Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 50

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Стрічкова лінія (рис.5.2, в)

л/ц0єє0     лл

Н   ц0    120п Н

Приклад 5.5. Розрахувати швидкість пересування хвиль і хвильовий опір симетричної ідеальної двопровідної повітряної лінії (рис.5.2, а) з розмірами, на­веденими у прикладі 5.1.

Розв'язання. Швидкість хвилі в ідеальній двопровідній повітряній лінії дорівнює швидкості світла с, а хвильовий опір залежить від геометричних розмірів лінії (див. табл.5.4). Розрахуємо хвильовий опір за заданими розмірами:

Дхв = 1201п        = 1201п10   _3°   = 263,67 Ом. хв сі 10_3

Перевіримо отриманий результат за знайденими у прикладі 5.1 первинни­ми параметрами:

V = -^= = 1 = 2,984 108 м/с;

лС1   л/8,886 10_7 1,264 10_11

к =

8,886-10-7 „е1ЛҐЛ —-тт- = 265,14 Ом.

1,264 -10-11

Результати практично сходяться. Незначна різниця пов'язана з тим, що у прикладі 5.1 при визначенні Ь1 і С1 враховано відносну магнітну проникність

латуні ц = 1,011.

Приклад 5.6. Обчислити вторинні параметри ідеального коаксіального кабеля (рис.5.2, б). Матеріал діелектрика і розміри кабелю наведені у при­кладі 5.2.

Розв'язання. Знайдемо швидкість поширення хвилі та хвильовий опір за формулами табл.5.4:

3 ■ 108    3 ■Ю8

V

л7225

2 -108 м/с;

Яхв = —;= 1п — =  .-1п-3 = 92,1 Ом.

7є    сі 10-3

Перевіримо розраховані вторинні параметри ідеального коаксіального ка­белю за знайденими у прикладі 5.2 первинними параметрами та співвідношеннями (5.25) і (5.26):

V = -=== = 1 = 1,99-108 м/с;

лС1    л/4,656-10-7 - 5,429 -10"п

4,656 -10"7 = 92,608 Ом.

'5,429-10"п

Причина розбіжності результатів та ж сама, як і у прикладі 5.5.

Приклад 5.7. Розрахувати значення V і Яхв ідеальної стрічкової лінії

(рис.5.2, в). Розміри лінії і тип діелектрика наведені у прикладі 5.3.

Розв'язання. Обчислимо швидкість хвилі та хвильовий опір за формула­ми для ідеальної стрічкової лінії з табл.5.4:

2,08 -10 м/с;

V =

7Є

7208

120п Н    120п 1-10"3

= 130,698 Ом.

7є і   72,08 2-10"3 Використовуючи дані прикладу 5.3, перевіримо знайдені вторинні пара­метри. Подібно прикладам 5.4 і 5.5 існують незначні розбіжності результатів:

V =

1

1

7б,352 -10"7 - 3,678-10-11

її С1

2,069 -108 м/с;

=131,416 Ом.

Г6,352 -10"7 '3,678-10"11

Приклад 5.8. Знайти вторинні параметри неоднорідного коаксіального кабелю (рис.5.4). Розміри лінії і тип діелектрика наведені у прикладі 5.4. Побу­дувати графік Яхв (х).

Розв'язання. Використовуючи співвідношення для І1(х) (для ц = 1) і

С1( х) з прикладу 5.4, виведемо формули для розрахунку розподілу вторинних

параметрів вздовж лінії:

с1( х)

2п і

2пє0є

1 , /Хх) іп

2п     і \

ц0

є

іп £>( х)

4ІКх)СКх)

ц01п Р(х) 2пє0є     0є0є

01п 2п

б01п ОД.

7є    і '

с

(5.27)

(5.28)

1п

£>( х)

Вираз (5.28) показує, що в неоднорідній лінії швидкість пересування хвиль постійна у будь-якому перерізі лінії і відрізняється на величину 7є від швидкості світла, як в ідеальних лініях інших типів.

Підставляючи до формули (5.27) геометричні параметри лінії (див. при­клад 5.4) і значення є = 2,25 відносної діелектричної проникності діелектрика (поліетилену), розрахуємо залежність Яхв (х):

60  , 10"2 ех 1п

хв

/1

-3

7225 ю"

Графік Яхв (х) зображений на рис.5.8.

40 - (2,303 + х) Ом.

Яхв (х), Ом 140

130

120

110

100

90

0    0,2   0,4   0,6   0,8     1 Х,м

Рисунок 5.8 - Графік розподілу хвильового опору вздовж неоднорідного кабелю у прикладі 5.8

5.4 Аналіз усталеного синусоїдного режиму довгої лінії

При синусоїдній дії з частотою со усталений струм і напруга у будь-якому перерізі ДЛ змінюються у часі за синусоїдним законом з тією ж частотою со. Загалом, у кожному перерізі лінії амплітуди та початкові фази цих коливань різні. Якщо відраховувати координату від входу лінії, миттєві значення струму і напруги мають вигляд:

і(ї,х) = Іт(х)сово' + уі(х)] = Яе[іт(х)еісї ] ; (5.29) и,х) = ит(х)со8оґ + уи(х)] = Яе[ит(х)гіш] , (5.30)

де Іт (х) = Іт (х)е]Уі); ит (х) = ит (х)е]Уи (х) - комплексні амплітуди

відповідно струму і напруги у перерізі лінії з координатою х.

Як правило, відомі первинні параметри лінії Я1, G1, Ь1, С1, довжина І та

опір навантаження 2н. Крім цього, задаються значення струму і напруги на

вході (затискачі 1-1' на рис.5.9):

и(ї,0) = = ^СОоЇ + 1^) = ^4^^' ] ; (5.31)

і ,0) =       ) =        СО80Ї + у л) = Яет1Є^Ю/] (5.32)

або на виході лінії (затискачі 2-2' на рис.5.9):

и(ї, 1) = и2(ї) = ит2 С08(ЮЇ + уи2) = Ке[ит

,і'со/

(5.33)

(5.34)

І , І) = І2) = 2 СО80І + ці і 2) = Яе[Іт 2 ^Ш _ .

Підстановка миттєвих значень струму і напруги (5.29), (5.30) у дифе­ренціальні рівняння (5.10) призводить останні до вигляду (у комплексній формі

запису):

Я1 Яе[/т (х)є]ш ]+1 Яе[усо/т (х)є]а1 ]; (5.35)

СІЦ (х)

-т'

сіхсСІт (х) іссї

сх в1 Яе[ит (х)еісї ]+ С1 Яе[ісит (х)еісї ]. (5.36)

Якщо праві частини рівнянь (5.35) і (5.36) перетворити, використовуючи властивість комутативності векторів, виходить:

і(ї ,0) = І1) 1 •—►

и ,0) = = и1(ї)

1'

- Яе сіСи_т (х) іссї

сх

сСІт (х) і®ї

сх = Ке[((1 + ісС1 т (х)е ісої

і(ї, х)

(5.37)

(5.38)

І(ї, І ) = І2 (')

►*2

2

о-

х

 

У

<-

 

І

 

-►

2'

Рисунок 5.9 - Схема ДЛ для синусоїдного усталеного процесу

З рівності дійсних частин векторів, що обертаються з однаковою частотою і складають рівняння (5.37) і (5.38), виходить рівність відповідних векторів:

- = Я Іт (х) + іС04 І(х) =       + )_т (х) = 2 у І(х) ; (5.39)

сх

- = (х) + у^С(х) =       + т (х) = У Ут (х) , (5.40)

ах

де 21 = Я + , У1 = (1 + 7С0С1 - первинні (погонні) комплексні опір і провідність лінії, відповідно.

Від системи рівнянь (5.39), (5.40) можна перейти до єдиного рівняння відносно У_т (х) або Іт (х). Так, щоб скласти рівняння для Ут (х), достатньо продиференціювати вираз (5.39) за х:

" іт (х) = 2  Літ (х)

іх2       — іх

а праву частину отриманого рівняння перетворити на підставі співвідношення

(5.40):іт^ = -211(х). (5.41)

іх

Рівняння (5.41) зазвичай записують у стандартній формі:

і-=т^х) 2Ут (х) = 0, (5.42)

іх

де у = у/21У1 = а + у в - коефіцієнт поширення; а - коефіцієнт ослаб-дення (загасання); в - коефіцієнт фази.

Слід зазначити, що загалом в лінії з втратами коефіцієнт ослаблення залежить від частоти, а коефіцієнт фази є нелінійною функцією частоти.

Однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку (5.42) в теорії хвильових процесів є одновимірним випадком відомого у математичній фізиці рівняння Гельмгольца9.

Аналогічний вигляд має диференціальне рівняння для іт (х):

2

і4т2(х)2іт (х) = 0. (5.43)

іх

2 2

Для рівнянь (5.42) і (5.43) характеристичні рівняння однакові: р = 0 і мають комплексні корені    р   = + у = +а + у в.

Загальний розв'язок диференціального рівняння (5.42) має вигляд:

Ут (х) = Л1е х + Л2 еух = Л1е ~ах-у (вх-УЛ1) + А2 е ах+у (вх+УЛ2), (5.44) де Л1 = Л1еуУл1; Л2 = Л2еіуЛ2 - сталі інтегрування.

Від комплексної амплітуди напруги можна перейти до її миттєвого зна­чення у довільному перерізі:

и (і х) =ї^е Ут (х)езш = Л1е "ах сов(юі - вх + у Л1) +Л2 еах сов(юі + вх + у Л2). (5.45) Запис (5.45) відрізняється від виразу (5.20) тільки наявністю експо-ненційних множників. Тому перший доданок у виразі (5.45) є миттєвим значен­ням падаючої ипад , х), а другий - відбитої ивід (і , х) хвиль у довільному пе­рерізі лінії.

Запис ипад , х) та ивід , х) у різних формах:

9 Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд, Неіпіїюп^ (1821-1894) - німецький вче­ний, працював в області фізики, математики, фізіології та психології. Дав першу ма­тематичну трактовку закону збереження енергії. Вперше застосував принцип наймен­шої дії до теплових, електромагнітних та оптичних явищ. Обгрунтував особливості вихрового руху рідини, який покладено до основи гідро- та аеродинаміки. В матема­тиці досліджував геометричні аксіоми і ріманів простір. Увів у математичну фізику рівняння, назване його ім'ям. В області фізіології вивчав нервову і м'язову системи, органи зору та слуху. Для цього сконструював декілька оригінальних вимірювальних приладів.

_        2 л    2 л

"пад (і,х) = Л      С^-^ _х + уЛі)

X

Л1е ах сов[со(і _ х/у) + уЛ1]; (5.46)

2л 2л

Ивід (І, X) = Л2ЄаХ ЄОВ(у І + — х + уЛ2) = Л2еах сов[со(і + х / у) + \|/Л2] (5.47)

дозволяє ввести вельми важливі вторинні параметри лінії:

1) довжину хвилі X = 2 л / в;

2) фазову швидкість поширення хвилі у = со.

Графіки падаючої та відбитої хвиль напруги зображені відповідно на рис.5.10 і 5.11. Аналіз графіків дозволяє зробити такі висновки:

1) у довільний фіксований момент часу ік падаюча (рис.5.10, б) і відбита

(рис.5.11, б) хвилі є коливаннями з експоненційним законом змінювання амплітуд вздовж лінії та періодом, який дорівнює довжині хвилі X;

2) падаюча хвиля з часом пересувається від входу лінії до навантаження з фазовою швидкістю у (рис.5.10, б), при цьому амплітуда хвилі зменшується у напрямку навантаження;

3) відбита хвиля з часом пересувається від навантаження до входу лінії зі швидкістю у (рис.5.11, б), причому амплітуда хвилі зменшується при набли­женні до входу лінії;

4) у будь-якому перерізі лінії хк ці процеси змінюються у часі за сину­соїдним законом (рис.5.10, в і 5.11, в) з частотою со (періодом Т = 2л/со) і ма­ють різні амплітуди і початкові фази у різних перерізах хк;

5) процеси ипад (і , х) та ивід (і , х) як функції часу і координати наочно по­дають їхні аксонометричні відображення (рис.5.10, а і 5.11, а); таке подання, крім перерізів і = ік та х = хк, дозволяє показати фронт (гребінь10) хвилі, за яко­го аргумент ипад (і , х) чи ивід (і , х) є цілим числом 2 л.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації