Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 89

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

о

о

00^

г-2 4

 

 

 

 

 

 

2 9

1п

9 3 9

2

г~-о г~-

3

1п

3 4 3 6

3

3 6 9 3

(N 00 00^

6

 

 

 

 

 

3 3

о

г~-

3 6

00^

4

3

00

9

о

сг

о

1п

4

00^

г~-

1п 00

3 6

00

2 9 2 4

3

CN

 

 

 

 

о

00

6

о

6 3

6

о

6

г-'

9 3 9

г~-

OS in

■<t

9

1п

in

3

00 00

in" 2

1п 00

3 6

00

3 6 9 3

CN 00 00

6

 

 

 

9

1п

2 3

о

00

6

о

6 3

in

2

о

2 6

9 3 9

г~-

OS in

^

о in

4

00^

<N

1п

3 4 3 6

3

о

CN

о

00

г-2 4

 

 

О

о о о о о о

г-2

6 3

4

о

00

6

о

6 3

in

6

о

6

г-'

4

3

00

9

о

сг

2

г~-о г~-

3

00

г-

00

in

OS

2

сГ 2

<T

6 3

<N

4

о о о о о о о

г-2

9

1п

2 3

г-2

о

00

6

о

6 3

сп

3 3

о

г~-

3 6

00^

2 9

in

9 3 9

■<t

9

о

3

00 1п

2 in"

1п

о

г~-

00 1п

г-in

2 3

1п

4 9

со

 

 

СП

 

in

 

 

00

OS

о

in

0Визначення денормованої ОПФ потребує підстановки до виразу (6.38) нормованого значення р з урахуванням (6.14):

р = уО = і— = Ю , (6.43)

СО гр

тобто

Ни (Р) = Ни (р) 1

V (Р)

р=

. (6.44)

р

югр

Після такої підстановки знаменник ОПФ ланки другого порядку (6.39) ма­тиме вигляд:

V (р) = р2 + 2ар + 1    р =±--^-гр. (6.45)

Приклад 6.1. Визначити нормовані корені та ОПФ ФНЧ Баттерворта третього порядку, якщо гранична частота югр = 10 рад/с.

Розв'язання. Виходячи з виразу (6.36), обчислимо нормовані корені

\Ни (Р)|2 Для n = 3 при змінюванні величини k у межах k = 1 6:

_       . тт    .     тт     _ _    .л/3      _ .тс

Рі =- sun + j cos — = -0,5 + j;     р2 =- sun — = -1;

• 7л    .     7л .

р3 =- sin+ / cos= -0,5 - j ;   р4 =- sin+ j cos= 0,5 - j; 3 6 6 2       4 6 6 2

_        . 3л   л    _       .11л.     11л   ne V3

р5 = - sin= 1;   р6 = - sin-+ j cos-= 0,5 + j .

5 2 6 6 6 2

Рис.6.4 ілюструє розташування знайдених коренів на комплексній пло­щині, які розміщені на колі одиничного радіуса. Зліва лежать корені, що утво­рюють поліном Баттерворта (k = 1,2,3). За формулою (6.41) отримуємо:

V( р) = 2 + 2а1р + 1)(р + а2) = (р2 + р + 1)(р +1) = р3 + 2 р2 + 2 р +1.

Слід зауважити, що значення коренів відповідають табл.6.1.

З урахуванням співвідношення (6.44) денормована ОПФ має вигляд:

109

Ни ( р) = -3г-2-6-д. (6.46)

р3 + 2 103р2 + 2 106р +109

Приклад 6.2. Визначити ОПФ ФНЧ Баттерворта, якщо на частоті 750 рад/с ослаблення за потужністю AP (со) не має перевищувати 0,85 дБ, а на

частоті 2600 рад/с - бути меншим 22 дБ.

Розв'язання. Формалізуємо вимоги до ослаблення за потужністю на підставі виразу (6.23):

АР(750) = 10ів(1 + ОІ") < АА = 0,85 дБ ;

АР (2600) = 10^(1 + П2") > А5 = 22 дБ .

(6.47)

Знайдемо орієнтовний порядок фільтра п*  за формулою (6.26) для рівностей у системі (6.47):

п. = '8(1°0,1-22 -1) -2У85 -1) = 2,6508.

2600

750

Отже, порядок фільтра " = 3 .

Обчислимо граничну частоту ФНЧ за формулою (6.29):

750

югр =-1— = 1001 * 103 рад/с .

0,1-0,85 - 1)2-2,6508

Оскільки значення " і со^ виявились такими, як у попередньому при­кладі, Ии(р) визначатиметься виразом (6.46).

Слід зазначити, що за малої величини Аі реалізація максимально плоских

характеристик ослаблення у смузі пропускання потребує високого порядку ". Уникнути цього можна, використовуючи фільтри з іншою апроксимацією ос­лаблення за потужністю.

6.5 Фільтри з характеристиками Чебишова

На відміну від виразу (6.20), знаменник АКХ ФНЧ може мати іншу функцію фільтрації ф(Г2) і відповідно інші частотні залежності ослаблення або АЧХ. Частотна залежність ослаблення у смузі пропускання не повинна виходи­ти за межу Аі, але може мати коливальний характер. СП обмежена частотою

юі (АР (юі) < Аі), тобто її гранична частота югр = юі . Таку залежність ослаб-

з

лення АР можуть забезпечити поліноми Чебишова :

Т" (О) = соб( п агссоБ О), (6.48) де О - нормована частота, причому:

О = —. (6.49) ©і

3 •

Чебишов Пафнутій Львович (1821-1894) - російський математик і механік, за­сновник петербурзької математичної школи, академік (1859), член багатьох іноземних АН. Автор понад 70 наукових праць з теорії чисел, теорії ймовірностей, теорії набли­ження функцій, інтегрального числення. Довів так званий постулат Бертрана, встано­вив асимптотичний закон розподілу простих чисел. Довів загальні форми закону ве­ликих чисел, центральну граничну теорему. Заснував новий розділ теорії функцій, складовою якого є теорія найкращих наближень функцій поліномами. Конструював машини та механізми, створив та вдосконалив понад 80 механізмів.

Незважаючи на те, що функція Тп(Q) визначається з рівняння (6.48) як

трансцендентна, вона має всі ознаки полінома. Переконатися у цьому можна, якщо ввести позначення:

arccosQ = Z, (6.50)

де Z загалом є комплексною величиною:

Z = u + jv. (6.51)

Згідно з виразом (6.50)

cos Z = Q. (6.52) Тоді рівняння (6.48) можна представити у вигляді:

Тп (Q) = cosnZ . (6.53)

Поліноми Тп(Q) визначаються для різних значень п (п = 0,1, 2, 3, ...) з урахуванням співвідношення (6.52):

T0(Q) = 1;  T1(Q) = cosZ = Q;  T2(Q) = cos2Z = 2cos2 Z -1 = 2Q2 -1.

Загалом для поліномів Чебишова справедлива рекурентна формула:

WO) = 2 QTn (Q) - T,-1(Q), (6.54) звідки можна визначити T3(O), T4(O) тощо, наприклад:

T3(Q) = 2QT2(Q)-T1(Q) = 4Q3 -3Q. Поліноми Чебишова вищих порядків наведено у табл.6.2.

Таблиця 6.2 - Поліноми Чебишова

п

Tn (Q)

1

Q

2

2 Q2-1

3

4 Q3 - 3Q

4

8 Q4 - 8Q2 +1

5

16 Q5 - 20Q3 + 5Q

6

32 Q6 - 48Q4 + 18Q2 -1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації