Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 95

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Рі

Р2 - Р- + к

-кі

Рі

22 Р + кА

(Р - Рі){р - Р2 )

Р 2 +

р 2 + к

Рі Р2

Е_ + к2 1 (р - р3)(р - р4У

Рі

1*1 _ _

де кі = ; кі = ^р*, причому р13 , а також р2 4 утворюють комплексно­сті Р*

спряжені пари подібно перетворенням щодо СФ. Тому достатньо визначати тільки корені р1 і р2, скориставшись формулою (6.129).

З урахуванням зроблених перетворень нормовану ОПФ ланки четвертого порядку ЗФ можна записати у вигляді:

Р

Р

1

Р

На(Р) = Н*(р)^       =  1 ^-^-^±^,(6.131)

"=12+72    ~   (р - р1)(- р3-(Р - р2)(- р4 -

р 2 + 7

1        , ,* 1

\Рі\ Ді +"/

тобто як добуток двох ОПФ ланок другого порядку з двома комплексно-спряженими полюсами і двома комплексно-спряженими нулями. Така форма найбільш прийнятна при каскадній реалізації фільтра.

Враховуючи співвідношення (6.79), знаменник у виразі (6.131) слід пред­ставити у вигляді поліномів відносно р. Денормування ОПФ ЗФ здійснюється

підстановкою (6.119):

Ни (Р) = Ии (р) Р_р_. (6.132)

До з

Приклад 6.5 Визначити ОПФ ЗФ Чебишова за такими вимогами: цен­тральна частота ЗФ  становить   со0 = 424,279 -10 рад/с,  смуга затримання

3 3

Дсо3 = 161,66 -10 рад/с. На частоті со51 = 404,75 -10 рад/с ослаблення за по­тужністю не має бути меншим 24 дБ, на частоті соД2 = 512,74 -10 рад/с - не по­винне перевищувати 0,97 дБ.

Розв'язання. Скориставшись властивістю геометричної симетрії частот­ної залежності АР (6.104), визначимо частоти соД1 і со52:

= 424,2792 Л° = рад сод2     512,74-103 с

«о

ю, 2 = — =

424,2792-106 = 444,75.103 рад

404,75 -103

со51     404,75 -1СГ с

За принципом збереження довжини частотного інтервалу визначимо час­тоти ссд і со5 (6.124) ФВЧ:

ссд = Юд2 - соД1 = 512,74 103 - 351,08 103 = 161,66 103 рад

(сод така ж сама, як і смуга затримання);

Ш = со,2 - со51 = 444,75 103 - 404,75 103 = 40 103

рад

с

со<

За нормованою частотою ФВЧ й5 = —— обчислимо нормовану частоту

сд

ФП: й, = ±= 160,66 "І03 = 4,0415 рад. "   й,      40 ■Ю3 с

За формулами (6.66) і (6.67) розрахуємо є і п ФП: є =

л/і00,1Ад-1 = л/і00,Ь0,97 -1 = 0,500259;

Arch

V1GG1 As -1

n>

.   UV1GG^24 -1

Arch-

G,5GG259

= 1,9992. Нехай n = 2 .

Arch Оs Arch4,G415

Оскільки значення s і n ФП зійшлися з результатами прикладу 6.4, ско­ристаємось отриманими там значеннями нормованих коренів:

~12 =-Д ± jO = -G,555893 ± jG,899454;        = 1,118G35.

На підставі виразу (6.129) обчислимо нормовані корені ЗФ: p1 = -G,21G778 + j2,24152 = -Д1 +jO1; p2 = -G,286428 -j3,G46G15 = -Д2 -jO2;

p3 = -G,21G778 - j2,24152 = -Д1 -jO1; p4 = -G,286428 + j3,G46G15 = -Д2 + jO2 .

Нормована ОПФ ЗФ, виходячи з виразу (6.8G) за умови kR =1 згідно з

формулами (6.131) і (6.79), набуває вигляду:

і p2 + кД p2 + kД

Hu (p)

Щ2 p2 + 2Д1 p + Д2 + O2 p2 + 2Д2 p + Д22 + O

СЮ

Hu (p) = G,894426

2,624514, або після підстановки числових значень p2 + 6,888G76 p2 + 6,888G76

р2 + 0,421556р + 5,068838 р2 + 0,57945р + 9,36215

Денормовану ОПФ ЗФ отримаємо, використовуючи вираз (6.132): За знайденою ОПФ визначимо частотну залежність ослаблення (6.1), яка зображена на рис.6.22.

AP (ю), дБ f

2G

1G

G,97

G

AP(4G475G) = 24,G31 дБ

AP(44475G) = 24,G57 дБ

AP(351G8G) = G,98 дБ AP(51274G) = 1,G53 дБ

4

5

6

coxlG5 рад/с

Рисунок 6.22 - Частотна залежність ЗФ порядку п = 4

Незначні розбіжності Ар із заданими значеннями ослаблення АД обумов­лені недостатньою точністю обчислення коренів, вплив якої помітний, оскільки розрахований порядок фільтра п (1,9992) і прийнятий (2), майже збігаються. Щоб усунути вказані розбіжності, слід розраховувати значення коренів з більшою точністю (як для ФП, так і ЗФ).

6.9 Частотні залежності реактансних функцій

Властивості реактансних функцій, які належать до класу ОВФ - опера-торних вхідних функцій комплексного змінного   р, розглянуті вище у

підрозд.3.8. Всі подальші докази і висновки щодо ОВФ двополюсника 2вх(р) цілком стосуються і операторної вхідної провідності 7вх (р). Раніше було дове­дено (3.82), (3.83), що ОВФ кола з втратами є дробово-раціональною функцією аргумента р, поліноми чисельника і знаменника якої М (р), N(р) - поліноми

Гурвіца, їх корені належать лівій півплощини комплексної площини р. Наслідком зменшення втрат у колі є наближення коренів до осі о. За умови

відсутності втрат (коло з ідеальними реактивними елементами) корені поліномів М (р), N (р) розташовуються на осі о, а самі поліноми вироджу­ються у парну (або непарну) частину полінома Гурвіца V(р) і можуть бути представлені у вигляді:

|М (р) = пр) ± ,-(-р); (6 3)

1N (р) = V (р) + V (-р).

Якщо

(р) = а2кр2к + а2к-1р2ка2к-2р2к-2+ '   + а2р2 + С1р + а0>    к = 1,2,..., п ,

тоді

р) = с2кр     - С2к-1р       + С2к-2 р        +     + а2 р   - а1р + а0.

Після підстановки останнього виразу до системи (6.133) виходить: М (р) = 2сі2к р 2к + 2«2к - 2 р 2к - 2 + • • • + 2«2 р 2 + 2«о,   т = 2к;

(6.134)

|# (р) = 2к-1 р 2к-1 + 2к-3 р 2к-3 + ^ + 1 р,   п = -1. Оскільки коефіцієнти полінома V (р) - дійсні додатні величини, які зале­жать від параметрів кола, такими самими будуть і коефіцієнти поліномів М (р), N (р).

На підставі формули (3.82) реактансну функцію можна подати у вигляді:

2к 2к - 2 2

2вх (р) = С2кр   ^- 2р      -3р (6.135)

Поліноми М (р), N (р) у виразі (6.134) утворені згідно з виразом (6.133) за умови врахування верхніх знаків; якщо взяти нижні - 2вх(р) стане функцією, оберненою (6.135) з т = -1, п = 2к. Ця функція матиме інші вла­стивості, ніж ОПФ (6.135), але вони збігатимуться з властивостями провідності кола, вхідний опір якого дорівнює (6.135). Отже, 2 вх (р) - парно-непарна або

непарно-парна функція, максимальні степені чисельника і знаменника якої відрізняються на одиницю, причому можливе як співвідношення т > п, так і т < п. Ознаками реактансних функцій вважаються їх значення при р » 0 і

р — оо.

Властивості реактансних функцій можна розглянути на прикладі 2вх (р)

(6.135). Це парно-непарна функція із співвідношенням т > п . Корені полінома М (р) позначено «0» у нижньому індексі. Так, за умови додатної уявної частини

р01 = 7'Ю01; р02 = 7Ю02;...; р0-1) = Іс0р0к = Іс0к . (6.136)

Корені (6.136) є нулями реактансної функції 2 вх (р):

Шп      (р) = 0. (6.137)

рр01

Для пари комплексно-спряжених нулів можна записати:

(р - 7'с01)(р +        = р2 - pc2l, тоді поліном М (р) із системи (6.134) матиме вигляд:

М(р) = 2к(р2 - р021)(р2 - р22)...(р2 - р2к). (6.138) Корені полінома N (р) (за умови додатної уявної частоти) позначають:

р1 = М; р2 = У«>2;...; рк-1 = л-1 (6.139)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації