Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 97

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Ь = ЬкЬ;     С = СкС, (6.151) і       Я-     і 1

снорм Яі снорм

Константи кЬ і 1с обумовлюються тільки нормувальними параметрами.

Денормований опір визначають операцією, оберненою співвідношенню (6.150). Формули для визначення денормованих елементів зведені до табл. 6.7.

Таблиця 6.7 - Визначення денормованих елементів

Нормований елемент

R

L

C

Формула денормування

R = R R

L = LkL

C = CkC

Нормувальний коефіцієнт

kL = Ri

норм

kc = І

Ri норм

6.10 Реалізація реактансних функцій за Фостером

Поширеними методами структурної реалізації реактансних функцій є ме­тоди, запропоновані Фостером6 і відомі як перша і друга форми Фостера. Ре­алізацію за першою формою Фостера доцільно розглянути на прикладі опера-торної реактансної функції (6.135), яку відносно нормованої комплексної час­тоти записують у вигляді:

6 Фостер, R.M. Foster - американський вчений, співробітник Лабораторії Бела, запо­чаткував систематичні дослідження синтезу фільтрів у роботі «A reactance theorem», Bell System Techn. J., 3: 259-267, 1924.

_ _2к _ _2к - 2 _ _2 _

С   (р) = а2кр     + а2к-2 р        + - + а2 р   + а0 (6152)

а2к-1р        + а2к - 3 р        +     + а1р

де р = уО = ]-.

норм

Слід зазначити, що коефіцієнти поліномів чисельника М (р) і знаменника N (р) функції (6.152) мають приблизно однаковий порядок. Оскільки у цієї функції т > п (т = , п = -1), можна виділити цілу частину дробу:

~вх (р) = А р + М-^Ір-, (6.153) N (р)

де Аж р - ціла частина, М 1(р) - остача, а N(р) - знаменник функції (6.152), який згідно з виразом (6.141) можна записати у вигляді:

Чр) = а2к-1р(р2 -р12)(р2 22)-(р2 |-1). (6.154)

Правильний дріб М 1(р) у формулі (6.153) з огляду на вираз (6.154) мож-

N (р)

на розкласти на прості дроби і тоді функцію (6.153) представити у вигляді:

(р) = Ахр + Ао + 1^^,   г = 1,2,..., к -1. (6.155)

Цілу частину Ажр ставлять у відповідність нормованому операторному індуктивному опору рЬх, звідки:

4о= Ах;  Асо= Ііш . (6.156)

р ^со р

Індекс «со» має сенс, оскільки наявність коефіцієнта Аж вказує на на-

~ А явність полюса функції 2вх(р) за умови р -*со ( Нгп Аср —» с). Доданок -° у

р^-са р

виразі (6.155) відповідає операторному опору ємності

рС0

отже:

С0 = -|-; Ао = Ііш р2вх(р). (6.157)

Індекс «0» позначає наявність полюса у точці р = 0.

А р

Останній доданок під знаком суми      ; _   (рг = уОг) функції (6.155)

р - р2

можна поставити у відповідність операторному опору ідеального паралельного контуру з елементами Ь2, С2:

рЬ2   = р / С2 р2 Ь2С2 +1 = р2 + О;2,де Qr резонансна   частота   ідеального   паралельного контуру

(П2 =

1

LrCr ).

З останнього рівняння виходить:

~ = Ar; Cr r

Lr =

; Ar

llm

—2 —2 P   — Pr-

P 2

P2

P

Z вх ( P).

(6.158)

Отже, на підставі формули (6.155) реактансній функції 2вх(р) відповідає

схема з послідовним з'єднанням елементів Ьж, С0 і к -1 паралельних контурів

(рис.6.24, а відповідно до варіанта 1, табл.6.6). На рис.6.24, б, в, г наведено схе­ми, які реалізують реактансні функції відповідно до варіантів 2, 3, 4 табл.6.6.

L      І да да I   L І да G І т

CG     L1 Lk-1 CG     L1 Lk

а

в

L1

G да

Lk

L1

G G

Lk

Ck

б

C1

Ck

Рисунок 6.24 - Схемні реалізації за першою формою Фостера

1

г

Схеми реалізації реактансних функцій, отримані за першою формою Фос-тера, мають мінімальну кількість елементів, яка збігається з найбільшим із сте­пенів поліномів M(p), N(p). Ці схеми називають канонічними, оскільки вони

побудовані за певним каноном (правилом). Дивлячись на схему, можна визна­чити ознаки відповідної реактансної функції. Схема реалізує нуль за нульової частоти, якщо до вхідних затискачів увімкнено низку послідовно з' єднаних індуктивностей (опір ідеальних індуктивностей за нульової частоти - нульо­вий). Наявність індуктивності LQO забезпечує полюс за нескінченної частоти

(опір індуктивності - нескінченна величина). Нуль за нескінченної частоти за­безпечує низка послідовно з' єднаних ємностей, які увімкнено між вхідними за­тискачами (опір ідеальної ємності за нескінченної частоти нульовий). Полюс за нульової частоти реалізує елемент CG , завдяки нескінченному опору ємності за

цих умов.

Частотна залежність реактивного опору реактансної функції (6.152) вихо­дить з формули (6.155) за умови р = у'О, з огляду на те, що 2 вх (у'О) = уХвх (О):

X вх (О) = Ло^-^+1

Аг О

О2 -О2

1,2,    к -1.

(6.159)

Графік залежності Хвх(О) відповідно до формули (6.159) показаний на

рис.6.23, а. Графік (рис.6.23, б) відповідає частотній залежності (6.159) за умови А0 = 0; графік (рис.6.23, в) - за умови Аж = 0, а для графіка (рис.6.23, г) мають

виконуватися умови: Аж= 0, А0 = 0.

З графіків видно, що функції Хвх (О) зростають із збільшенням частоти, на частотах паралельних резонансів Ог спостерігається розрив частотних ха­рактеристик від + да (індуктивний характер) до - да (ємнісний характер). Час­тоти нулів ЧХ однозначно визначаються частотами полюсів. На рис.6.25 наве­дено частотну залежність реактивного опору паралельного контуру з резонанс­ною частотою О1 (крива 1) і послідовного контуру, утвореного елементами 7^

і С0, з резонансною частотою О0 (крива 2). Для сумарної частотної залежності складного двополюсника (крива 3) частота паралельного резонансу (частота полюса) не змінилась, але з'явилося два значення частоти, які відповідають послідовним резонансам: О01, О02 (частоти нулів). Функція Хвх(О) має два

полюси (один за нульової частоти) і два нулі, реалізовані чотирма елементами.

Рисунок 6.25 - Частотна залежність реактивного опору

складного двополюсника

Далі розглянуто реалізацію реактансних функцій за другою формою Фос-

тера.

Операторною характеристикою реактивного двополюсника може бути як вхідний опір, так і вхідна провідність, яку аналогічно виразу (6.155) можна представити у вигляді:рь0    г р

г = 1, 2,..., к, або г = 1, 2,..., к -1, (6.160)

-0      г у +

причому верхня межа визначається порядком полінома знаменника ДРФ 7вх (р). Елементи, провідності яких підсумовуються, увімкнено паралельно

вхідним затискачам кола. Елементи Со і Ь0 реалізують полюси за умов р оо і р 0. Під знаком суми у виразі (6.160) записано провідність ідеального

послідовного контуру з резонансною частотою О2г 1

7гСг

(контур реалізує по-

люс на цій частоті). Елементи складного двополюсника визначаються у такий спосіб:

С =

1

Іші ;       = Іші рГвх (Р);

р —да     р ^0     Р —0

Ііт

Ьг   р2 —-о 2

р2 + О

(р); С

1

(6.161)

г О;:7г

На рис.6.26 показані схемні реалізації, які відповідають варіантам 1, 2, 3, 4 (табл.6.6).

а

Ск

7к

7к

б г Рисунок 6.26 - Схемні реалізації за другою формою Фостера

Ск

7к

Ск

7к

Приклад 6.6. Визначити схемну реалізацію нормованого операторного вхідного опору 2вх (р) двополюсника за першою формою Фостера:

2 р 4 + 4 р 2 +1

2 вх ( р )

4 р3 + 2 р

причому функція згідно з табл.6.6 має ознаки оо - оо.

Розв'язання. Порядок полінома чисельника становить т = 4, тобто М(р) - парна функція і не може мати кореня за умови со = 0. Отже, функція

2вх (р) не може мати нуля не нульової частоти і, як наслідок, - матиме полюс.

Порядок полінома знаменника становить п = 3, тобто N(р) - непарна функція і має корінь за умови со = 0, отже, 2вх (р) має полюс за нульової часто­ти (підтвердження першої ознаки). Оскільки т > п, 2вх (р) матиме полюс у нескінченності (підтвердження другої ознаки).

Визначимо полюси 2 вх (р):

1

1

4р3 + = 0; 2р(2р2 +1) = 0; р = у-=; р2 =-]^=; р3 = 0.

42

42

За формулами (6.156) - (6.158) обчислимо:

2р4 + 4р2 +1         ,         (2 р4 + 4р2 + 1)р лс Ііш —--= 0,5;    А0 = Ііш----±--^- = 0,5;

р->°° р(4р + 2р) р^0    р(4р2 + 2)

22

р2 - р12

А1 =   „Ііш    2вх(р)

= Ііш      2 = 0,25.

р2 —-0,5 р        р 2 —-0,5 4 р (р + 0,5) р

Згідно з виразом (6.155) запишемо:

2 р 4 + 4 р 2 +1 р2 + 0,5 +

2 вх (р) = 0,5 р + ^ +

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації