Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 49

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

— = G1 — + C1-:

х2 х        і х

и і = Я,і + L —; 1     1 ді

х => ^2 = + (R1C1 + G1L1)) + Я^і. (5.13)

х2 і2 і

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (5.12) і (5.13) мають од­накову структуру і називаються одновимірними хвильовими рівняннями.

Розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних (5.12) і (5.13) для реальної лінії та довільного джерела є досить складним. Простіше розв'язувати ці рівняння для довільного джерела в ідеальній ДЛ (ІДЛ) - лінії без втрат (Я1 = 0; С1 = 0) або для синусоїдного джерела в реальній лінії (див.

підрозд. 5.4). Для ІДЛ хвильові рівняння мають вигляд:

2 2

д и    т     д и , .ч

г; (5.14)

дх 2 д2і

L1C1

дґ д2 і

(5.15)

дх2     1 1 дґ

Диференціальні рівняння (5.14) і (5.15) вперше були досліджені Ейлером, Бернуллі і Даламбером стосовно задачі математичної фізики, пов'язаної з ко-

Бернуллі Даніїл, Bernoulli (1700-1782) - видатний математик і фізик, представник відомої династії швейцарських вчених. Протягом 1725-1733 рр. працював у Петер­бурзькій АН. Йому належать важливі праці з алгебри, теорії ймовірностей, численню нескінченно малих, теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь. Уперше увів доливаннями пружної струни. Розв'язати ці рівняння можна за допомогою рядів Фур'є заміною змінних (метод Даламбера) або операторним методом.

Розв'язуючи рівняння операторним методом, замість шуканих функцій и(ґ, х) та і(ґ, х) використовують їхні зображення за Лапласом за змінною ї:

и(х, р) = £[и , х)];   I (х, р) = £[і(ґ, х)]. (5.16)

Використовуючи властивості перетворення Лапласа і вважаючи початкові умови нульовими (і(х,0) = 0; и ,0) = 0), рівняння (5.14), (5.15) для зображень

(5.16) можна подати у вигляді:

Сх^) = 0; (5.17)

сіх

- 1С Р 21 (х, Р) = 0. (5.18)

сіх

Рівняння (5.17) і (5.18) є лінійними однорідними диференціальними рівняннями тільки за змінною х (диференціювання зар не виконується). З огля­ду на це, похідні за х є не частинними, а звичайними.

Оскільки рівняння (5.17) і (5.18) є однотипними, можна обмежитися аналізом одного из них, наприклад (5.17). Загальний розв'язок цього рівняння такий:

и (х, р) = ІІпад (Р)Є ~+ ІІвд (р)врх^\ (5.19)

де ипад (р), ивід (р) - сталі інтегрування, індекси яких відповідають фізичному значенню оригіналів цих доданків розв'язку - падаючій (прямій) та відбитій (зворотній) хвилям; + р^Ь1С1 - корені характеристичного рівняння,

складеного за виразом (5.18).

Щоб визначити сталі ипад (р), ивід (р), використовують граничні значен­ня (аналогічні початковим значениям для перехідних процесів) зображення и(х, р) і його першої похідної за х при х = 0 .

Якщо позначити оригінали сталих інтегрування ипад ), ивід ) і застосу­вати теорему запізнення перетворення Лапласа (див.табл.3.2, п.4), можна пода-

теорії помилок нормальний розподіл і поняття випадкових і систематичних похибок. В області математичної фізики розв'язав (1755) за допомогою тригонометричних рядів диференціальне рівняння коливання струни та вивів основне рівняння гідро- і газової динаміки (монографія «Гідродинаміка», 1738).

Даламбер Жан Лерон, Б'АІетЬегг. (1717-1783) - французький математик і філософ, член Паризьскої і Петербурзької АН. Вперше довів основну теорему алгебри (лема Даламбера). Сформулював загальні правила складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, зводячи задачі динаміки до статики (принцип Далам­бера). Застосував цей принцип до гідродинаміки. Розв'язав диференціальне рівняння, яке описує коливання струни. Розглядав час як четвертий вимір. Деякі праці, присвя­чені філософії, астрономії, естетиці та музиці, опубліковані в «Енциклопедії наук, мистецтв і ремесел», яку Даламбер готував разом з Д. Дідро (1751-1757).ти оригінал зображення (5.19) як

"(t, х) = "пад (ґ - хл/АСЇ) + "від (ґ + хл/АС1) = "пад (ґ - Х/ ^ + "від (ґ + х / ^ =

= "пад (£) + "від (П), (5.20)

де V =  . 1     - вимірювана швидкість поширення хвиль, м/с; £, = ґ - х / V,

П = ґ + х / V - узагальнені змінні при відповідних доданках розв'язку.

Справедливість розв'язку (5.20) можна підтвердити безпосередньою пе­ревіркою диференціального рівняння (5.14), яке з урахуванням позначення швидкості V матиме вигляд:

д 2 ["пад © + "від (п)] =  1  д 2 ["пад      + "від

(5.21)

дх2 V2 дґ2

Подвійне диференціювання у лівій частині рівності (5.21) виконують у два етапи, застосовуючи правило диференціювання складних функцій:

д["пад <£) + "від = ^"пад      д| + ^"від (п) дг| = -1 ^"пад <£) +1 ^"від (п) .

дх йЬ,    дх      сіх\    дх     V    с1<^ V

1)

2)   д2 ["пад (^> + "від (г)] = _ 1 А2"пад(^)       + ]_ А2"від(г) 5^

дх2 V       2     дх   V    с\т\ дх

1_

V 2

А 2"пад (^) + А 2"від (г)

2 Аг,2 (5.22)

Аналогічні перетворення правої частини рівняння (5.21) призводять до кінцевого результату, тотожного виразу (5.22):

д["пад+ "від(г)]   = А"пад(^) А"від(г) дг = А"пад(^) + А"від(г) .

1)

2)

_і_ а2]

V 2

пад (^) + "від (г)] = _1_ V 2

ді 2

А2"пад® д|+ А2"від(г) дг

2     ді       Аг2 ді

1

V 2

А2"пад (^) . А2"від (г)

2 Аг2

(5.23)

При виведенні співвідношень (5.22) і (5.23) враховані значення похідних узагальнених змінних £, і п за ґ і х:

= д- х / V) = 1     = д(( - х / V) __ 1 дп = д+ х / V) = ^ дп = д(( + х / V) = 1

дґ дґ дх        дх V дґ дґ дх        дх V

Фізичне значення падаючої та відбитої хвиль напруги у ДЛ ілюструє рис.5.7, на якому зображені графіки довільно вибраних функцій "пад(£)

(рис.5.7, а) та "від(п) (рис.5.7, б), а також побудовані два види графіків:

"пад (() (рис.5.7, в) та "від((,х) (рис.5.7, г) у функції ґ і х.

"пад

0

а

"від (п) |

0

б

і

1

"пад (ґ, х)і

1-

 

 

 

|                   "пад     х) і \    "пад(ґ ,0) У

V/___у

 

"пад (t2, х) , "пад (ґ, х\)^^%-

V

-►

і "пад (ґ, х2) / *

ґ

в

ґ

х

"від (ґ, х) |

Рисунок 5.7 - Падаюча та відбита хвилі напруги в лінії: а, б - графіки функцій "пад(£), "від(п); в - графіки падаючої хвилі;

г - графіки відбитої хвилі

Графіки першого виду для падаючої та відбитої хвиль побудовані в функції координати х для трьох фіксованих моментів часу = 0; ґ = ґ1; ґ = ґ2), аграфіки другого - в функції часу для трьох перерізів лінії (х = 0; х = х1 = уґх; х = х2 = »ї2). Моменти часу і перерізи лінії вибрані такими,

щоб вони відповідали нульовим значенням узагальнених змінних (5.20) (І = 0; п = 0) і тому - максимальним значенням падаючої та відбитої хвиль.

Одним з цих моментів часу є ї = 0, за якого максимуми падаючої та відбитої хвиль спостерігаються у перерізі х = 0 (рис.5.7, в, г).

Два інших моменти часу для падаючої хвилі вибрані додатними (рис.5.7, в):

ї1 = х1 / V < ї2 = х2 / V ,

а для відбитої - від'ємними (рис.5.7, г):

ї1 = -х1 / V > ї2 = -х2 / V .

Аналіз графіків (рис.5.7) дозволяє зробити такі висновки:

1) кожний з доданків розв'язку (5.20) є процесом, який повторює свої значення через певний час в іншому перерізі, що характерно для хвилеподібних процесів;

2) складова розв'язку ипад (і) = ипад - х / V) є хвилею, яка пересувається

від джерела до навантаження зі швидкістю V, що обумовлює назву падаюча (пряма) хвиля;

3) хвиля ивід ((п)= ивід (ї + х / V) пересувається від навантаження до джерела

зі швидкістю V; ця хвиля називається відбитою (зворотньою), оскільки фізичною причиною її появи є відбиття від навантаження;

4) в лінії без втрат падаюча та відбита хвилі пересуваються вздовж лінії, не змінюючи форми та інтенсивності.

Струм х) можна записати через напругу и(ї, х), використовуючи пер­ше рівняння системи (5.10). Для ідеальної лінії це рівняння має вигляд:

ди, х) =    ді(ї, х)

дх дї

звідки

—     дх —      дІ    сіх     —      сЬ\ сіх

= ^ _ и^ії = ипад^ - и^!^) = іпад ((- х /»)від ((+ х / V ),(5.24)

/      . ч   ипад (( - х / V)       /         ч   ивід + х / V) де іпад ((- х / V) = —--; івід ((+ х / V )=—---відповідно па­даюча (пряма) та відбита (зворотня) хвилі струму;

Яхв = —у =  ,—1   = І—1хвильовий опір.

V—С1    V ССпіввідношення для струму (5.24) дозволяє зробити висновок, що в ідеальній лінії:

1) струм х), подібно напрузі и(ґ, х), є сумою падаючої та відбитої хвиль;

2) відповідні хвилі напруги та струму пов'язані між собою за законом Ома через хвильовий опір Яхв; оскільки Яхв має активний характер, хвилі на­пруги і струму одного й того ж типів збігаються за формою;

3) від'ємний знак відбитої хвилі струму показує, що фактичний напрям цього струму є протилежним вибраному на рис.5.7, тобто напрям пересування енергії відбитої хвилі - від навантаження лінії до вхідного джерела.

Отже, розв'язок одновимірних хвильових рівнянь (5.14) і (5.15) для лінії без втрат показує, що в лінії існує інтерференція двох зустрічних хвиль - па­даючої та відбитої, причому це стосується не тільки напруги і струму, але й енергії.

Швидкість пересування хвиль V і хвильовий опір Яхв є вторинними па­раметрами ідеальних ліній:

"=Ж: (5.25)

Яхв

Сі

(5.26)

У табл.5.4 наведені формули для вторинних параметрів ідеальних ліній основних типів. Формули отримані на підставі співвідношень (5.25) і (5.26), а також наведених у табл.5.1 виразів для Ь1 і С1 типових конструкцій ліній пере­дачі. У формулах використані ті ж позначення геометричних розмірів ліній пе­редачі, що й на рис.5.2. Відносна магнітна проникність провідників прийнята ц = 1, оскільки провідники та ізоляція ідеальні (Я1 = 0; 01 = 0).

Таблиця 5.4 - Вторинні параметри типових ліній без втрат

Лінія

V, м/с

Яхв , Ом

Симетрична двопровідна повітряна лінія (рис.5.2, а)

*_= 3 ■ 108 = с

11п ° - * \

Ц 0 = 1201п ° - *

є 0 сС

Коаксіальний кабель (рис.5.2, б)

1     = 3 ■ 108 = с

 

єє0    лсС

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації