Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

= ОмхАхс/В = с. Вона зветься сталою часу кола.

Отже, загальний розв'язок рівняння (1.37) такий:

иСвл(?) = V = А*~т . (1.38) Стала А1 розраховується з початкових умов з використанням закону ко­мутації. При ? = +0 за формулою (1.38) иС (+0) = А1е0 = А1; згідно з законом ко­мутації за ненульових початкових умов иС (+0) = иС (-0) = Е. Тобто А1 = Е, і

вираз (1.38) приймає вигляд:       иСвл(?) = Ее т .

Струм у колі та напругу на опорі можна знайти за законом Ома:

сСиС  (?)     С    -~     Е ~ — івл (?) = С^^- = — Ее т=- т ; ик вл (?) = Яівл (?) = - Ее т , де т = ЯС. а? т Я

Відповідні графіки зображено на рис.1.10, а. З рисунку видно, що згідно з

другим законом Кірхгофа в будь-який момент часу алгебраїчна сума напруг у

колі дорівнює нулю.

Рисунок 1.10 - Графіки часових залежностей струму і напруг кола Я, С

в режимі вільних коливань

З'ясувати    зміст    сталої    часу    можна,    поклавши    ґ = т. Тоді

Е

ис (т) = -иЯ (т) = Е / е; і(т) =--. Отже, стала часу т дорівнює часовому

Я е

інтервалу, за який напруга або струм в колі Я, С зменшуються за абсолютною величиною у вільному режимі в е = 2,718 рази (37% від початкового значення).

Інакше, стала часу електричного кола - величина, що характеризує елек­тричне коло з одним інерційним елементом (індуктивністю чи ємністю) і до­рівнює довжині піддотичної до кривої вільної складової перехідного струму

с!ис  (ґ)     Е --     ис (ґ) (рис.1.10, а). Дійсно,     свлА } =--е т=—сввл^-

Графік функції иСвл (?)/ Е

с? т т

для різних значень т наведено на рис.1.10, б, а числові значення - у табл.1.1.

Таблиця 1.1 - Числові значення функції иСвл (?)

? / т

1

2

2,3

3

4,6

 

0,368

0,136

0,1

0,05

0,01

Із знайденого розв'язку виходить, що процес зменшення напруги та стру­му продовжується нескінченно, і лише при ґ оо коло переходить до режиму

спокою, коли вся енергія сЕ / 2, що накопичена у ємності, буде виділена в опорі Я у вигляді теплової енергії, тобто коли | р(ґ)с!ґ = сЕ2/2, де р = і 2(ґ )Я -

0

потужність.

В інженерній діяльності користуються різними критеріями практичної тривалості перехідного процесу ґпер. Наприклад, в техніці сильних струмів вона

приймається рівною ґпер = (5...6. В радіотехніці вільні процеси вважають

закінченими при ґ > 4,6т, коли ис ) < 0,01Е, тобто тривалість перехідного

процесу становить ґпер = 4,6т.

1.2.2 Увімкнення джерела постійної напруги до кола Я, С

У колі Я, с, яке зображено на рис.1.9, а, увімкненню джерела Е відповідає зміна положення перемикача £: 2—1. При цьому існують нульові початкові умови: ис (-0) = 0. Згідно з другим законом Кірхгофа:

Яі(ґ) + ис) = Е ;        ЯсСис(ґ) + ис) = Е. (1.39)

сґ

За класичним методом розв'язок диференціального рівняння (1.39) пред­ставляють у вигляді: ис) = исвл) + исвм).

Характеристичне рівняння рЯс +1 = 0 має корінь р1 = -1/ Яс = -1/ т. За­гальний розв'язок рівняння (1.39) (або вільна складова) збігається з (1.38). Ос­кільки при ґ—оо конденсатор заряджається до рівня Е, то вимушена складова ис   = Е . Тоді

свм

ґ

ис ) = А1е т+ Е . (1.40) Сталу інтегрування А1 знаходять із системи рівнянь:

с (+0) = А + Е ; с (-0) = 0.

Згідно з законом комутації ис (-0) = ис (+0). Тоді А1 + Е = 0, А1 = -Е. Отже, за нульових початкових умов можна записати:

ґ ґ

ис ) = -Ее т + Е = Е (1 - е т);

іс ) = с = Есе"т = Я е"т; иЯ ) = Яі(ґ) = Ее~.

сСґ       т Я

Графіки отриманих залежностей зображені на рис.1.11, а. Слід звернути увагу на те, що в момент комутації струм кола, а отже, і напруга иЯ ) зроста­ють стрибкоподібно.и \

Е

0

Е

^иСвм )

иСвл )

а

I о Л/о

0

иЛвл )

'вл С )

Т

иЕвл ( О

Рисунок 1.11 - Графіки часових залежностей: а - напруг кола Л, С; б - вільних складових струму і напруг кола Л, Е

1.2.3 Вільний режим у колі Я, Ь

Вільний режим у колі Л, Е виникає за рахунок енергії, накопиченої в магнітному полі індуктивності. Схема, зображена на рис.1.9, б, має ненульові початкові умови: іЕ (-0) = /0. Тому при замиканні перемикача у вітці Л, Е вини­кає вільний процес.

Згідно з другим законом Кірхгофа:

Сівл (і )

иЛвл (і) + иЕвл (і) = 0;

0.

(1.41)

Рівняння (1.41) аналогічне і дуальне до (1.37) відносно шуканої змінної. Відповідне   характеристичне   рівняння    рЕ + Я = 0    має   єдиний корінь

р1 = - Я / Е = -1/ т (т = Е / Я), який є дійсним від'ємним числом. Тому загальний

розв'язок рівняння (1.41) матиме вигляд:

ґ

івл (ґ) = Лхер1 = Ахг~т. (1.42) Значення сталої А1 отримують з початкових умов і рівняння (1.42): і(+0) = А1, і(-0) = І0, отже А1 = І0. Тоді

і / / /

івл (і) = v т; иквл (і) = Л'вл (0 = ЯІ0 е т; иЕвл (І) = Е

Сівл ( І) Е

Стала часу т має той самий зміст, що й у колі ЯС . Тривалість вільного процесу ґпер тим більше, чим більше індуктивність Е і менше опір Я

(рис.1.11, б).

1.2.4 Увімкнення джерела постійної напруги до кола Я, Ь

Схема аналізованого кола зображена на рис.1.12, а. Початкові умови нульові: іЕ (-0) = 0. Згідно з другим законом Кірхгофа після переведення пере­микача до положення "2" алгебраїчна сума напруг на елементах кола до­рівнюватиме Е:

Сі(і)

(1.43)

+ Щ) = Е

с

1

Е

Ф

-1

2   і 5   иЛ (і)

'(і)

иЕ( )

а

Е

Рисунок 1.12 - Увімкнення а - схема; б

и ), '(і)

джерела постійної напруги до кола Я, Е: - графіки струму і напруг

За класичним методом розв'язок (1.43) має вигляд:

Характеристичне рівняння Ер + Я = 0 має корінь р1 = - Я / Е = -1/ т. Тому

вільна складова збігається з виразом (1.42). Оскільки при ґ—»°о струм у колі ста­новить і(ґ) = Е / Я (для постійного струму індуктивність еквівалентна коротко­му замиканню), то вимушена складова іЕвм (ґ) = Е / Я.

Тоді і( ґ) = А1еР1 1 + Е / Я . Визначивши сталу А1:

іЕ (+0) = А1 + Е / Я;      іЕ (-0) = 0; А1 =/ Я,

можна записати:

Е

=--е

-ЕЕ

1 - е Т

иЛ ( і) = Лі'(і) = Е 1

сСі(і) ЕЕ

сСі

Лт

= Ее

Відповідні графіки зображені на рис.1.12, б.

Порівняння розв'язків для кіл К, С і К, Ь показує, що за нульових початко­вих умов і ступінчастої дії струм у колі К, Ь і напруга на ємності у колі К, С змінюються за однаковим законом. Струм іЬ ), поступово зростаючи від нуля

при ї = 0, асимптотично наближається до значення I = Е / і. Напруга на індуктивності иЬ ) в момент комутації змінюється стрибком. У колі при ї— да встановлюється режим постійного струму: і(да) = Е / і, иЬ (да) = 0, иК (да) = Е.

Тривалість перехідного процесу практично оцінюється за тими ж критеріями, що й у колі К, С.

1.3 Перехідні процеси у колі Я, Ь, С

З особливостями перехідних процесів у колі і?, Ь, С доцільно ознайоми­тись, розглянувши послідовне з'єднання елементів (рис.1.13, а) і припустивши, що у попередній момент до короткого замикання кола електромагнітна енергія зосереджена в ємності, а струм в індуктивності дорівнює нулю:      ис (-0) = Е,

іь (-0) = 0.

Щоб проаналізувати вільний режим, складають рівняння

иС вл ) + Ягвл (0 + = 0

і розв'язують його відносно будь-якої напруги або струму кола, наприклад,

відносно     напруги     на     ємності,     скориставшись співвідношенням

сІиС (і)

івл ) = С^Г^ ■ ш

2

Ь

б

Рисунок 1.13 - Схеми кола і, Ь, С в режимах: а - вільних; б - вимушених коливань

а

В результаті виходить диференціальне рівняння другого порядку:

С влч 7 + _     С влч 7 +   С влч 7 = о (144)

(М1      Ь     йї ЬСабо

де ©рез =

С

4ЬС

сіг2

кг

+ ЮІ)езиС вл (ї) = 0,

вл

коефіцієнт загасання.

Диференціальному рівнянню (1.44) відповідає характеристичне рівняння

р2 + 18р

+ со

рез 0,

(1.45)

/ 2

яке має два корені р12 = -8 + ,/8

СОрез 8 + у© вл ■

де © рез

вл кутова частота незагасаючих коливань (резонансна частота); кутова частота вільних загасаючих коливань.

На відміну від кіл першого порядку в послідовному колі і Ь, С характер перехідного процесу може бути різним. Залежно від значення параметрів кола можливі три основні режими:

1) корені р12 - дійсні різні (рис.1.14, а). При цьому 8>сорез, і > 2р

С

характеристичний опір), () < 0,5 (аперіодичний вільний режим);

рез

р1 = р2 = -§

2) корені р12 - дійсні рівні (кратні). При цьому 8 (рис.1.14, б), і = 2р, (2 = 0,5 (критичний режим);

3) корені р12 - комплексно-спряжені (рис.1.14, в). При цьому 8<сорез, і < 2р, (2 > 0,5 (коливальний режим).

Отже, характер вільних процесів у контурі залежить від вигляду коренів характеристичного рівняння.

р2 р1

-о—

0

р1 = р2 = -§ -о-

Р1 = -8 + у©

0

р2 =-§- у©вл

рез

а

б

в

Рисунок 1.14 - Розташування коренів характеристичного рівняння

на комплексній площині

1.3.1 Аперіодичний режим

Якщо корені р11 - різні (варіант 1 і 3 ), тобто не утворюють кратного ко­реня, то згідно з виразом (1.9) загальний розв'язок (1.44) записується так:

1

4иС вл ) = V + ЛеР2?. (1.46) Щоб визначити струм у колі, можна скористатись співвідношенням

івл ) = СШиСЩл^- = САХ АеРіі + СА2 Р2ЄР2і. (1.47) Для визначення А1 та А2 підставляють +0 у вирази (1.46), (1.47):

ГиС вл (+0) = А1 + А2; (148) івл (+0) = САХ Р1 + СА2 Р2.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації