Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 93

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

= 2n-1 sft    - Рк), (6.110)

к=1

де рк - нормовані корені ФП (рк = -Ак ± jQк), дійсну та уявну частини

яких обчислюють за формулою (6.76):

Ак = - sin икsh v; к к (6.111)

к

І        Л /V

[ Q k = cos uk ch v.

Значення ик ,V розраховують за формулами (6.71), (6.72), відповідно. До­датне значення Ак забезпечують вибором знака у виразі (6.72).

Перехід від нормованої ОПФ ФП Ни ) = —^ з порядком п до нормо-

V (р)

ваної ОПФ СФ удвічі збільшує порядок. Оскільки нормовані корені рк ФП відомі, ОПФ ФП доцільно представити як добуток ОПФ ланок другого порядку Ни(2) ) для парного п :

Ни ) = ПНи(2)(^). (6.112)

і=1

Якщо п - непарне, слід виділити одну ланку з передатною функцією

першого порядку    Ни\р) = р 1 ~ , ( - нормований дійсний корінь ФП).

р + А

Тоді інші ланки, що увійдуть до добутку, матимуть другий порядок:

п-1

Ни (р) = Ни\р) П Ни(2)(р). (6.113) і=1

У виразі (6.113) ОПФ ФП і -ї ланки другого порядку

Ни(2)(р) =       *     р*Л , (6.114) (Р - Рі )(Р - Рі)

де рі і р* - нормовані комплексно-спряжені корені, а Ну1')(р) - ОПФ

ФП ланки першого порядку з коренем , яка перетворюється згідно з виразом

(6.94) у ОПФ ланки другого порядку СФ з двома комплексно-спряженими ко­ренями (рис.6.18, а).

Перетворення ОПФ і -ої ланки ФП (6.114) до ОПФ СФ доцільно викону­вати для кожного кореня окремо:

і

1

(2) 1

Ни()( Р) = тАг

Р- Рі

X •

Р = Р   + кА      Р - Рі

2   2. (6.115)

Р 2 + к А

РР

Перший добуток у виразі (6.115) перетворюється на передатну функцію з двома комплексними коренями Р1 і Р2 (не комплексно-спряженими), а другий

- на ОПФ з комплексними коренями Р3 і Р4 (також не спряженими), причому пари Р1 і Рз, а також Р2 і Р4 є комплексно-спряженими (рис.6.18, б), тобто Р13 =-А1 + і£ї1; Р24 =-А 2 ± іО. 2. Це дозволяє представити ОПФ СФ у ви­гляді:

Ни (Р) = (Р   РР( Р   Р ) (Р   -   Р ), (6.116)

( Р Р1)(Р Р3) (Р Р2)(Р Р4)

причому знаменник кожного співмножника - поліном другого порядку відносно Р з дійсними додатними коефіцієнтами (6.39) або (6.79). Отже, ланкадругого порядку ФП перетворюється на СФ, порядок якого п = 4. Щоб отрима­ти вираз (6.116), слід безпосередньо від коренів р12 перейти до коренів

Р1, Р4, Р2, Р3 на підставі співвідношення (6.98).

Іт р А

.0

Іт р А

р

і

. і

а

0

О

Яе р

О

Іт р А

і р2

1/

О

Іт р А

р2 -x-

І

0У Яер   2!

О

і і і

б

і

р3

О,

-Аі

! n1.

р4

О

0 Яе р

Оі О2

Рисунок 6.18 - Відповідность між нормованими коренями ФП і СФ: а - дійсний корінь ФП, б - комплексно-спряжені корені ФП

Денормування ОПФ СФ здійснюється з урахуванням виразу (6.95):

ни(Р) = ни(Р)| _р_ . (6.117)

Приклад   6.4.   Визначити   ОПФ   СФ  Чебишова,   якщо   на частоті соА1 = 404,75 10 рад/с ослаблення за потужністю не має перевищувати 0,97 дБ,

а на частоті со52 = 512,68 10 рад/с - бути меншим, ніж 24 дБ. Центральна час-

33

тота СФ становить 424,279 10 рад/с, а смуга пропускання - 40 10 рад/с.

Розв'язання. На підставі властивості геометричної симетрії частотної за­лежності ар (6.104) визначимо частоти соА2 і со51:

ЮА2

С05і = соаі

СОг

СО

5 2

424,2792 -106 " 404,75 -103 424,2792 -106

512,68-103

444,75 -103

рад

351,120-10

3 рад

За принципом збереження довжини частотного інтервалу визначимо час­тоти ССА і СС 5 (рис.6.6, а) фільтра-прототипу:

р     соа2 - соа1 = 444,75 -103 - 404,75 -103 = 40 -103 рад,

СА=

яка дорівнює значенню смуги пропускання СФ, тобто Пю = со А;

с

с

C0S =<»s 2

- Ю s1

512,68•Ю3 -351,12•Ю3 = 161,56•Ю3

рад

Виходячи з виразу (6.49), обчислимо нормовану частоту ФП:

161,56 • 103

юд      40 ■ 103 За формулами (6.66) і (6.67) визначимо s і n :

4,039.

л/100,1Ад -1 = Vl00,b0,97 -1 = 0,500259;

Arch

л/ю0,ы' -1

n>

.   ил/ю0,Ь24 -1

Arch-

0,500259

2,000.

Arch Q s Arch 4,039

Нормовані корені ФП знайдемо за формулою (6.76) для k = 1,2, викори­стовуючи співвідношення (6.71) і (6.72). Якщо k = 1:

І

Д1 =

-sinu1shv;

Q1 = cos u1chv,

де u1

2k -1 -

n2 k=1

-

= 4 ; v

11

Arsh ns

11

Arsh

2 0,5

-0,721818, причому

від'ємний знак v забезпечує від'ємне значення Д1. Отже,

4

За умови k = 2:

Д2 = - sin u2 sh v;

Q2 = cos u2 ch v ,

Д1 =- sin 4 sh(-0,721818) = 0,555893; Q1 = cos - ch(-0,721818) = 0,899454.

де u2

2k -1 -n2

k=2

4

Д 2 =

3-

- siny sh(-0,721818) = 0,555893;

Q2 = cos^ ch(-0,721818) = -0,899454,

тобто ~12 = -Д1 ± jQ = -0,555893 ± j0,899454.

Щоб знайти нормовані корені СФ, попередньо визначимо згідно з виразом

(6.96) коефіцієнт kA

424,26 ■Ю3 .™ . . ---— = 10,6065.   Нормовані корені СФ об-

40 ■Ю3

числимо за формулою (6.98):

p1,2 = f ±

4    kд ;     Р3,4 = 2 \

4 д

Після підстановки числових значень отримаємо: р1 = -0,266168 -/10,16267 = - А1 -/П1; р2 = -0,289725 + /11,062124 = -А2 + /П2;

р3 =-0,266168 + /10,16267 = -Ах+ /Пі ; р4 =-0,289725 -/11,062124 =-А2-/П2, звідки видно, що корені р1, р3 , а також р2, р4 утворюють комплексно-спряжені пари. Нормовану ОПФ СФ четвертого порядку представимо як добу­ток двох ОПФ ланок другого порядку (6.116):

Ни (Р) = Ни(2)(р) Ни22)(р), або спростивши позначення Ни (Р) = Н1( р) Н 2( р). З урахуванням виразу (6.79) запишемо:

р) = р2    А2    П2 ; Н2(р) = р2       Р    А2     П2 , де = ^ = 1.

р + 2А1 р + А2 + П2 р + 2А 2 р + А22 + П2

Підставимо значення дійсних і уявних частин коренів:

Н1( р) = _ 2 .......р ......, _;    р) = р

р2 + 0,532336 р +103,350727 ' р2 + 0,57945 р +122,454527 '

Денормовані  ОПФ  ланок другого порядку  отримаємо  на підставі співвідношення (6.117):

р

Ні( р) р2 + 0,532336^- +103,350727  р2 + 0,532336 П» р +103,350727П

П2     ' Пю

р

Н 2( р)

р2 ■ + 0,57945-Р- +122,454527  р' + 0,57945Пю р +122,454527П

п2   ' пю

Для перевірки отриманих результатів, визначимо частотну залежність ос­лаблення СФ, використовуючи вираз (6.1):

АР (со) = 10ів   2    1 2-,

Н2(со) Н2(со)

22

де Н1 (со) і Н 2 (со) - АКХ ланок другого порядку. Так,

пС со2

Н2(со) = 1( р)|:

р=>   (103,350727П2 -ю2)2 + (0,532336Пю ю)2

2

аналогічно визначається Н2 (со). Графік частотної залежності АР (со) зображено на рис.6.19.

З графіка видно, що значення АР (соА1>2) і АР (со512) задовольняють зада­ним умовам.

АР (ю), дБ 20

10

0,97 ^■■■■■ГІ.„„

\

/

АР(404750) = 0,962 дБ ЛР(512680) = 24,001 дБ

0

3,5

4

4,5

юх105 рад/с

Рисунок 6.19 - Частотна залежність ослаблення СФ порядку п = 4

6.8 Загороджувальні фільтри з симетричними характеристиками

Нормовану ОПФ загороджувального фільтра (ЗФ) можна отримати пере­творенням ОПФ ФП, оберненим виразу (6.94):

р р2

-2, або  уП_-2-2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації