Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Струм і2 (+0) можна визначити з першого закона комутації як струм в ін­дуктивності:

і2(+0) = і2(_0) = = 7І2Т = 0,923 А.

Тоді

і1 + і?2   10 + 3

. ( т   12 _ 10 - 0,923 і3 (+0) = —ттг^-= 0,139 А;

10+10

б) складемо схему кола для моменту ґ = +0 (рис.1.5, б), враховуючи, що за ненульових початкових умов індуктивність еквівалентна джерелу струму і2 (+0). Оскільки в цій схемі є два джерела, скористуємось методом накладання:

і3 (+0) = і(+0) _ і(+0) = ~ і2(+0) = 0,6 _ 0,462 = 0,139 А.

Отже, з формули (1.33) А1 = 0,139 _ 0,225 = _0,086 А, а кінцевий вираз для струму матиме вигляд:

і3(ґ) = _0,086е~40Ш + 0,225 А.

Приклад 1.5. До замикання контакту в колі (рис.1.6, а) був усталений ре­жим постійного струму. Знайти: 1) струми в усталеному режимі при ґ — а ; 2) струми та їх перші похідні за часом для моменту замикання контакту ґ = +0. Дано: і1 = і?2 = і?4 = 100 Ом, і?3 = і?5 = 200 Ом, Ь = 10 мГн, С = 1мкФ, Е1 = 120 В.

і1(ґ)

О

І1 І2

і2) і

Е1

і4(ґ)

і3(ґ)

І4

С

І5

І1

і1(а)

О

Е1

І2

і2(а)

І3

І5

б

а

Рисунок 1.6 - Схеми кола для моментів часу: а - ґ = _0; б - ґ да

1. В усталеному режимі при ґ °о опір індуктивності прямує до нуля, а опір ємності - до нескінченності. Виходячи з еквівалентної схеми (рис.1.6, б), знаходимо:

Е1 120

і1(со) = /2(оо)

Я1 + Я2 + Д3 Я5/( Я3 + Я5)   100 +100 +100

0,4 А;

і3(да) = і5(да) = іі(да)-

1

0,4- = 0,2 А;     Ї4о) = 0.

Я3 + Я5     ' 2

2. Розрахунок режиму для ґ = +0 почнемо з визначення незалежних поча­ткових значень, користуючись усталеними значеннями струмів та напруг до комутації і законами комутації:

Е1       = 120

із (+0) = із (-0)

Я1 + Я2 + Я3   100 +100 + 200

0,зА;

ис (+0) = пс (-0) = Е1( Я + я3) = 120 (100 + 200) = 90 В.

За ненульових початкових умов індуктивність еквівалентна джерелу струму і3 (+0), а ємність - джерелу ЕРС ис (+0). Еквівалентна схема кола при

ґ = +0 показана на рис.1.7, а. Щоб розрахувати струми, скористуємось методом контурних струмів, попередньо перетворивши джерело струму і3(+0) до дже­рела ЕРС Ее = і3(+0) Я5 = 0,3 200 = 60 В (рис.1.7, б). Запишемо матриці опорів та контурних ЕРС:

)

Я2

Я2 + Я4.

( 400

100

100 ^

200

Ом;    (Е ) =

(Е1 + Ее'

ис(0+)

(180

90

В.

Обчислимо контурні струми: І: ^-^(180•Ац + 90•А21)

А

I п

я

1

А

(180 -Ай + 90 •А 22)

я

180•200 + 90• (-100)

70000

180 • (-100) + 90 • 400

70000

0,386А;

0,257А

та шукані струми віток: і1(+0) = 11 = 0,386 А; і2(+0) = 11 +1 п = 0,643 А; і4(+0) = - Іп = -0,257 А; і5(+0) = І1 - і3(+0) = 0,086 А.

Похідні струмів знайдемо, продиференціювавши за часом систему рівнянь Кірхгофа для схеми (рис.1.7, б):

У1 ) = і2 ) + і4 );

(Я1 + Я5)і1 (0 + Я2і2 (ґ) = 0; (1.34)

Я2і2 ) - Я4і4 ) = ис ).

Враховуючи, що и'с (+0)

і4(+0)

с

ту ґ = +0 відносно похідної струму і'4 (+0), отримаємо:

і розв'язуючи систему (1.34) для момен-і (+0)

і4(+0)

0,257

С

я4 +

Я2( Я + Я5) Я + ^2 + Я5

10"6 ■ (100 +100■ 300/400)

= 1468 А-с-1;

= -,'4 (+0)( Ц + ^ =-1468 •300 =-1101 А-с-1;

Ц + ^2 + Я5

400

,1 (+0) = ,2 (+0) + ,4 (+0) = -1101 +1468 = 367 А-с-1.

Я2

О

,4 (+0)

І2(+0)

Е1

и23(+0)

2

Я4

С (+0)

і.

*2(+0)|

Я5

І 3І ,3(+0) |,5(+0)

Я4

С (+0)

а б Рисунок 1.7 - Еквівалентні схеми кола при і = +0

Обчисливши напругу и23(+0) за другим законом Кірхгофа для першого

контуру (див. рис.1.7, а):

и23(+0) = Е - Ц1,1(+0) - Я2,2(+0) = 120 -100 0,386 -100 0,643 = 17 В,

розрахуємо похідну струму в індуктивності ,3 (+0) як

,3 (+0) = = _17_ = 1700 А-с-1,

3 Е 0,01

а похідну струму ,5(+0) - за першим законом Кірхгофа для вузла 3 (див.

рис.1.7, а):        ,5 (+0) = ,1 (+0) - ,3 (+0) = 367 -1700 = -1333 А-с-1.

Приклад 1.6. До електричного кола, яке утворюють послідовно з'єднані елементи Е = 40 мГн, Я та С (рис.1.8, а), прикладено постійну напругу и = 120 В. Конденсатор замкнено. Раптовим розімкненням контакту конденса­тор вводиться у коло. Знайти напругу на обкладинках конденсатора та струм у двох випадках: 1) Я = 100 Ом, С = 25 мкФ; 2) Я = 80 Ом, С = 5 мкФ. Накресли­ти криву ис ).

Розв'яжемо задачу, виключаючи етап складання диференціального рів­няння. Напругу на конденсаторі знайдемо у вигляді суми вимушеного та вільного значень: ис ) = иСвл ) + иСвм (і).

Я

и

С

ь

а

и с ),В 160

120

80

40

0

б

Рисунок 1.8 - До прикладу 1.6: а - схема; б - графіки часової залежності напруги на ємності

Вимушена складова напруги  в  усталеному режимі   иСвм(і) = 120 В,

оскільки після розмикання ключа по закінченні перехідного процесу конденса­тор буде заряджений до рівня прикладеної до кола постійної напруги.

Щоб визначити вільну складову, прирівняємо до нуля вхідний опір кола ^вх (Ую), замінивши у'со на р:

Я + рЬ +1/рС = 0;     р2ЬС + рЯС +1 = 0. Здобуте характеристичне рівняння має два корені:

р1,2

Я

—±1

_Я_ 2Ь 1

ЬС

(1.35)

Для кожного з двох заданих випадків обчислимо корені р12, а також

вільну складову шуканої напруги.

1. За формулою (1.35) знаходимо:  р: =-2000 с-1, р2 =-500 с-1. Для

різних дійсних коренів характеристичного рівняння вільна складова має вигляд (1.9):

исвл (і) = 4ер1і + 4ер2і,

де А1, А2 - сталі інтегрування.

Підсумовуючи вільну та вимушену складові, матимемо:

ис ) = А^1' + А2ер2< + исвм ). Щоб розрахувати А1, А2, скористаємось формулами (1.15), (1.16):

fuC (+0) = A + A2 +120;

1 CK   )     12 (1.36) uC (+0) = PiAl + P2A2 .

Згідно з законом комутації за нульових початкових умов Uc (-0) = Uc (+0) = 0. Щоб знайти значення похідної uC (+0), запишемо дифе­ренціальне співвідношення між напругою і струмом в ємності:

duc (+0) = ic (+0) dt C '

Оскільки в момент t = +0 за нульових початкових умов ємність еквівалентна короткому замиканню, а індуктивність була замкнена в усталено­му режимі до комутації, струм C (+0) = U / R.

Тоді система (1.3б) матиме вигляд:

U = Al + A2 +l20;    r   a2 =-Al-120; = pl Al + p 2 A2;   [48000 = pi а, + P2 A2. Розв'язуючи цю систему, знаходимо A1 = S В, A2 = -12S В. Отже, uC(t) = 120 + Se"2000t - 12Se"500t В (рис.1.8, б, крива 1);

iC (t) = CdUc^ = -0,4e"2000t + 1,бе "500t А. dt

2. За формулою (1.35) p12 =-8± уовл =-1000 ± j2000 с-1. Для комплекс­но-спряжених коренів характеристичного рівняння вільна складова має вигляд (1.10):

де A, і|/ - сталі інтегрування.

Підсумовуючи вільну та вимушену складові, матимемо:

UC (t) = Aesin(Ювлt + ^) + ^вм (t) .

Складемо систему рівнянь аналогічно системі (1.3б):

r0 = A sin y +120;

U

-5A sin у + Аювл cos у .

RC

120

Виразимо з першого рівняння А =--та підставимо до другого:

sin у

3 •lO5 = 1205- 120совл^у, звідки у = arcctg(-3/4) = -530; А = 150 В.

Запишемо кінцевий вираз напруги на конденсаторі:

uC (t) = 120 + 150e "1000t sin(2000t - 530) В (рис.1.8, б, крива 2).

Зазначимо, що вільну складову також можна знайти, використовуючи функцію косинус: uCl3JI (t) = A1e~5t cos(ювлt +

Розраховуючи аналогічно сталі інтегрування А1, у1, отримаємо:

uC (t) = 120 - 150e "1000t cos(2000t + 370) В.

Диференціюючи ис ) і помножуючи на С, знаходимо струм; іс (?) = 0,75 ■ 10-3 е ~1000ґ[1000соб(2000? + 370) + 2000біи(2000ґ + 370)] = = 0,75е~1000ґ л/5 біп(2000ґ + 370 + агс1§0,5) = 1,68е"1000ґ біп(2000ґ + 640) а.

1.2 Перехідні процеси в колах Я, Ь та Я, С

1.2.1 Вільний режим у колі Я, С

Нехай коло Я, С (рис.1.9, а) має ненульові початкові умови: ис(-0) = Е.

а б Рисунок 1.9 - Схеми електричних кіл: а - Я, С; б - Я, Е

сіиС (?)

Напруги на ємності иСвл (?) та опорі иЯ вл (?) = Я/вл (?) = ЯС-—— задо­вольняють другому закону Кірхгофа, згідно з яким

иявл(?) + исвл(?) = 0,   або   ЯС^ис^ + исвл(?) = 0. (1.37)

Диференціальному рівнянню (1.37) відповідає характеристичне

рСЯ +1 = 0.

Це рівняння має єдиний корінь р = -1/ ЯС, який є дійсним від'ємним чис­лом. Інакше, р1 = -1/ т, де стала т = ЯС має вимірність часу: [т] = [ЯС] = ОмхФ

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації