Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 88

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

або

V ,(п-1) 2

(с) = п(п -1) •. . . • 2Спс + (п - 1)(п - 2) •. . . 2Сп-1,

V2 (0) = С; V2" (0) = 2С2;

(6.10)

V2( п-1)(0) = (п - 1)(п - 2) •... • 2Сп-1.

1 Маклорен Колін, МаеІаигіп (1698-1746) - шотландський математик, професор, член Лондонської королівської спілки (1719), учень Ньютона. Працював у Шотландії (Абердін, Единбург), Франції. Лауреат премії Паризької АН за роботи з фізики (1740) разом з Д. Бернуллі, Л. Ейлером. В області аналізу встановив інтегральну ознаку збіжності числових рядів і формулу їх підсумовування. Кілька його теорем увійшли до сучасної теорії плоских кривих та проективної геометрії. Першим оприлюднив працю про розкладання функцій у степеневі ряди.

За умови (6.8) на підставі співвідношення (6.6) виходить:

V2(0) = Со = 1. (6.11) З урахуванням рівнянь (6.10) виконання умов (6.9) призводить до вимог:

С = С2 = - = С„-1 = 0. (6.12) За умов (6.11) і (6.12), рівняння (6.6) перетворюється до вигляду:

V2(ю) = 1 + Сп ю2п.

При Сп = 1 виходить:

V2(ю) =1 + ю2п. (6.13) З метою узагальнення запису, доцільно ввести нормовану частоту:

С3 = —. (6.14)

Тоді вирази (6.13), (6.4), (6.5) відповідно матимуть вигляд:

V2(Q) =1 + О2п, (6.15)

АР (О) = 10^(1 + П2п); (6.16)

H^Q) = —Х. (6.17)

Слід зауважити, що частотна характеристика ослаблення та АКХ - парні функції частоти О. Фільтри із залежностями (6.16), (6.17) мають назву фільтрів з характеристиками Баттерворта  (ФБ), причому п є порядком фільтра. За

2

умови О = 1 (на частоті со = со^) функція V (1) = 2, ослаблення ФБ становити-

ме 10lg2 = 3 дБ. Отже, AP(тгр) = 3 дБ; Hj(тгр) = —^ на підставі виразу (6.17).

Оскільки для ФБ виконуються умови (6.9), які при відході від частоти

О = 0 забезпечують повільне зростання функцій V (О), АР(О) і, як наслідок,

повільний спад Н и (О), ФБ мають ще назву фільтрів з максимально плоскими

характеристиками ослаблення. Графіки залежностей АР (со) і Ни (со) для

різних значень п зображені на рис.6.3.

У смузі затримання для частот О>> 1 одиницею у виразі (6.16) можна знехтувати, і тоді ослаблення визначиться як АР (О) = 20п О. При збільшенні

частоти удвічі 2 =2О1; ^ °2- = 0,3), або на октаву, приріст ослаблення ста­новитиме:

АР2) - АР(О1) = 20п^О = 6п дБ . (6.18)

О1

2

Баттерворт Стівен, S. Butterworth - англійський інженер, вперше описав максима­льно плоску частотну характеристику фільтра у статті "On the Theory of Filter Ampli­fiers" (1930).

Отже, необхідний приріст ослаблення у СЗ можна забезпечити, збільшуючи значення п.

Оскільки від доданку О2п у знаменнику формули (6.17) за умови О >1 залежить швидкість спадання АКХ, його пов'язують ще з функцією фільтрації і вводять позначення:

н2(О) = Г^т^

1 + ф2(О)

2

де ф (О) - квадрат модуля функції фільтрації.

(6.19)

0

п=7

-►

О

0

О

а

б

Рисунок 6.3 - Частотні залежності ФНЧ Баттерворта: а - ослаблення; б - коефіцієнта передачі за напругою

1

1

Тоді з урахуванням виразу (6.15) знаменник АКФ (6.19) можна записати:

V 2(О) = 1 + ф2(О). (6.20)

Функція фільтрації ф(р) є функцією комплексного змінного р.

Порівнюючи вирази (6.17) і (6.19), можна зробити висновок, що для ФБ квадрат модуля функції фільтрації

ф2(О) = О2п. (6.21)

Тоді частотна залежність ослаблення (6.16) становитиме:

АР (О) = 10^(1 + ф2(О)). (6.22)

Порядок фільтра п визначається кількістю ланок фільтра, тобто може бу­ти тільки цілим числом. Щоб знайти п, до системи (6.7) слід підставити вираз (6.16) для відповідних частот:

р (Од ) = 10ів(1 + ОДп) < Ад ;

(6.23)

[ Ар (О,) = 10ів(1 + О2п) > А,.

Внаслідок переходу від нерівностей до рівностей система (6.23) приймає вигляд:

1 101ё(1 + О2п) = Ад; 101ё(1 + О2п) = А,.

(6.24)

Якщо поділити обидва рівняння системи (6.24) на 10 і пропотенціювати, виходить:

100,1Ад = 1 + ОДп; 100,1А = 1 + О2п, або

ОДп = ю0,1Ад-1; = ю0,1А -1.

(6.25)

Оскільки О5 > Од (див. рис.6.2),

О5 ,2п

-1     г

———.-, або після логариф-

100,1 Ад -1

мування: звідки

О

2п 1g 5

Од ^(100,1А -1) - ^(100,1Ад -1)

п ^(100ДА -1) - ^(100,1Ад -1) О

2^ 5

(6.26)

Од

Як правило, отримане з цього рівняння значення орієнтовного порядку

фільтра п* - число дробове. Щоб визначити порядок фільтра, п* слід збільшити до цілого значення:

п >п*, (6.27) при цьому рівняння (6.24) перетворяться на вихідні нерівності (6.23).

Слід зауважити, що для визначення п не потрібно знати нормовані час­тоти, оскільки

(6.28)

Денормування частотних характеристик потребує визначення граничної

частоти, яку можна знайти, користуючись саме дробовим значенням п з будь-якого рівняння системи (6.24). З огляду на формулу (6.25) виходить:

со

(100,1Ад- 1)2п\ або с

с

(100ДА - 1)2п* , звідки

гр

со.

(6.29)

1 1 •

(100,1Ад - 1)2п*      (100,1А, - 1)2п*

Щоб отримати залежність ослаблення від абсолютних значень частоти, слід нормовану безрозмірну частоту О, що відкладена за віссю абсцис (рис.6.3), замінити частотою со = Осо^ на підставі співвідношення (6.14).

Щоб визначити ОПФ, на підставі виразу (3.88) записують аналогічне рівняння, яке встановлює зв'язок між комплексним коефіцієнтом передачі за напругою та ОПФ для нормованих значень аргументів:

Hv (jn=_ = Hv (p), (6.30)

де р - нормоване значення комплексної змінної:

р = і0 = і —; (6.31)

р

звідки О = — = -ір. (6.32)

і

Зв'язок між модулями лівої та правої частин рівняння (6.30) встановлю­ють, враховуючи вирази (6.5) і (6.32):

Ни(П) 0   р = Ни (Р)2 =~Чї. (6.33)

0=-ір V2(0) у(Р

0=-ір

З огляду на формули (6.19), (6.20) і (6.32) виходить:

|V(p)|2 = 1 + cp2(Q)      . (6.34)

Q=- jp

2

Щоб визначити полюси      (p) , прирівнюють нулю знаменник (6.34):

V (Р)2 = 1 + (- JP)2" = 0, (6.35)

звідки - Jpk = 2"/-Т = e  1п П, k = 1,2,2",

2k -1        . 2k -1

або - jpk = cos-п + j sm-n.

2п 2n

Поділивши обидві частини останнього виразу на - J, можна знайти нор­моване значення кореня p:

pk =-sin2k1 п + Jcos2k1 п,   k = 1,2,      2п. (6.36) 2п 2п

Визначені за формулою (6.36) нормовані корені ФБ лежать на колі оди­ничного радіуса на однаковій відстані один від одного. Як приклад на рис.6.4 показано розташування коренів p на комплексній площині для п = 3 .

Як видно з рис.6.4, кути між радіусами, проведеними у точки полюсів,

однакові й загалом становлять величину ф = —; числові значення полюсів ви-

п

значені нижче у прикладі 6.1 для п = 3 .

Якщо у виразі (6.36) удвічі зменшити верхню межу значення k, тобто k = 1,2,      п, корені pk, належатимуть тільки лівій півплощині та утворять

поліном Гурвіца, який, враховуючи визначений спосіб розташування коренів, має ще назву полінома Баттерворта і може бути представлений у вигляді:

V(p) (p - pk). (6.37)

k=1

Це дозволяє на підставі виразу (6.2) за умови k' = 1 визначити ОПФ поліномного фільтра:

Ни (р)

1

(6.38)

П (р - рк)

к=1

Для двох комплексно-спряжених коренів р12 = -ст ± і'ю, які лежать на колі одиничного радіуса (ст + со = 1), поліном V (р) має вигляд:

V (р) = (р - р )(р - р2), або V(р) = р2 + 2стр + 1.

(6.39)

Іт р А

к =1, 2, 3

к =1, 2, 6 Рисунок 6.4 - Полюси ФБ третього порядку

З виразу (6.39) видно, що визначення нормованого полінома не потребує обчислення уявної частини комплексно-спряжених коренів.

Тому поліном Баттерворта (6.37) можна представити у вигляді:

}■}}

V (р) (Р 2 + 2<ікр + 1); т = п/2,

(6.40)

к=1

де ак = бій

2к

2п

-1 —п

к = 1,2, к, п - реальна частина виразу (6.36).

Це дає можливість реалізовувати ОПФ (6.38) ланками другого порядку для парного п . Поліном Баттерворта для непарного п міститиме, крім т ланок другого, ще одну ланку першого (або т -1 другого та одну третього) порядку:

т

V(р) = П (Р2 + 2акР +1)(р + а), т

п -1

2 (6.41)

к=1 2 Отже, залежно від того, парним чи непарним є порядок п ФНЧ Баттервор­та, його ОПФ визначається на підставі виразу (6.38), до знаменника якого слід підставити добуток (6.40) або (6.41).

Загалом поліном Баттерворта має вигляд:

V (р) = рп + Ьп-1 рп-1 + - + Ьх р + 1. (6.42) Коефіцієнти поліномів Баттерворта для різних п наведено у табл.6.1.


os

 

 

 

 

 

 

 

 

653924532

00

 

 

 

 

 

 

 

in о

г~-г~-

00 1п

г-in

OS

2

г~-

сГ 2

 

 

 

 

 

 

 

9

о

3

00 1п

2 in"

00

г-

00

in

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації