Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 109

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

(8.11а)

рядок

(в(1) \

2' 3'

1

0 0

Ь12/ Ь11

Ь13/ Ь11

1/ь

Ь22 Ь32

Ь21Ь12 Ь31Ь12

Ь22 Ь32

Ь21Ь13

Ьц

Ь31Ь13

ь

1 0 0

2

12

22

3

11

1'

ь (1)

13

ь (1)

23

ь (1)

11'

ь (1)

21'

Ь31'

2

0

ь (1)

22

0

11

Ь21Ь14

Ьц

Ь31Ь14

Ьц

3

0 0

Ь (1)

Ь33

0 1

32 33

Після другого кроку ^[/-розкладання можна записати:

(2))

1

1 0

0 2

Ь (1) 12

1 0

ь33)

3

ь(1)

13

ь(1)

Ь(1)Ь(1) Ь(1)

22

1

Ь11' Ь21'

0 0

01

Ь(1)Ь(1)

Ь(1) _ Ь32 Ь21'

"31'_ ьі1»

22 1 2

1

 

Ь1(32)

ь(2)

0

0

1

ь23»

Ь(2)

ь(2)

22

0

0

ь33»

Ь(2)

ь(2)

32

0

3

0

0

(2)

33 2

0

ь(1)

22

ь(1)ь(1)

32 22

ь(1)

22 3

0 0

Ь(1)

(8.11б)

(8.11в)

Нарешті, за формулою (8.5), поділивши третій рядок на ь32) , знаходять:

1

1 2 3

3

1

2

1

3

1

2

3

[4] )=

о

2

3

1'

b (2)

b(2)

13

b(2)

1

b(2)

b23

b(2)

b24

о

1

 

12

 

3 1'

2'

3'

о

b(2)

22'

о о

32'

1 о о

b(3)

b12

1 о

b[5] b[6]

b13 b11'

2'

о

33 3'

о о

33

b2(33)   b2(31') b2(32)' 1    Ь3з)   b33)   Ьз[7] j

(8.11г)

Матрицю (8.11г) (N = 3) можна скорочено записати так:

(b( n ) )=(4N)|£Ln )),

(8.12)

де (в^) ) - верхньо трикутна; {вім) ) - нижньо трикутна матриці, які пов'язують між собою дію (()) та реакцію (X) у вигляді рівняння:

ІГ) )(Х )=(в^ ) )(0). (8.13) Розв'язок рівняння (8.13) має вигляд:

(X )=() )-1 Г) ). (8.14) /.[/-розкладання називають також методом Краута або Халецького. Обернену матрицю (А) 1 також можна обчислити за методом Гаусса-Жордана, утворивши попередньо прямокутну матрицю ) (8.10) або виконав­ши віднімання також і рядків матриці (1)), які лежать вище ведучого. Резуль­тат має вигляд:

(Б(М) )=(Е\А~1), (8.15) тобто у виразі (8.10) на місці матриці (А) одержують матрицю ), а на місці

одиничної матриці - обернену (А) 1.

8.5 Оцінка точності розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

8.5.1 Норми

Точність розв'язання системи рівнянь (А)(Х )= ((2) оцінюють за вектором нев'язок рівнянь:

а = АХ* - Є, (8.16) де X* - вектор обчислених значень шуканих реакцій х*;

1

1

за і - складові вектора нев'язок, які розраховують за формулою:

а і = і atjxj - Чі,   і = 1,2,..., N . (8.17)

j=1

Вектор нев'язок характеризують числом, яке називають нормою вектора нев'язок:

N -

II а ||s = (І! а,\s)s. (8.18)

і=1

При цьому найчастіше використовують Евклідову[8] норму

II а ||2 = (11 а,-12)2. (8.18а) =1

Використовують також інші норми:

N

||а||1 = (11 а 11), (8.18б)

=1

або || а ||да= max а і ;   1 < і < n. (8.18в)

У випадку обернення матриць коефіцієнтів точність розв'язання задачі аналізу оцінюють за матрицею відхилень:

(D ) = (A)(A)-1 -(E). (8.19) Тоді критерієм точності є одна з матричних норм:

N

|| D ||m = max 11 dj |, (8.19а)

j=1

що дорівнює максимальній сумі модулів елементів рядка, або

N

|| D al = max 11 dy |, (8.19б) =1

що дорівнює максимальній з сум модулів елементів стовпця, або

1

||D*||=

С N N

ІІ|dlj|2

2 (8.19в)

Крім того, аналогічно виразу (8.18), можна ввести ще інші норми. Серед них, аналогічно формулі (8.18в), часто зустрічається норма:

|| D ||да= maxd;   1 < і, j < N . (8.19г)

8.5.2 Зумовленість систем рівнянь рівноваги кола

Результати розв'язання систем лінійних рівнянь можуть мати великі по­хибки або бути повністю хибними і в тому випадку, коли норми векторів нев'язок або матриці відхилень близькі до нуля. Це свідчить про те, що при об­численнях з обмеженою розрядністю операндів (самих таких норм) ці норми сходяться не в тій точці метричного простору, що відповідає точному розв'язку, а в деякій іншій.

Особливість рівнянь з такими властивостями полягає в тому, що малі відхилення параметрів, тобто коефіцієнтів матриці (А), або дій, призводять до значних змін реакцій. Це характерно для електронних кіл, які близькі до режи­му самозбудження. Визначник матриці (А) таких систем рівноваги прямує до нуля. Але обчислення визначника, наприклад методом Гаусса (8.7), є досить складною процедурою, до того ж обчислюваною з такими самими похибками, що й розв'язок (реакція). Тому для перевірки зумовленості системи рівнянь вводять числа зумовленості. Ці числа зумовленості сопй8А (різні для різних я

у виразі (8.18)) розраховують за формулою:

согкї8А = || А ||5 || А 1 ||5, (8.20)

норма вихідної матриці (А); || А 11|5 - така сама

III

V і=1 ґ

норма, але для оберненої матриці.

При точному розв'язання системи рівнянь (наприклад, у символьному ви­гляді або у звичайних дробах) число зумовленості тотожне одиниці. При обме­женій розрядності операндів за рахунок методичної та операційної похибок число зумовленості зростає. Чим більше сопй5А, тим гірша зумовленість сис­теми рівнянь і тим більша похибка обчислень.

Причиною поганої зумовленості системи рівнянь (при фіксованій роз­рядності операндів для чисел з плаваючою комою) є великий порядок (N > 1000) матриці  (А), тобто велика кількість арифметичних операцій

3 9

(N > 10 ) з обмеженою розрядністю операндів, для яких точно не виконуються основні закони арифметики.

Іншою причиною є близькість стану електронного кола до самозбудження (при цьому, як відомо, визначник матриці коефіцієнтів прямує до нуля).

Нарешті, якщо коефіцієнти матриці (А) мають великий розкид своїх значень, це теж призводить до поганої зумовленості системи рівнянь рівноваги.

Для ілюстрації згаданих причин доцільно розглянути декілька прикладів.

Приклад 8.1. Розв'язати систему рівнянь:

і

г 3,1 -і050   - 2,1 -10-49 Л 2 -1050    -1,5 -10-49

 

Х1

 

( 14 ^

X

)

 

=

 

 

1Х2 )

 

 

Розв'язання. Вибираючи ведучим перший рядок, за методом Гаусса одержимо:

х* = 4,516129-10-50;     х* = 4,93544838-1050. У той же час точні значення х1, х2 становлять:

х1 = 3,5 -10-48;   х2 = 5,1 -1051.

Отже, помилка при обчисленнях з обмеженою розрядністю (т = 8) сягає декількох порядків. Це зумовлено тим, що на першому кроці алгоритму Гаусса одержуємо:

х1 = 4,516129 -10-50 2,1 -10

-49

3,1 -10

50 х2

-49

А2,1 -10-49

ч1,5 -10"

 

х2

 

Г-14 ]

X

 

=

 

)

1 х1)

 

V 65 )

і величина 2,1 ^    = 0 при обчисленні з обмеженою розрядністю („машинний 3,1 -1050

нуль").

Якщо тепер в системі змінити порядок обчислень:

- 3,1 -105(Г

-49     - 2 .1050

одержимо практично точний розв'язок:

х* = 3,5000018 -10-48;   х* = 5,0999997 -1051,

бо при розв'язанні такої системи майже відсутні „машинні нескінченності".

Цей приклад ілюструє вплив великого розкиду значень коефіцієнтів мат­риці (А) на зумовленість системи. Такий вплив часто (але не завжди) можна зменшити нормуванням.

Використаємо заміну змінної:

тоді х1 = Зс1 -10-50;   х2 = х2 -1049, а система рівнянь набуває вигляду:

1

2

За методом Гаусса одержимо:

~1 = 350;   ~2 = 5,0999996 -102,

звідки х1 = 3,5 -10-48; х2 = 5,0999996 -1051, тобто знову ж таки практично точ­ний результат.

Приклад 8.2. Розв'язати систему рівнянь

1

Г 3,1

2

 

~1

 

( 14 ^

 

12

-1,5 )

X

V х2 )

=

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

1

 

- 3

- 2 ]

 

х1

 

Г 2 ]

2

- 3

7 + а

- а

X

 

=

8

3

V- 2

- а

8+а)

 

V х3)

 

V 5 )

(8.21)

Розв'язання. Якщо й —»<х> (включення й до системи рівнянь часто є наслідком нераціонального формулювання задачі аналізу), тоді й + 7 й;   й + 8 й. При цьому х2 х3, а визначник системи

Вй = 6(7 + й )(8 + й) - 12й - 9(8 + й) - 4(7 + й) - 6й2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації