78 пФ/м;

1

а

2•Ю-3 ^

2 1,011 • 4л40-7 2л409

= 16,047 Ом/м;

1,55 •Ю7

в1 = соС^5 = 2л • 109 3,678 • 10-11 2,5 • 10-4= 5,778 • 10-5 См/м =57,78 мкСм/м.

Приклад  5.4.  Розрахувати  первинні  параметри  неоднорідного ко­аксіального   кабелю   для   частоти   / = 1000 МГц.   Побудувати графіки

А1(х); С1(х); Я1(х); 01(х). Подовжній переріз кабелю показаний на рис.5.4.

Довжина кабелю  І = 1 м; діаметр центрального та зовнішнього латунних

провідників 2сС = 2 мм та 2В(х) = 2В0ех/1 (В0 = 10 мм) відповідно; ізолятор -

поліетилен.

у

В0

0

В0

х

Рисунок 5.4 - Подовжній переріз коаксіального кабелю у прикладі 5.4

Розв'язання. Підставляючи у розрахункові співвідношення прикладу 5.2 замість величини В вираз для В(х), отримуємо:

А1( х) = М 1п В(х) = 2 10 - 7 1,011 1п

10-2 ех/1

2л

сС

10" 2,022 •Ю-7 (2,303 + х) Гн/м

0,2022 (2,303 + х) мкГн/м ;с1( х)

2лє0є

10"9- 2,25      1,25-10-1°    , 125

Ф/м =

1п В(х) 101 10"2ех/1 2,303 + х 1п 181п-

10

^( х)

1 Іцц0ю

2а V В(х) + ( J 2п^|

1,011 - 4п-10 "7-2п-109

2,303 + х ' 102

пФ/м;

2 1,55 107

х/1

+103

2,542(0,1е "х +1) Ом/м;

х) = юС1( х^8

2п-109-1,25-10"10- 2-10 "4   1,571 -10"

2,303 + х

157,1

2,303 + х

См/м =

мкСм/м.

2,303 + х

Графіки Ь1(х); С1(х); Я1(х); С1(х) зображені на рис.5.5.

4( х), 1 мкГн/м

0,7

0,6

0,5

2,75 2,70

2,65 2,60

с1(х), пФ / м

60

50

40

► 30

0 4-^     30 -■-г

0   0,2 0,4 0,6 0,8   1 х     0   0,2 0,4 0,6 0,8   1 х

Я1(х)^ ^ (х) А

Ом / м 2,80

х\ мкСм/м

70

60

50

-- 40 -

0   0,2 0,4 0,6 0,8   1 х     0   0,2 0,4 0,6 0,8   1 х

Рисунок 5.5 - Графіки розподілу первинних параметрів вдовж кабелю

у прикладі 5.4

5.3 Диференціальні (телеграфні) рівняння довгої лінії. Загальний розв'язок рівнянь для лінії без втрат

Диференціальні рівняння ДЛ встановлюють аналітичний зв'язок між пер­винними параметрами Ьх, Сх, Ях, Ох, струмом і(ґ,х) і напругою и,х) у

довільному перерізі лінії у будь-який момент часу.

Щоб отримати диференціальні рівняння ДЛ, достатньо розглянути схеми заміщення елементарної ділянки Ах << X на відстані х від джерела (входу лінії) у вигляді Л-подібних чотириполюсників (рис.5.3, в, г). Подання елементів цих чотириполюсників АЬ, АС, АЯ, АО через первинні параметри

АЬ = ЬхАх; АС = Сх Ах; АЯ = ЯхАх; АО = ОхАх

призводить до схем (рис.5.6, а, б), аналіз яких із застосуванням законів Кірхгофа і дозволяє отримати диференціальні рівняння ДЛ.

Рівняння за другим законом Кірхгофа для вибраних напрямів обходу кон­туру К і напрямів напруг для схеми (рис.5.6, а) має вигляд:

ді(ґ х)

и(ґ,х + Ах) - и(ґ,х) + ЯхАх і(ґ,х) + ЬхАх   4 ' ' = 0, (5.4)

дґ

де ЯхАхі(ґ, х) - напруга на елементі АЯ; ЬхАх ді(ґ, х) - напруга на еле-

дґ

менті АЬ.

У рівнянні (5.4) і подальших виразах застосовують частинні похідні, оскільки струм і напруга є функціями двох змінних ґ, х.

Внаслідок перенесення доданків зі струмом у праву частину рівності (5.4) і ділення лівої та правої частин на Ах виходить рівняння

и(ґ, х + Ах) - и(ґ, х) =      (   )      ді(ґ, х)

Ах дґ яке після граничного переходу Ах —»0 перетворюється до одного з дифе­ренціальних рівнянь ДЛ:

1іт и(ґ,х + Ах)(Г,х) = ди(ґ,х) х)-Ьх. (5.5)

Ах—о Ах дх дґ

Рівняння, складене за першим законом Кірхгофа для вузла х у другій з розглянутих схем (рис.5.6, б), становить:

ди(ґ х)

і(ґ, х + Ах) - і(ґ, х) + ОхАх и, х) + СхАх —= 0, (5.6)

д

ди ( , х)

де ОхАх и, х); СхАх— '    - відповідно струми в паралельних вітках з

д

елементами АО та АС .

Перетворення рівності (5.6), подібні тим, які застосовано вище до виразу (5.4), дозволяють отримати друге диференціальне рівняння ДЛ:

1іт і(ґ, х + Ах) - і(ґ, х) = д^х1 = -Охи(,, х) - Сх . (5.7)

Ах—о Ах дх дЬ1Ах

і(і, х)

Я1Ах

и , х)

t

О-

С1Ах

в1Ах

х

Ах = -Ау

І

и (і, х + Ах)

t

■О

у

а

і(і, х)     1_   І^Ах       Ь1Ах       і(і, х+Ах)

и( , х)

(^Ах ( і,х)£^ (С1Ах )диМ

С1Ах

о-

х

4

1

Ах = -АУ

г

у

б

Рисунок 5.6 - До виведення диференціальних рівнянь довгої лінії

Диференціальні рівняння (5.5) і (5.7) можна записати також у функції ко­ординати у = І - х (рис.5.1, г), яку відлічують від навантаження (кінця) лінії.

Оскільки

Ау = -Ах; ду = х,

рівняння матимуть вигляд:

911 (1, У) = Щ,, у) + /, «;

ду ді( і, у)

ви ( і, у) + С

ді ди ( і, у)

(5.8)

(5.9)

ду       1 ді Використовують також спрощену форму запису диференціальних рівнянь

ДЛ:

и і       і и

= к1і + Ь1 ;--= в1и + С1 —;

х х (5.10)ди т ді      ді    „      „ ди

— = Клі + L—;    — = Gu + C—.

(5.11)

——  і     і —'    —     і і ду дї      ду 1 дї

Рівняння (5.10) і (5.11) називають також телеграфними, оскільки вони були отримані та досліджені при створенні перших ліній телеграфного зв'язку.

Від цих рівнянь, кожне з яких містить струм і напругу, можна перейти до рівнянь відносно напруги чи струму. Наприклад, щоб отримати вираз відносно напруги, у системі (5.10) слід продиференціювати перше рівняння за х, а друге - за і, а потім виключити струм у першому рівнянні:

д 2и

дх 2 д 2і

х ди

-- G1--+ C

1 ді 1

дідх'

ді2

дхді

ді    „     „ ди

1      1 ді

х

й = L1C1 ^ + (R1C1 +      )) + R1G1U. (5.12)

дх ді ді

Аналогічно складається рівняння відносно струму:

д 2и

= К1 ® + L 1 ді

д2і

дхді     1 ді    1 ді2

д2і    ^ ди   ^ д2и

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації