Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 92

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

розрахуємо, виходячи з виразів (6.71), (6.76):

Ak =- sin uksh(± v);      k = 1 2 3 Qk = cosukchv,

Значення A вибираємо такими: k = 1: u1 = n/6; A1 = 0,249914; Q1 = 0,968179; px = -0,249914 + ;0,968179; k = 2: u =n/2; A 2 = 0,5; QQ 2 = 0; jp2 =-0,5;

k = 3; u = 5n/6; A3 = 0,249914; Q3 =-0,968179; ^3= -0,249914-70,968179. Для всіх k значення v - від'ємнє.

При  k = 1,3   маємо комплексно-спряжені корені. У цьому випадку

доцільно скористатись виразом (6.79), тоді для ФП можна записати:

(~ - Л)(~ - ~3) = Р2 + 2A1 р + A2 + Qj2; 2 A1 = 0,499827; A2, + QJ2 = 0,999827.

Щоб спростити запис, вважатимемо, що 2 A1 = 0,5; A1 + Q1 = 1. Загалом

обчислення коренів слід виконувати з точністю не менше як до шостого знака включно, оскільки це впливає на можливість фізичної реалізації ОПФ.

Нормовані значення ФП дозволяють визначити нормований поліном Гурвіца і нормовану ОПФ ФП згідно з виразами (6.78) і (6.80), відповідно:

V (р) = 4 є(р - р1)(р 2 + 2рір + A21 + Q2);

(]P - ^2)(^2 + 2Ai р + A12 + Qі2)

або після підстановки числових значень

0,5

Hu (p)

(р + 0,5)(pP2 + 0,5р +1)

Нормовану ОПФ ФП перетворимо у денормовану ОПФ ФВЧ, використо­вуючи співвідношення (6.93):

Hu (P) =

0,5

(p + 0,5)( p 2 + 0,5 p +1)

0,5

СОд

p + 0,5

P 2 p

або

Hu (P)

0,5 pъ

(0,5 p + оод)(p2 + 0,5 юд p + юД)

3

За умови сод = 5 -10 рад/с вираз ОПФ ФВЧ Чебишова має вигляд:

Hu (P)

P3

+ 104)(р2 + 2,5-103 р + 25-106)" Реалізувати таку передатну функцію можна двома ланками відповідно першого і другого порядків:

Н (р) = __Р___р2_

р +104  р2 + 2,5 ■ 103 р + 25 ■ 106 ' Щоб перевірити результат апроксимації, обчислимо частотну залежність ослаблення за потужністю за формулою (6.1):

H 2(ю)

=10lg

(j— +104)[( j®)1 + 2,5 • 103 j— + 25 • 10б]

Після визначення модуля і піднесення його до квадрата виходить:

, , Л   1Л1 (ю2 +108)[(25-106 -ю2)2 + 6,25-106ю2] Ар (ю) = 101^-^-^-2-^.

СО

Частотна залежність АР(ю), розрахована за цією формулою (рис.6.14), показує відповідність функції АР (ю) заданим умовам.

АР (ю), дБ А 22

юх103 рад/с

Рисунок 6.14 - Частотна залежність ослаблення ФВЧ у прикладі 6.3

p

6.7 Смугові фільтри з симетричними характеристиками

Трансформування ФНЧ-прототипу у смуговий фільтр (СФ) виконується за допомогою заміни нормованої комплексної змінної ~ ФП на нормовану комплексну змінну р СФ за формулою:

'й)2 + к2А

р

Р 2 +к2-, або уй

де нормовані змінні СФ відповідно становлять:

Р р ; й со

де Пю - смуга пропускання СФ;

кА ю0

(6.94)

(6.95)

(6.96)

У формулі (6.96) ю0 - так звана центральна частота СФ. Перетворення виразу (6.94) до вигляду:

р2 - + к2А = 0

дозволяє визначити нормовані корені СФ через нормовані корені ФП:

р р

2~]

Ч 2 ;

к 2

(6.97)

(6.98)

Підстановка р = у й; р = уй до виразу (6.98) дозволяє встановити зв'язок між нормованими частотами СФ (й) і ФП (й):

уйр

уй

2

±

уйр

2

к2 = уй±±

2 2

2

у

й

±

21

йр

ч 2 у

звідки виходить:

й

2

ч 2 у

(6.99)

У виразі (6.99) знак мінус перед коренем опущено, щоб забезпечити до­датне значення й. На підставі формули (6.94) можна довести, що інтервал р = і 0 к уоо перетворюється відповідно в інтервал р = -у°о... уо. Діапазон

частот ФП 2 йг, межам якого відповідають частоти ± йі, перетворюється у

діапазон йг СФ, тобто удвічі скорочується. Щоб переконатись у цьому, згідно з

виразом (6.99) обчислюють частоту СФ, яка відповідає частоті йг ФП:

й

й 2 + 2 + к2 (6.100)

тоді у відповідність частоті -йг можна поставити частоту

Ці

2

+

2

Отже, частотний інтервал СФ

пі 2   ПЛ _ п

(6.101)

(6.102)

/да   до /да

дійсно вдвічі скоротився. Частотному інтервалу ФП від відповідатиме також удвічі менший частотний інтервал СФ на уявній осі від і 0 до і°о. У перетворенні ~ = і0 на р = і'кА можна переконатись підстановкою С = 0 до виразу (6.100). Отримані співвідношення зведено у табл.6.4.

Таблиця 6.4 - Співвідношення між комплексними нормованими частотами ФП і СФ

 

/00

/ 0

- /п

- І»

р

/00

/П 2

Да

/ 0

Перетворення частотного діапазону ФНЧ-прототипу (ліворуч) у частот­ний діапазон СФ (праворуч) показано на рис.6.15 відповідно до значень, наве­дених у табл.6.4.

Іт ~ Д\

с

СП ФНЧ х

/п

\+/0°

+/да +А

/0

Яе

р

Іт р

,/П 2

>. СП СФ

/0

Рисунок 6.15 - Перетворення частотних діапазонів ФНЧ-СФ

Перетворення частотного діапазону ФП у вдвічі менший частотний діапазон СФ відбувається при збереженні відповідних значень ослаблення за потужністю: АР(Г2г) = АР(Г2г). Таке перетворення частотних характеристик ілюстровано графіками (рис.6.16 для ФБ; рис.6.17 для ФЧ).

Рисунок 6.16 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-СФ для ФБ:

АР (П) -- АР (П)

Властивість, визначена співвідношенням (6.102), відображає принцип збереження довжини частотного інтервалу. Це означає, що ФП з нормованою смугою пропускання Пцц = 0...П гр перетворюється на СФ, який має таку саму

нормовану смугу пропускання.

Дійсно, частоті со гр (Пгр = 1) ФП відповідають частоти   югр2 і югр1 СФ,

нормовані значення яких Пгр2 і Пгр1 визначають за формулами (6.100), (6.101),

відповідно:

пгр2 = 2 V 4 + ' Пгр1 = 2 V 4 + . Нормована СП СФ визначається як Пп = Пгр2 - Пгр1 = 1. Отже, смуга Пп дійсно не змінилася.

0

С051 ©А1

СЮ

ЮА 2

82

п

Рисунок 6.17 - Перетворення частотної характеристики ФНЧ-СФ для ФЧ:

АР (П) — АР (П)

Слід зауважити, що згаданий принцип визначення нормованих частот ви­конується як для ФБ, так і для ФЧ, різним є тільки рівень ослаблення АР гр).

Щоб дослідити ще одну важливу властивість, визначимо добуток нормо­ваних частот (6.100), (6.101) СФ:

п 2п 1=

'П2     ; 2

4

П

- С А

У

4

ю2

П2

1 -*-ґі\

З урахуванням співвідношень (6.95), (6.96) цей добуток набуває вигляду:

00 гр 2   00 грі

2

звідки югр1 югр2 = со0. (6.103)

Рівність (6.103) визначає властивість геометричної симетрії частотної за­лежності АР СФ відносно центральної частоти со0. Справедливими будуть та­кож аналогічні добутки для частот сод12, со^ 2:

(6.104)

Вихідними даними для розрахунку СФ є смуга пропускання Пю, цен­тральна частота со0 та співвідношення, аналогічні нерівностям (6.7):

гАр(шд1) = Ар(шд2) < АА ; (б 105)

причому ю5І<юА1 <сод2 <ю52. З двох значень частоти, об'єднаних рівністю (6.104), як правило, відоме тільки одне. Тому, симетричні частоти обчислюють,

і

йд1

2

cs1 =——), що дозволяє перейти до співвідношень (б.7), складених стосовно

використовуючи умову (б.104), за заданими частотами (наприклад: йд2 =-й°-; й2

ю5 2

ФП для тих самих ослаблень:

р(Сд) < Ад ;

м ю    д (6.106) Ар (со,) > А5,

де відповідні частоти сс ФП визначають з огляду на формулу (6.102):

со д = соЛ2 — соЛ1;

о д     Л2     Л1 (6.107)

Умови (6.106) дозволяють знайти п   — орієнтовний порядок ФБ (див.

формулу (6.26)), а потім і порядок п > п (п — ціле число), а також граничну частоту сгр за формулою (6.29). Для ФЧ, виходячи з умов (6.106), обчислюють

коефіцієнт нерівномірності ослаблення є і порядок фільтра п за формулами (6.66) і (6.67) відповідно.

Щоб визначити ОПФ, необхідно знайти поліном Гурвіца. Спочатку ви­значають нормований поліном V (°). Так, для ФБ згідно з виразом (6.37) запи­сують нормований поліном Гурвіца:

V(P) (° — Рк), к = 1,2,п, (6.108)

к=1

де pk - нормовані корені ФП, які розраховують за формулою (б.Зб):

-sin^—-7z + jcos^—-л;,   к = 1,2, ...,2п. (6.109) 2п 2n

Для ФЧ нормований поліном Гурвіца ФП визначають згідно з виразом (6.78):

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації