Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 94

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

+ к2А п)2 + к\ (6.118)

де р _ УП_ У

нормована комплексна частота ФП;

р - нормована комплексна частота ЗФ:

р _ уп _ у

Лею (6.119)

Нормування здійснюють відносно смуги затримання Аюз, яка для ФБ ви­значається на рівні 3 дБ, а для ФЧ - на рівні АА. Константа кА у виразі (6.118) становить:

ю0

(6.120)

де ю0 - центральна частота ЗФ. Перетворення (6.118) трансформує нор­мовану частотну характеристику ослаблення ФНЧ у характеристику АР (П),

симетричну відносно центральної частоти ЗФ, із дотриманням принципу збере­ження довжини частотного інтервалу (6.102).

Якщо до ОПФ ФП спочатку застосувати перетворення (6.81) (тобто пере­творити ФНЧ у ФВЧ), а потім використати перетворення (6.94) (ФВЧ-СФ), ви­ходить відповідність (6.118). Така послідовність перетворень (рис.6.20) ілюструє, по-перше, трансформування смуг пропускання і затримання ФП для комплексної змінної р _ уП, П < 0 у відповідні смуги ФВЧ відносно ком­плексної змінної р = -р, р = Уй при збереженні рівності: АРі) = АР(йі).

р Р

Від'ємне значення Й не впливає на перетворення частотної залежності АР, яка

є парною функцією частоти. По-друге, показано перетворення СП і СЗ ФВЧ в інші смуги ЗФ для комплексної змінної р = Уй, Й>0, причому зв'язок ком­плексної змінної р ЗФ з комплексною змінною р ФВЧ встановлюється за формулою (6.94):

р р2 + к Р

Це перетворення також передбачає незмінність значень ослаблення ФВЧ і ЗФ на відповідних частотах:

Ар і) = Ар і). (6.121) Дані про комплексні змінні різних типів фільтрів наведено у табл.6.5.

Іт р +/00 У0

СП ФНЧ ^ СЗ ФНЧ

Іт р

+/™^А \+усо

+Усо

+І4т р

УЙ

X

х

е

X

УЙ

! -У™

Площина р ФНЧ

СП ФВЧ ,, —-X ►

Й

р

-У™ у І-Усо Площина р ФВЧ

СП ЗФ

Й2

Й

СЗ ЗФ

У0

і

СП ЗФ

р

Площина р ЗФ

Рисунок 6.20 - Перетворення частотних діапазонів ФНЧ-ФВЧ і ФВЧ-ЗФ

Таблиця 6.5 - Співвідношення між комплексними нормованими частотами ФП, ФВЧ і ЗФ

ФП

р

У 0

У й

- У™

- Уй

- У 0

ФВЧ

р = 1/р

- У°°

- У й

У 0

У й

У™

ЗФ

р

У 0

Уйі

 

УЙ2

У™

Оскільки перетворення ОПФ ФВЧ у ОПФ ЗФ здійснюється за умови (6.121) на підставі перетворення (6.94), для якого виконується принцип збере­ження довжини частотного інтервалу, смуга пропускання ФВЧ збігається зі смугою затримання ЗФ. Крім того, частотні характеристики ЗФ також мають властивість геометричної симетрії (6.104), притаманну перетворенню (6.94). На рис.6.21 показано трансформацію частотних залежностей АР для ФБ.

Щоб визначити ОПФ ЗФ, слід від вимог до частотних характеристик ос­лаблення ЗФ спочатку перейти до вимог АР ФВЧ, а потім - до ФП (ФНЧ).

Вихідними даними для розрахунку ЗФ є смуга затримання Дсоз, центральна

частота со0 та співвідношення, аналогічні нерівностям (6.7):

ар        ) = ар      2) - А .

Умови (6.122) ЗФ аналогічні умовам (6.105) для СФ, але відрізняються співвідношеннями  між  частотами:   так,  для  ЗФ  виконуються нерівності

З двох значень частоти со^. (соДі), як правило, відоме тільки одне. Тому, виходячи з геометричної симетрії частотної залежності АР (6.104), за заданими

частотми обчислюють симетричні частоти (наприклад: соД2 =——; со^ =——).

Далі від вимог (6.122) переходять до співвідношень щодо ФВЧ для тих самих значень ослаблення:

ГАР (ССД) < АД ;

рК ю    Д (6.123) Ар ) - А

дд2-Юд1; (6124)

де \ ( (6.124)

Для ФБ порядок ФВЧ п - п (п - ціле округлене п*) визначається на підставі формули (6.85) за умови рівностей у системі (6.123):

п* = І8(10<ЦА' -1) -(В(100,1Ад- 1), °да. (6.125)

Оскільки гранична частота ФВЧ, яка визначається на рівні 3 дБ, збігається

із смугою затримання ЗФ, її можна знайти, виходячи з виразу (6.89):

1 1

Дйз = СС   = ССД(100,1Ад - 1)2п* =СС5(100,1А - 1)2п*, (6.126)

де п* - дробове число (6.125).

Ар (О) і

/7У///Л

І

1 1 -

О

й

й

гр

\   \ \ \  \ \

\\\  АР (О)

ч\

У 3 дБ

1^

ДЙ3дБ^,

-Оді і-1!-"» 0 і,

О

О

\

»      ч \ \      \ \

\\Ар (О)    \   \ V

4 4 \______\_

\ \ \

3 дБ

АД

0 0

й

51

О

52

О

гр2

О

гр1

ЙД1^ й§1 Й0^

ЙД 2

О -►

й

Рисунок 6.21 - Перетворення частотних характеристик ослаблення ФНЧ-ФВЧ

і ФВЧ-ЗФ для ФБ

Оскільки порядки ФНЧ і ФВЧ однакові, можна записати ОПФ ФП, вико­ристовуючи вираз (6.38):

Ни ) = n    1 p   , (6.127)

П (Pp- Ppk)

k=1

де нормовані корені ФНЧ Баттерворта рк обчислюють за формулою

(6.109).

Для ФЧ порядок n ФВЧ визначають, виходячи з виразів (6.67), (6.81):

л/ю0ДА -1

Arch

n >-1-, (6.128)

Arch

Q s

де Qs = s— нормована частота ФВЧ, яку розраховують за формулою

СОд

(6.92); частоти бд і 6s - згідно з системою (6.124); коефіцієнт нерівномірності

ослаблення s - за формулою (6.66).

З огляду на збіг порядків ФВЧ і ФП на підставі співвідношення (6.80), ОПФ ФП можна записати у вигляді:

Ни (p)

П ( Pp- Ppk)

k=1

де коефіцієнт кк = ^    (загалом кК може мати довільне значення).

При кК = 1 аналітичний вираз ОПФ ФЧ збігається з (6.127), але для ФЧ нормовані корені  = -Ак + 7к  визначатимуться з урахуванням формул

(6.71) і (6.72) відповідно до співвідношення (6.111).

Перехід від ОПФ ФП (6.127) до нормованої ОПФ ЗФ потребує встанов­лення відповідності між нормованими коренями ФП і ЗФ згідно із співвідношенням (6.118). Розв'язання рівняння (6.118) відносно р дає:

2 2 2       1 2

рр - р + кАр = 0,    або    р - р + кА= 0, звідки:

р

р = ^ ±,/А - ка . (6.129) 2 р \4р

За умови р = іО. для двох комплексно-спряжених значень ~ = і

~ * =- _/О, виходячи з виразу (6.129), можна встановити безпосередній зв'язок

між нормованими частотами ФП О і ЗФ О (опускаючи знак «мінус» перед ко­ренем, що забезпечує додатне значення частоти О):

Q = ±4p +. 2Q \

1   + k2. . (6.130)

4QЯк і у випадку СФ, знайдену нормовану ОПФ ФП Ни (~) (6.127) доцільно представити у вигляді (6.112) для парного п або (6.113), якщо п - непарне. За умови непарного п з функції Ни (~) виділяється НЦ1) (~) - ОПФ ланки першо­го порядку з коренем ~ = , котра перетворюється на нормовану ОПФ ЗФ з двома нулями і полюсами, які відповідно є комплексно-спряженими:

р) = н?Мр)

і

Р 2 + к А

р + І

р 2 + к

р

Р2 + к І

—2     7 2

Р + кі 22

Р2 + кІ2

22

Р2 + кІ2

+ і і р2 + р + і к2А   і(р2 + Ір+ р2 + Ір+ к\

і А

де к = р = . А Ы

ОПФ Ни(2)(/5і -х ланок другого порядку ФП, виділених з функції

(6.112), з коренями 'рі = і ± ]0.і перетворюються у нормовану ОПФ ЗФ чет­вертого порядку.

Якщо  ОПФ однієї ланки другого порядку представити у вигляді

Ни(2)(р)

і

і

р - рі Р - Рі

^* і виконати перетворення для кожного з комплексно-

спряжених коренів окремо, виходять ланки ЗФ з ОПФ другого порядку:

і

Р- Рі

Аналогічно 1

Р2 + к

Р 2 + к А

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації