Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 91

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

к=1

де значення коефіцієнта Сп відповідає виразу (6.55). Нормована ОПФ має

знаменник з удвічі меншою кількістю коренів з від'ємною дійсною частиною, тобто:

V (Р)

= 2п-1 єП (Р - Рк).

к=1

(6.78)

Добуток у виразі (6.78) за умови двох комплексно-спряжених коренів р12 = - А ± 7'Г2 є поліномом другого порядку від р з дійсними коефіцієнтами:

(Р - Рі)( Р - Р2) = Р2 + 2А р + А2 + О2. (6.79) Загалом ОПФ поліномного ФЧ (6.2), згідно з виразом (6.78), матиме ви-

гляд:

Ни (Р)

П (Р - Рк)

к=1

(6.80)

1

але може мати інше значення, оскільки не

де коефіцієнт к* =-—.

змінює форми частотної залежності, а впливає тільки на її рівень.

Корені Рк визначаються зі співвідношення (6.76) з урахуванням формул

(6.71) і (6.72). Аналогічно фільтрам Баттерворта перехід до денормованої ОПФ ФЧ здійснюється на підставі виразу (6.44).

Фільтри Чебишова з малою смугою переходу (соА ) і значною вели­чиною ослаблення А5 мають ОПФ з великим п. Це пояснюється монотонним зростанням ослаблення у смузі затримання, тобто А5 має полюс за умови

со —оо. Зменшити порядок фільтра, не погіршуючи його характеристики АР (О), дозволяє використання іншої апроксимації, ніж у виразі (6.57), яка на відміну від поліномних фільтрів, має у смузі затримання декілька полюсів. На­явність полюса поблизу частоти со5 забезпечує різке зростання А5 у смузі пере­ходу. Решта полюсів формує „сплески" ослаблення у СЗ на частотах, що відповідають нулям ОПФ. Графік такої частотної залежності ослаблення пока­заний на рис.6.8.

Рисунок 6.8 - Частотна залежність ослаблення ФНЧ, що має „сплески" у СЗ Частотна залежність ослаблення таких фільтрів замість Т (О) у виразі

2 4

(6.57) містить і (О), де і7(О) - дріб Золотарьова . Ці фільтри називають

фільтрами з характеристиками Золотарьова або Кауера5, який першим ви­користав властивості дробу Золотарьова щодо частотних характеристик фільтрів. Такі фільтри ще мають назву еліптичних фільтрів, оскільки полюси і нулі їхніх ОПФ визначають еліптичні функції (відомості про ці функції можна знайти у спеціальній літературі).

4 Золотарьов Єгор Іванович (1847-1878) - російський математик, ад'юнкт Петер­бурзької АН. Закінчив Петербурзький ун-т (1867). Працював приват-доцентом (1868), магістром математики, професором (1876). Займався дослідженням питання про мінімуми додатних квадратичних форм при цілих значеннях змінних. У докторській дисертації (1874) виклав теорію подільності цілих алгебраїчних чисел. Розв'язав кілька окремих проблем з теорії найкращого наближення функций.

Кауер Вільгельм, \У. Саііег (1900-1945) - німецький вчений, математик. Працював в області математики, математичної фізики, електротехніки, синтезу електричних кіл.

О

0

1 О

На відміну від ФНЧ, визначення ОПФ фільтрів верхніх частот, смугових та загороджувальних фільтрів передбачає два етапи.

Спочатку від вимог до ослаблення за потужністю ФВЧ, СФ, ЗФ перехо­дять до відповідних вимог ослаблення за потужністю ФНЧ. Перетворення час­тотних характеристик фільтрів інших типів до частотних характеристик ФНЧ, який має назву фільтра-прототипу (ФП), здійснюють за допомогою перетво­рення частоти. ОПФ ФП визначають за допомогою розглянутих вище спо­собів. Потім від ОПФ ФП переходять до ОПФ вихідного фільтра. Нижче роз­глянуто обидва ці етапи для фільтрів різних типів.

6.6 Фільтри верхніх частот

Враховуючи, що корені ОПФ лежать у лівій півплощині комплексної площини, комплексна змінна р має від'ємну дійсну частину: р = -8± і'со,

відповідно, р = -А ± іО - нормована комплексна змінна, ~ = -А ± іО - нормо­вана комплексна змінна ФП.

Перетворення СП у СЗ і навпаки, тобто трансформацію частотних діапа­зонів для ФВЧ, виконують, замінюючи нормовану комплексну змінну ~ ФП на

нормовану комплексну змінну р ФВЧ відповідно до співвідношення:

р    1 ~     1 ~ 1

р = ,   або   і& = ,   або О = —, (6.81) р іО О

де О = со / югр для ФБ (югр відповідає ослабленню 3 дБ, СП визначається

діапазоном: югр --да); О = со/ соА для ФБ (на частоті соА ослаблення АР(О) < АА,

СП: соА -т- да). Перетворення частотних смуг можливо завдяки парності функцій

Ии (О) і АР (О), причому їхні значення не змінюються при заміні частоти О

на О і навпаки, тобто

гИи (О) = Ии (О);

(6.82)

АР (О) = АР (О).

У табл.6.3 наведені значення р, отримані за формулою (6.81) для ФВЧ, які відповідають вибраним значенням р ФП (значення р = - і 0 ФП означає наближення до нуля з боку від'ємних уявних значень р).

Таблиця 6.3 - Співвідношення між комплексними нормованими частотами ФНЧ і ФВЧ

р

- і о

- і 1

- і да

р = 1/рр

і да

і 1

і о

Перетворення частотного діапазону ФНЧ (ліворуч) у частотний діапазон ФВЧ (праворуч) ілюструє рис.6.9 згідно з даними табл.6.3.

Іт ~ А

СП ФНЧ СЗ ФНЧ ^

І СП ФВЧ

-і1

-і0 ^-"""Яе^р

+і0

СЗ ФВЧ

Яе р

4 /

-/да/

Рисунок 6.9 - Перетворення частотних діапазонів ФНЧ-ФВЧ

На рис.6.10 і 6.11 показане трансформування частотних характеристик Ни (О) і АР (О) ФНЧ відповідно у частотні характеристики ФВЧ для ФБ, а на рис.6.12 і 6.13 - для ФЧ.

Ни(О)

\        \ *

\

\

\

\

\

\

\ \

1\

\ 1/л/2 \

\

\

\

\

0 0

Ни (О\

\ /\

\       /! \ v    /! \

\ і<«-V—►

^-

1

1

сю

гр

О

Рисунок 6.10 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФБ:

Ни (О) -- Ни (О)

Рисунок 6.11 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФБ:

Розрахунок ФВЧ передбачає, що задано значення ослаблення за по­тужністю на частотах їА і ї8 (юА і со5) (рис.6.11 і 6.13):

А (їа ) < Аа ;

Ар () > А5,

(6.8З)

або для нормованих частот:

(6.84)

р а ) < Аа ; Ар (О,) > А,.

Щоб знайти ОПФ ФВЧ Баттерворта, визначають нормовану частоту ФБ со ї

О =-=-, причому частоті югр відповідає ослаблення 3 дБ. Враховуючи

співвідношення (6.81) між нормованими частотами ФВЧ і ФП, згідно з рівнянням (6.26) можна обчислити орієнтовний порядок ФВЧ Баттерворта:п ^(100ДА -1) - 1ё(100,1АА -1)

21§

Од О,

У знаменнику рівняння (6.26) замість відношення частот

О А

(6.85)

для ФП

стоїть  відношення нормованих частот ФВЧ

Оа О.

яке  можна замінити

відношенням

СОд

Отримане за формулою (6.85) орієнтовне значення порядку

фільтра п*, як правило, число дробове, яке слід округлити до найближчого більшого цілого значення:

п > п*. (6.86)

n

0 0

да -►

с гр

О

->

с

Рисунок 6.12 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФЧ:

Ни (О) - Ни (О)

//7/7/7;

оо —-

/Ш^/////7Л////Ж__&______А.

,1| п,

Т

П

\

\

\ \

А \77////\ \

\ м

\

\

\

\

Ад

0 0

\

\

.  \ /х

\ф^^/////777//////7..

П

со

Рисунок 6.13 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-ФВЧ для ФЧ:

АР (О) -- АР (О)

Оскільки   порядки   ФВЧ   і   ФНЧ   збігаються,   враховуючи вирази (6.36)-(6.38), можна визначити нормований поліном Гурвіца та ОПФ ФП:

і (6.87)

со

гр

Визначення нормованої ОПФ ФВЧ потребує попереднього розрахунку Згідно з виразами (6.81)

5   _ гр

Юд     «гр Ю

де Юд, Ю5, Югр - частоти ФП; юд, ю5 , югр

(6.88)

частоти ФВЧ.

Тоді гранична частота ФВЧ, виходячи з формули (6.88), визначається як

со,

со

д,

гр

а з урахуванням виразу (6.25)

і і

юд (100,1Ад -1)2"* =со,(100,1А -1)2"*

гр =

(6.89)де п* обчислюють за формулою (6.85).

Співвідношення (6.81) дозволяє встановити зв'язок між нормованою час­тотою ФП ~ і денормованою частотою р ФВЧ:

~ 1 р = р 1

со

гр

ю

с

р (6.90)

Тоді денормовану ОПФ ФВЧ можна отримати за формулою (6.87):

Ни (р)

1

П (~ - Рк)

к=1

(6.91)

ю

р

де Рк - нормовані значення коренів ФП.

Визначення ОПФ ФВЧ з характеристиками Чебишова здійснюється на підставі співвідношення (6.84), причому частоти нормують за формулою (6.49):

О

;    Од= 1;

(6.92)

СОд    юд

Коефіцієнт нерівномірності ослаблення у смузі пропускання визначається за формулою (6.66), яка прийнятна для ФЧ будь-якого типу. Формула (6.67) дозволяє знайти порядок п ФНЧ, тобто ФП. Щоб скористатись нею, необхідно

перейти до нормованої частоти О5 ФП згідно з виразом (6.81): ОЛ 1

До

речі, порядки ФВЧ і ФП збігаються, а знайдене п округлюється до більшого цілого значення.

Для    отриманого    значення    п    порядку    ФП, використовуючи співвідношення (6.75), (6.76), (6.78), записують нормований поліном Гурвіца,

тобто знаменник ОПФ ФП: V (~) = 2п-1 єП (~ - Рк), і саму ОПФ ФП згідно з

к=1

виразом (6.80). Денормована ОПФ ФВЧ визначається з урахуванням формул (6.90) і (6.49):

Ни (Р)

П (~ - )

к=1

(6.93)

р

де кК 1

2п-1 є

але може мати довільне значення.

Приклад 6.3. Визначити ОПФ ФВЧ Чебишова, якщо на частоті 5000 рад/с ослаблення за потужністю АР (со) не має перевищувати 0,97 дБ, а на частоті

2500 рад/с - бути меншим 22 дБ.

Розв'язання. Обчислимо нормовану частоту ФП:

п

пп =_L=^a = A=5000=2

s   Qs    »s    fs    2500 ' Коефіцієнт нерівномірності ослаблення у СП і порядок ФП знайдемо за

формулами (6.66) і (6.67), відповідно: є = л/і00Д'0'97 -1 = 0,500259;

Arch — Arch-

n >-Р-=-0,500259  = 2,972804.

Arch Q s Arch2

Візьмемо n = 3, тоді коефіцієнт, що впливає на рівень ОПФ,

kR = —Ц. = = 0,5. R   є2п-1   4 є

Визначення цього коефіцієнта не потребує високої точності.

Щоб знайти корені ФП, спочатку за формулою (6.72) обчислимо значення

v: v = +—Arsh = +0,481057 . Дійсні та уявні частини нормованих коренів ФП n є

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації