Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 90

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

7

64Q7 -112 Q5 + 56Q3 - 7Q

8

128Q8 - 256 Q6 + 160Q4 - 32Q2 +1

9

256Q9 - 576Q7 + 432 Q5 - 120Q3 + 9Q

10

512Q10 - 1280Q8 +1120 Q6 - 400Q4 + 50Q2 -1

Доцільно зауважити, що доданок СпО" полінома Тп (О) з аргументом О у максимальному степені, містить коефіцієнт Сп, який визначається як

Сп = 2п-1. (6.55)

Графіки частотних залежностей поліномів Чебишова першого, другого і третього порядків зображено на рис.6.5. Поліноми Чебишова з парним (непар­ним) п є парними (непарними) функціями О .

T1(Q) T2(Q) T,(Q)

-1

Рисунок 6.5 - Графіки поліномів Tn (Q), п = 1,2,3.

З аналізу графіків виходить, що на інтервалі -1 < Q < 1: по-перше, графік полінома Tn (Q) перетинає вісь абсцис п разів;

по-друге, максимальні відхилення Tn (Q) від нуля за модулем однакові,

спостерігаються п +1 разів і збігаються зі значенням відхилення на межі інтервалу (Tn (1) = 1);

по-третє, за межами інтервалу Q| > 1 значення полінома монотонно зро­стають.

Перші два висновки виходять з виразу (6.53). У межах СП Q<1, тоді відповідно до виразу (6.52), можна стверджувати, що Z - дійсна величина, тоб­то Z = u, nZ = nu і змінюється у межах ± 2п; cos Z = cos u < 1. На межі СП

нерівність перетворюється на рівність.

Щоб у межах СП забезпечити відхилення ослаблення за потужністю від нуля на незначну величину Лд << 3 дБ, необхідно, щоб функція фільтрації за

модулем не перевищувала значення s (s << 1), тобто модуль функції фільтрації визначають як добуток полінома Чебишова і величини s:

cp(Q) = sTn (Q). (6.56)

Фільтри з такою частотною залежністю модуля функції фільтрації нази­вають фільтрами Чебишова (ФЧ), а s - коефіцієнтом нерівномірності ос­лаблення. Згідно з формулою (6.22) частотна залежність ослаблення фільтра Чебишова становить:

ЛР (Q) = 10lg[1 + s2Tn 2(Q)]. (6.57)

Зменшення значення s призводить до зменшення ослаблення не тільки у СП, а і смугах переходу і затримання, тому не слід зменшувати ослаблення у СП більше, ніж потрібно.

Щоб зрозуміти третю властивість поліномів Чебишова, треба усвідомити, що за межею СП (Q>1) рівність (6.52) може виконуватись тільки за умови комплексного значення Z (6.51), точніше чисто уявного:

Z = jv. (6.58)

Тоді, виходячи з виразу (6.52) і враховуючи (6.58), можна стверджувати,

що

cos Z = cos jv = ch v = Q, (6.59)

звідки

v = ArchQ. (6.6G)

З огляду на це поліном Чебишова (6.53) для Q > 1 з урахуванням виразу (6.58) набуває вигляду:

Tn (Q) = ch nv, (6.61)

а після підстановки виразу (6.6G):

Tn(Q) = ch(nArchQ). (6.62)

Отже, враховуючи значення нормованої частоти Q у різних смугах, час­тотну залежність ослаблення фільтра Чебишова відповідно до співвідношень (6.48), (6.57), (6.62) можна представити у вигляді:

lGlg[l + s2 cos2(n arccos Q)], Q<1; AP (Q) = j    ё[ v Jh (6.63)

|lGlg[l + s2ch2(n Arch Q)], Q>1.

Графіки частотних залежностей ослаблення для ФЧ другого і третього порядків, а також відповідні АЧХ зображено на рис.6.6. Граничну частоту сму­ги пропускання Пю визначено на рівні     : югр = юд.

Рисунок 6.6 - Частотні залежності ФНЧ Чебишова (п = 2, 3): а - ослаблення; б - коефіцієнта передачі за напругою

49G

Оскільки частотні залежності АР (со) і Hv (ю) у середині СП мають

хвильові відхилення відповідно від нуля і одиниці, причому в однакових межах, ФЧ називають також фільтрами з рівнохвильовими характеристиками. Визначення параметрів s і n для ФЧ базується на вимогах (6.7):

Р( '   =д (6.64)

Ар (Q s) = As,

які трансформуються до вимог стосовно полінома Tn (Q).

З урахуванням співвідношення (6.63) рівності (6.64) набувають вигляду: fl0lg[1 + s2 cos2 (n arccosl)] = Ад;

[10lg[1 + s2ch2(n ArchQs)] = As. Враховуючи, що arccos 1 = 0, з першого рівняння виходить:

lg(1 + s2) = 0,1Ад,   або    1 + s2= 100,1Ад , звідки коефіцієнт нерівномірності ослаблення

s = Vl00'^ -1. (6.66) З другого рівняння системи (6.65) виходить:

Ю0,1А. =1 + s2ch2(n Arch Qs), або  ch(n Arch Qs) = --,

І1

(6.65)

звідки n Arch Q s = Arch

V100,L4s -1

s

Остаточно порядок фільтра n можна обчислити за формулою:

л/100ДА -1

Arch-

n >-s-. (6.67)

Arch Q s

Значення n слід округлювати до більшого цілого значення, яке задоволь­няє вихідним нерівностям (6.7).

Щоб знайти полюси ОПФ ФНЧ Чебишова (корені V (p)), спочатку визна­чають полюси АКХ. На підставі формули (6.34) з урахуванням виразу (6.56) ви­ходить:

|V(p)|2 = 1 + cp2(Q)       = 1 + s2Tn 2(Q)       . (6.68)

Прирівнявши праву частину виразу (6.68) до нуля, після підстановки (6.53) можна записати рівняння, корені якого збігаються з полюсами АКХ:

1 + s2 cos2 nZ = 0, (6.69)

звідки

cos nZ = ± -. (6.70) s

s

Тепер Z вважається комплексною величиною (6.51). Саме визначення Z дозволяє знайти комплексні нормовані корені рівняння (6.68). З урахуванням виразу (6.51) можна записати:

cosn(u + j v) = cosnu chnv - j sinnu shnv = ± (cos jv = ch v, sin jv = jsh v).

s

Якщо прирівняти дійсні та уявні частини отриманого рівняння, виходить система:

cos nu ch nv = 0;

-1

sin nu sh nv = m.

s

Перше рівняння системи виконується за умови:   cos nuk = 0, тобто п

nuk = (2k -1) 2,   k = 1,2,     n, або

uk = 2k1П,     k = 1,2,     n. (6.71) n 2

Якщо застосувати умову (6.71) до другого рівняння, виходить:

sin nuk = ±1, тоді sh nv = + —, звідки

s

v = + -^sh1-. (6.72) ns

Величина v не має індексу, оскільки не залежить від k. Підставивши ви­рази (6.71), (6.72) до формули (6.51), можна записати:

Zk = uk + jv = 2k1П + j-^rsh1-,   k = 1,2, к, n. (6.73) n   2     n s

Нормовану частоту Qk, яка пов'язана з нормованим значенням кореня (Pk = j Qk), можна знайти на підставі співвідношення (6.52): cos Zk = Q k . Після множення на j виходить:

j cosZk = j Qk = pk. (6.74) Позначивши дійсну та уявну частини нормованого значення кореня

pk         + j Qk (6.75) і враховуючи формулу (6.51), вираз (6.74) можна записати: k + j Qk = j cos Zk = j cos(uk + jv) = j cos uk ch v - j2 sin uk sh v, k = 1, 2,n, звідки виходять співвідношення для дійсної та уявної частин pk:

д k = - sin uksh v; k k k = 1,2, к, n. (6.76)

Qk =cosukchv;

З системи (6.76) визначають:

sin uk =——; cos uk -

shv        k chv Після піднесення до квадрата та підсумовування виходить рівняння:о2

=1,

9 9

V V

з аналізу якого можна зробити висновок, що дійсні та уявні частини нормова­них коренів ФЧ (Ак, 0.к) належать до геометричного місця точок, утвореного

еліпсом з малою піввіссю бгі V і великою сії V, відповідно (рис.6.7).

Іт р А

І

-¥­

і \

0

і *

і

сгіу

Яе р

<-►

бііу

Рисунок 6.7 - Розташування коренів АКХ ФЧ за умови п = 3

Знаменник нормованої АКХ (6.68) можна перетворити до вигляду:

V(Р)\ = є2С2 П(Р - Рк) , (6.77)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації