Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Враховуючи початкові умови иС (-0) = Е, і(-0) = іь (-0) = 0, а також зако­ни комутації, можна записати:

Е = 4 + 4; Г А2 = Е - А1;

[0 = С4 Р + СА2 Р2 ;           і А Р1 + - 4) Р2 = 0 . З цієї системи виходить: А1 =--; А2 =--. Підстановка зна­чень Ал і А2 у співвідношення (1.46) і (1.47) призводить до виразів:

иСвл(і) = ~^еріі - -^еР2і; (1.49)

вл    р2 - р1      р2 - р1

івл) = С^И - еР2і).

р2 - р1

Оскільки рі р2 = со^ =        , то   івл (і) =——Е-" (еРіі - еР2і). (1.50)

Оскільки иЬ ) = ЬШівл(і),

ші

иьвл ) = —— (Ріеріі - Р2еР). (1.51)

Р2 - Рі

Як видно з графіків (рис.1.15, а-в), побудованих згідно з виразами (1.49) - (1.51), перехідні процеси мають аперіодичний характер. Графіки побу­довано для випадку, коли обидва корені від'ємні, а другий корінь р2 за абсо­лютною величиною більший першого.

Напруга на ємності монотонно зменшується, починаючи з початкового значення Е. При і = 0 дотична до иС (і) паралельна осі абсцис, оскільки

1 Р

і(+0) = Си'С (+0). Струм і(і) буде максимальним при іх =-1п^-, тобто в

точці перегину кривої иС ), в подальшому струм прямує до нуля.і иСвл (ї)

иЬвл (ї )

Рисунок 1.15 - Графіки струмів і напруг у колі К, Ь, С: а, б, в - аперіодичний режим; г - критичний режим

Оскільки при ї = +0 струм кола дорівнює нулю, а отже, иК ) = 0, напруги

на ємності та індуктивності однакові за величиною, але протилежні за знаком. Напруга на індуктивності дорівнює нулю, коли струм досягає максимуму. В момент часу ї2 = 1ї1, коли крива струму має точку перегину, напруга на

індуктивності досягає максимального значення, а далі зменшується до нуля.

При розрядженні ємності енергія електричного поля в моменти часу ї < ї1

частково перетворюється в тепло в опорі, а частково переходить у магнітне по­ле індуктивності. При ї > ї1 енергія електричного і магнітного полей перетво­рюється в теплову (оскільки при ї < ї1 струм кола зростає за модулем, що відповідає збільшенню запаса енергії магнітного струму, а при ї > ї1 струм, і відповідно, запас енергії зменшується).

1.3.2 Критичний (граничний аперіодичний) режим

На межі між коливальним і аперіодичним режимами існує критичний вільний режим. Він відповідає кратним кореням характеристичного рівняння, коли Я = 2р, () = 0,5, р1 = р 2 = -8. У цьому режимі 8 — сорез, частота вільних

і 2 2

коливань совл = д/8 - сорез 0, а період вільних коливань Твл — да .

Загальний розв'язок рівняння (1.44) для кратних коренів має вигляд (1.11):

пс вл ) = (4 + Л2і )е "8і. (1.52) Сталі інтегрування Л1 і  Л2  визначають з початкових умов. Якщо підставити значення і = +0 до виразу (1.52), тоді ис вл (+0) = Л1. Друге рівняння отримують із співвідношення:

іь ) = с ) = = С (- 84е + Л2е"8і - Л2і8е "8і); іь (+0) = с (-84 + Л2).

аі

Оскільки ис (+0) = ис (-0) = Е,     іь (+0) = іь (-0) = 0, то

= Л1 ;

[0 = -8Л1 + Л2;     2 1 Тоді ис вл ) = Е (1 + 8 і )е ~5і; (1.53)

івл (і) = с (- 8Ее"8і + 8Ее"8і - Еі82е" )= -сЕ82іе".

2 2 1

З огляду на те, що у критичному режимі       8 = сорез =-,

івл (і) = -     ~5і; (1.54)

иь вл ) = Е^Ог = - Е (е~Ы - 8 іе )= Ее"8і (8 і -1). (1.55)

Криві змінювання напруги на ємності та індуктивності і струму у колі, які визначаються за формулами (1.53) - (1.55), зображено на рис.1.15, г. Ці залеж­ності аналогічні кривим, показаним на рис.1.15, а-в. Струм буде максимальним за абсолютною величиною при ітах = 1/ 8. Аналізуючи графіки, можна стверд­жувати, що власні процеси у даному випадку також мають аперіодичний харак­тер. Тобто умова сорез =8 є граничною умовою існування аперіодичного проце­су в контурі.

1.3.3 Коливальний режим у колі Я, Ь, С

Якщо 8 < С0рез (Я < 2р), то корені характеристичного рівняння (1.45) утворюють пару комплексно-спряжених чисел р1 = -8 + уовл; р2 = - 8 - уовл. Розташування коренів на комплексній площині показано на рис.1.14, в. У цьомувипадку справедливий розв'язок (1.10) або аналогічний запис з використанням функції косинус:

исвл (t) = Ae" 5t Cos(cCW + у) .

Струм у колі визначається співвідношенням:

івл(t) = iC (t) = С du<c (t) = -CAS e~5t соб(ювлґ + у) - CAe~5t совл Біивлґ + у).

Підставивши значення +0 в отримані вирази і враховуючи початкові умо­ви Uc (-0) = E; i(-0) = iL (-0) = 0, а також закони комутації, аналогічно рівнянням (1.48), записують систему для визначення сталих A та у:

E = A cos у ; 0 = SA cos у + AcOj^ shi у

звідки виходить:

_S , E

CO

S E I-2—

1§у =--;      A =-= E-y/1 + 1§у= E

" cos у V

1 + 4~ = e Срез

де Юрез ^®Вл + S 2 ;   (-у) = arctg 5

C вл

Підстановка значень A та у у вираз для напруги на ємності дає:

Eco

uc вл (t) =        e"St cosK/ - у). (1.56)

c вл

Аналогічно, підставляючи A та у до виразу для струму та використо­вуючи відому з математики формулу

asuix + cosx = rsm(x + y) = rcos(900 -x-y); r = Va2 + &2 ;   y = arctg,

a

можна записати:

івл(t) = -7^e"St sin gW. (1.57) Напругу на індуктивності визначають диференціюванням виразу (1.57):

Ulвл (t) = = -JL (- S e~dt Sin + «влЄ"St COs        ) =

E E I-

=-e~St(Ssm сов/ - совл cos сов/)=--e~S^co^ + S2 cos^^t + у);

Eco

Ul вл (t) =--— e "St cosK/ + у). (1.58)

c вл

Криві, побудовані згідно з формулами (1.56) - (1.58), зображено на рис.1.16. Аналіз цих графіків показує наступне:

1. Оскільки процес відбувається за рахунок власної енергії кола, він вик­ликає вільні коливання, які були б синусоїдними, якби амплітуда була по­стійною за часом. В даному випадку амплітуда зменшується за експоненційним законом, тому ці коливання звуться загасаючими. Періодом загасаючих коли-

вань слід вважати Твл 2п

де со

со

вл частота вільних коливань.

вл

2. Відповідно, такий розряд ємності зветься коливальним. Для добротного кола значення кута у наближається до 0°, тому розряд починається майже з ве­личини Е (хоча невеличкий зсув відносно осі ординат таки є). Напруга на ємності зменшується і змінює знак, тобто відбувається перезарядження ємності. Розряд ємності супроводжується втратою енергії, яка переходить до індуктивності. Отже, з енергетичної точки зору, процес власних коливань в контурі можна розглядати як результат неперервного перерозподілу енергії між Ь і С, між електричним і магнітним полями.

Рисунок 1.16 - Графіки струму і напруг у колі Я, Ь, С в режимі вільних коливань

3. Графік иЯвл ) збігається з графіком /вл ) з точністю до постійного коефіцієнта. У будь-який момент часу сума напруг у вільному режимі дорівнює

нулю: иЬ вл (ї) + иЯ вл (ї) + иС вл (ї) = 0.

Деякий зсув між синусоїдами иЬ вл ) та ис вл ) непомітний, тому що ко­ло в коливальному режимі має високу добротність.

4. Якщо Я << 2р, коливання існують довго, і коло є послідовним коли­вальним контуром. Швидкість загасання вільних коливань характеризується коефіцієнтом 8, тому він зветься коефіцієнтом загасання. Чим менше значення 8, тим довше продовжуються коливання.

Швидкість загасання вільних процесів характеризується також логариф­мічним декрементом загасання 0, який визначається як натуральний лога­рифм відношення амплітуд напруг иСвл (' ), иЬвл (' ) або струму івл (' ) у моменти

часу і Ґі + .

Щоб пояснити зміст величини 0, слід записати співвідношення (1.57) у вигляді:

Тоді зрозуміло, що

Іт 1)

0 = 1п

1и-

- — 111 -

Іт (+ Твл ) V

-8('і +Твл)

1п

5Тв

5Т

вл

Величини 8, совл, 0 визначаються параметрами кола:

-82 =

с

рез.

1

с

82

2 = с рез рез

1 ­я

2 Ьсо,

рез

Якщо добротність 2 >>1, с

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації