Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Сталу А визначають з початкових умов:

іЬ (+0) = А + Іт С^ V вм ; іЬ (-0) = 0; А = -Іт С^ V вм .

Отже, кінцевий вираз для струму у колі буде такий:

і(ґ) = -Іт С0^ Vвме Т+ Іт с08(«ґ + Увм). (1.71)

Аналогічно режиму кола Я, С (див. п. 1.4.1), залежно від початкової фази вимушеної складової струму можливі два характерні випадки.

п

вм

1. Відсутність перехідного процесу, коли цц вм = + —. При цьому у почат-

2

ковий момент часу вимушена складова струму дорівнює нулю, вільний струм відсутній, і у колі відразу встановлюється стаціонарний стан.

2. У загальному випадку вимушена складова струму у початковий момент відрізняється від нуля, і у колі спостерігається перехідний процес (рис.1.20, б).

З рисунка видно, що у початковий момент часу перехідний струм помітно відрізняється за формою від вимушеного струму /вм ), причому у деяких точ­ках його перебільшує.

Максимально можливі значення струму у колі, як це виходить з формули (1.71), спостерігаються за умови, коли вимушена складова у момент часу ґ = +0 досягає максимального значення, тобто при у Е = ф, або у вм = у Е - ф = 0, ± п.

Якщо стала часу велика, то на інтервалі, де ґ << т, максимуми струму набли­жаються до 2.

1.4.3 Увімкнення джерела синусоїдної дії до кола R, L, C

Нехай послідовне коло R, L, С підключається до джерела синусоїдної дії e(t) = Em cos cot за нульових початкових умов: iL (-0) = 0; Uc(-0) = 0.

Оскільки після комутації утворюється коло (рис.1.19, в), можна скориста­тись рівнянням (1.59), врахувавши вид вхідної дії e(t):

-+--^L + -c±t- = —^coscot. (1.72)

dt2    L dt     Lc Lc

Розв'язок рівняння (1.72) має вигляд:  Uc (t) = Ucвл (t) + Ucвм (t). Вільна

складова залежить від характеру коренів p1 2 характеристичного рівняння

(1.45). З точки зору забезпечення вибірних властивостей радіотехнічних кіл найцікавішим є випадок комплексно-спряжених коренів, який відповідає висо­кому значенню добротності, а отже, явищу резонанса. Тоді

UCвл (t) = AeC°s(cW + VU );        UC (t) = Aecos(cW + VU ) + UCвм (t) .

Вимушена складова напруги визначається методом комплексних амп­літуд:

Umc ---J =-m e R = Umce   2       R ,

R + jX V  ccу   cocVR2 + X2

де Umc =-Em     . ;     X = coL- 1

R 2 + X 2 <°c

+

X Л

— + arctg

--Г dltlii-

2R

, вираз для

Якщо початкову фазу ис вм (ґ) позначити цги =

миттєвого значення вимушеної складової матиме вигляд:

ис вм (ґ) = {/тсе] +*ис) }= итс сов(соґ + ц/^). Отже, напруга на ємності визначається за формулою:

иС ) = Ае     с0§(«влґ +       ) + итС С08(юґ + ). (1.73)

Оскільки при (2 >> 1 виконується умова совл » С0рез (див. п. 1.3.3), вираз (1.73) матиме вигляд:

ис) = Ае сов(Юрезґ + уи) + итс СО8 + уис). (1.74)

Щоб знайти сталі інтегрування А і уи, доцільно використати вираз для струму, врахувавши, що за умови 2 >> 1 загасання 8 << сорез, а отже, вважати

при диференціюванні множник е~ы незмінним за період коливання з частотою

іс) = С и(ґ) =-САесорез біп(ю0ґ + уи) - СитСсо біп(юґ + уи ). (1.75)

В результаті підстановки значення ґ =+0 до виразів (1.74), (1.75) вихо­дить система рівнянь:

[иС (+0) = А ^ уи + итС ^ уиС ; [іС (+0) = -САсрез ^П у и - СитСС ^п у иС ,

яка з огляду на закони комутації за нульових початкових умов матиме вигляд:

А С^ уи = тС С^ уиС ;

Асрез вш у и = тСС вш у иС . .

Поділивши почленно друге рівняння системи (1.76) на перше, можна за­писати:

со

Срезtgу и = С tиС ;    tg у и =-^ у иС .

Юрез

За умови 2 >> 1 відношення со / сорез «1, тоді

tg уи =tg уиС; уи = уиС. (1.77)

За умови (1.77) з першого рівняння системи (1.76) виходить:

А = -итС. (1.78) Насамкінець, з урахуванням умов (1.77), (1.78) вираз (1.74) матиме ви­гляд:

иС (ґ) = тСЄСОБрезґ + уи с ) + итС ^((О* + уи с ). (1.79)

Отже, иС ) є сумою двох коливань з різними частотами. Аналізуючи

формулу (1.79), можна зробити висновок, що характер перехідних процесів за­лежить від співвідношення між частотою коливань зовнішньої дії со і резонанс­ною частотою сорез. Можливі три випадки: 1) Дсо = 0, 8 ф 0; 2) Дсо ф 0, 8 = 0;

3) Дсо ф 0, 8 ф 0, де Дсо = со - сорез - абсолютна розстройка.

1. При Дсо = 0, со = сорез вираз (1.79) перетворюється так:

ис ) = тСе С°80резґ + уис ) + итС СО8резґ + уис ) =

Оскільки  при   со = сорез   у  колі  виникає  явище  резонансу, слушні

рез

співвідношення X = 0; 2 = Л ; уис = ; итС = Ет р = Ет2 .

Тоді

ис ) = Ет2(1 - Є-8ґ )СО8рез? - П) = Ет2(1 - Є-8ґ )віИ . (1.80)

Вираз (1.80) можна записати ще як

де итс ) = Ет2(1 - е"8ґ) - рівняння обвідної.

У даному випадку амплітуда коливань напруги на ємності контуру зро­стає у часі за експоненційним законом, наближаючись до значення Ет2 .

Щоб знайти швидкість зростання амплітуди коливань, необхідно розраху­вати похідну ——— = Ет28е    у початковий момент часу:

аитС

т- / ><? Ет2<С)рез ЕтС = Ет08 =-— =-

Отже, швидкість зростання обвідної не залежить від значення доброт­ності. Тому у контурі з вищою добротністю (22 > 21) для встановлення ста­ціонарного режиму потрібен більший час (ґуст2 > ґуст1, рис.1.21, а). Осцилограма

напруги на ємності при увімкненні синусоїдної напруги в момент ґ = 0 та при вимкненні в момент ґ = ґі (що еквівалентно дії прямокутного радіоімпульса

тривалістю ґі) зображена на рис.1.21, б.

Рисунок 1.21 - Увімкнення синусоїдної дії до кола Я, Ь, С: а - графіки обвідної; б - часова діаграма напруги на ємності при дії прямокутного радіоімпульса

2. Якщо частота зовнішніх коливань со не збігається з резонансною часто­тою і контур не має втрат (8 = 0), напруга на ємності, як це виходить з виразу (1.79), є сукупністю двох гармонічних коливань, котрі мають близькі частоти і приблизно однакові амплітуди. У цьому випадку співвідношення (1.79) пере­творюється так:

ис (ґ) = тС СО§(срезґ + уиС ) + итС СО§(юґ + уиС ) =

тС Бт ^сорез - со Л

V

2

Би!

У

Юрез + с

2

иС

(1.81)

В результаті підсумовування вільної і вимушеної складових виникають так звані биття (рис.1.22). З рівняння (1.81) виходить, що обвідна итс($) по­вільно змінюється у часі за законом:

а частота коливань дорівнює

итС (ґ) = тС

со + со

с рез - с

БіИ—--

2

рез

2

Рисунок 1.22 - Графік напруги на ємності в колі Л, Ь, С за умови

с ф сорез, 8 — 0

Биття матимуть подвоєну амплітуду, оскільки у випадку однакових фаз векторів исвл і исвм, ці вектори спрямовані однаково, і тому їх амплітуди

підсумовуються. Період биттів розглядають як величину, що у два рази менша періоду синусоїди, тобто

Тб

2п

с рез - с

3. У реальному контурі (коли 0) величина вільної складової исвл )

зменшується за експоненційним законом. Внаслідок цього при Дсо ф 0 і 8 ф 0 в результаті підсумовування двох коливань ис вм ($) і ис вл ($) з близькими часто­тами також виникають биття, але обвідна перехідного процесу матиме складніший вигляд (рис.1.23), ніж у попередньому випадку (рис.1.22).

Щоб пояснити форму обвідної, слід розглянути векторну діаграму напруг (рис.1.24, а, б). Вектори итсвм і итсвл обертаються в комплексній площині проти годинникової стрілки з різними кутовими швидкостями со і С0рез відповідно (нехай сорез > со). При ґ = 0, як виходить з формули (1.79), ці вектори перебувають у протифазі (рис.1.24, а).

иС(ґ)

тС Ет / 2

о

До = о, 8 ф 0    Дсо ф 0,8 ф 0

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації