Т В Орєхова, А Я Турчина - Диференціація наслідків глобальної економічної кризи для окремих світових товарних ринків - страница 67

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119 

Рис. 1. График плотности нормального распределения вероятностей

В параграфе 10.2 учебного пособия [3] было доказано, что = а . Поэтому будем полагать . о. первый параметр

нормального распределения а зафиксирован и осталось определиться с с .

Учтём, что вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в заданный интервал вычисляется интегралом

Р{| St  ^ <А} = 7 /(5,

S

который определяет площадь под кривой плотности (рис. 1). Понятно, что

Среди свойств нормального распределения (параграф 5.1 [3]) имеется следующее

•С-1.

—СО

ф 5.1 [3]) имеется сл

Р{| St ^ <А} = 2ФІ

где

Ф (5 ):

1 5

х2/2

2 -1

- интегральная функция Лапласа. Для этой функции имеются подробные таблицы.

st — s

Итак, мы хотим, чтобы дневной спрос незначительно отличался от среднего показателя. На практике часто рассматривают событие < — , т.е. абсолютное отклонение не превзойдёт среднюю квадратическую характеристику. Оценим вероятность:

Р{St ^ < о} = 2Ф\ \ = 2Ф(1) « 0,6826.

Следовательно, абсолютное отклонение область под кривой плотности.

st—s

может превысить в 31,74% случаев. На рис. 2 - это не заштрихованная

Рис. 2. Площадь не заштрихованной области 0,3174

Потеря такого количества случаев для нас не приемлема. Надо стремиться к тому, чтобы . Поэтому

вспомним правило «трёх сигм», изложенное в параграфе 5.1 учебного пособия [3]. Действительно, для нормального распределения выполняется:

Р{|^ S < 3—} = 2Ф ^—J = 2Ф(3) « 0,9974.

Такое событие является практически достоверным, т.к. противоположное событие наступает в 0,26% случаев. Этого нам и хотелось

Для того, чтобы дневные объёмы поставок потребителям St практически утратили случайный характер, будем считать, что St П N(S, —в (S) / 3) . В этом случае, оценивая вероятность важного с практической точки зрения события, получим:

бы.

( в ^) ^ —в ^ )/3

2Ф(3) «1.

Чтобы показать преимущество построенного автором нормального распределения N(£, С в (£) / 3) перед распределением N , С в )) , которое часто используют в учебной и научной литературе, приведём рис. 3. Более высокая кривая плотности соответствует N , Св ) / 3), более низкая - N , С в )) .

Рис. 3. Сопоставление двух нормальных распределений

Первая поставленная нами задача выполнена. Автор показал, что нормальное распределение вероятностей с параметрами а = £ и С = С в (£) / 3 адекватно описывает поведение величины дневного спроса £ .

Приступим к решению второй задачи. Эта задача представляет собой задачу нахождения оптимального управления - объёма пополнения дневного запаса И{ . При этом ожидаемые полные издержки склада должны быть минимальными, т.е.

Мф( х(-1, И(, £ ) гшп.

Решение этой задачи известно. Например, оно подробно изложено в гл. 8 учебного пособия [4]. Однако для построенной модели поведения £ такая методика ещё не применялась.

Введём обозначение для запаса товара на начало ^ -го дня: 5 = Х{ 1 + И{. Оптимальное значение этого показателя определяется из равенства:

Р (50)

к

с + к

Левая часть равенства - значение функции распределения. Правая часть является характеристикой единицы товара за один день. Как видно, речь идёт об отношении   величины компенсации к за недопоставку к суммарной величине стоимости хранения С и

компенсации к .

В силу того, что

то эта дробь может играть роль вероятности:

0 < с + к

< 1,

Р(St < 50):

с + к

Напомним, что событие £{ < означает, что дневной спрос £{ на товар будет меньше, чем оптимальный объём запаса на складе 5о . Как раз такая ситуация нас устраивает.

Автор показал, что функция распределения Р (^) близка к нормальной функции распределения N , С в ) / 3) . Согласно свойству нормального распределения (см. параграф 5.1 учебного пособия [3]) получим:

к

Откуда имеем:

Ф

Ф

'   50 S >

—в (s)/3

1

50 S

—в (s)/3

2   с + к

с + к 1

В таблицах функции Лапласа по значению функции---определяем аргумент 2  (на рис. 4 приведена графическая

с + к 2

интерпретация). Из уравнения

5„ - £    = 2

ов (£)/3

находим оптимальный объём запаса

2 ■ап

0.6;

(£)+

з .

0.4; 0.2;

 

 

1—і—і—і—і—|—і—і—і—і—|—і—і—і—і—|—і—і—■ .-. *

4       -3       -2       -1 7 -0.4;

1   г    2       3 4

-0.6:

 

Рис. 4. Определение аргумента функции Лапласа

Зная запас товара Х{ і  на конец 1) -го дня, определяем для следующего ї -го дня опт имальный объём пополнения дневного запаса:

^ (0) I 5о Хї1,    Хї1 < 50 ;

'        |0, Х1 ^ V

Применим разработанные методы в конкретных условиях. Например, завод в соответствии с договором реализует со склада

холодильники. Имеется долгосрочная статистика объёмов поставок, по которой оценены выборочное среднее шт. и выборочное

среднее квадратическое отклонение <УВ (£) — 15 шт. Средние издержки хранения одного холодильника в день составляют С — 6 грн.,

а штраф за недопоставку одного холодильника в день равен к — 14 грн. На конец текущего дня запас составляет в среднем Х{1 — 4

шт. Требуется определить оптимальный объём пополнения запаса холодильников И(( ) и минимальные ожидаемые полные издержки

М(р( Х(1, \, £).

С помощью приложений учебного пособия [3] по значению функции Лапласа

к     114    .1 — 0,7 — 0,5 — 0,2

с + к   2   6 +14 2

определяем аргумент 1 = 0,53 . Вычисляем оптимальный объём запаса:

1 -сгн(£) + 3£   0,53-15 + 3• 50   г„ гс 50 =-^-= —-= 52,65.

0 3 3

Округлив до целого числа, получим ^0 =53 шт.

Т.к. Х( 1 < ^0 , то оптимальный объём пополнения дневного запаса:

И((0) = 50 - х-1 = 53 - 4 = 49 (шт.).

С учётом того, что

М<р( х-1, к{, £) = р( Х-!, и{ (0), £),

оценим минимальные ожидаемые полные издержки:

Мср(хм, И,, £) = ср(4,49,50) = тах{6(4 + 49 - 50); -14(4 + 49 - 50)} = 18 (грн.).

Зaмeтим, что       ---< 0 следует пользоваться нeчётнoстью функции Лапласа: Ф І - y і _ -Ф і . В этом слyчae

с + к 2

окажется, что Z < 0 . Поэтому будет выполняться нepaвeнствo So < S отличиє от нpимepa с холодильниками, когда So _ 53, a

5 _ 50). Зaмeтим также, что издepжки A/f(p(Xt і, ht, St) _ 18 ірн. oбpaзoвaлись, т.к. З холодильника (So - S _ 3 ) остались на склaдe. По условию сpeдниe издepжки xpaнeния одного холодильника в дєнь составляют С _ б  ^н. Поэтому о6щиє и^^жки

6 3 _ 18 Tpr Если жє 5o < S , то      - S < 0 и число -(so - S) - это количєство нeдoпoстaвлeнныx холодильников. Поэтому

минимальным oжидaeмыe полные издepжки oбpaзyются за счёт д^афных санкций, т.є. ЬА(р(Xt і, ht, St) _-к(So - S) .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119 


Похожие статьи

Т В Орєхова, А Я Турчина - Диференціація наслідків глобальної економічної кризи для окремих світових товарних ринків