Л С Ляхова - Ефективність раціонального використання та відтворення рекреаційно-туристичних територій - страница 66

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106 

Нехай у гравця,4 є я можливих чистих стратегій А\= t^L'J ї, (і=1, 2,      п), і у супротивника - я можливих стратегій

Bj = {^L* шш.,Вп } (j=l, 2, ...,n)(rpan" п). У результаті вибору будь-якої пари стратегій А\ і В] однозначно визначається результат гри, тобто виграш рц гравця А (позитивний чи негативний) і прогриш (-рц) гравця В. Матриця М = ц), (i=1, 2, n), (j=1, 2, n), елементами якої є виграші, що відповідають стратегіям Ai і Bj, що має у теорії ігор назву платіжної матриці чи матриці гри, представлена у таблиці 1.

Обираючи стратегію, гравець А прагне отримати якомога більше (отримати максимальний прибуток), але має розраховувати на найгірше поводження гравця В. Трансформузмо табл. 1, записав у правому додатковому столбці мінімальне значення виграшу у кожномурядку (мінімум рядка); позначив його для г-го рядка через а; (табл. 2). Далі, поводжуючись обережно, обираючи стратегію, якій відповідає найбільше значення а; зі всіх значень у правому стовбці, отримуємо стратегію, завдяки якій гравець А менше, ніж це значення прибутку (а), отримати не зможе - гарантований виграш (нижня ціна гри - максимін (максимальне з мінімальних виграшей)).

Таблиця 1

 

Bj

B2

 

Bn

А,

pJJ

pJ2

 

Pjn

 

p2J

p22

 

P2n

 

 

 

 

 

 

PnJ

Pn2

 

pnn

З іншого боку гравець В, обираючи стратегію, прагне віддати якомога менше (мінімізувати ризик), але повинен розраховувати на найгірше поводження гравця А. Додав до табл.1 додатковий рядок, запишемо у ньому максимальні значення у кожному стовбці, позначив його для у-го стовбця через р\ Зрозуміло, що обережний супротивник обираючи ту стратегію, якій відповідає найменше значення р зі всіх значень у нижньому рядку, отримує стратегію, відповідно до якої гравцю В більше, ніж на цей рівень ризику (р) йти не доведеться -гарантований виграш гравця В. Це значення р має назву верхньої ціни гри (або мінімаксу - мінімального з максимальних виграшей). Таким чином, виходячи з принципу обережності (перестрахувального правила «завжди розраховуй на найгірше!» [6, с.180]), гравець А має обрати стратегію з нижньою ціною гри, а гравець В - стратегію з верхньої ціною гри. Ці стратегію будуть «мінімаксними». Відповідно оптимальною стратегією задачі буде урівноважена пара мінімаксних стратегій, тобто ситуація, коли в задачі є сідлова точка (а=р).

У даній задачі матимуть сенс лише ситуації, при яких обидва гравці вибирають однакові стратегії, що відображається у виборі певного НПФ чи напрямку інвестування коштів КУА (оскільки обидва гравці - дві сторони діяльності одного той самого суб'єкта), а всі інші ситуації не будуть реальними і не матимуть змісту, оскільки різні стратегії не можуть бути обрані, що відображають нулі поза головною діагоналлю трансформованої матриці, яка здобуває наступний вигляд (табл. 2).

Таблиця 2

 

Bj

B2

 

Bn

 

А,

pJJ

о

 

о

о

 

о

 

 

о

о

 

 

 

 

 

 

АП

о

о

 

 

о

 

pJJ

p22

 

 

 

Використовуючи принципи максиміна (максимального виграшу з мінімальних) і мінимакса (мінімального з максимальних) маємо, що нижня та верхня ціна гри відповідно дорівнюють:

(1)і (2) Таким чином, у задачі відсутня сідлова точка (а^р), (урівноважена пара стратегій), а отже, відсутня оптимальна чиста стратегія, і задача не може бути розв'язана і в . :тратегія> . (ержати оптимальне

рішення, випадковим образом чергу:   а_ ПІЯХ ҐШП ру—б туацію р   р= гпШ П1ЯХ рр>(X тратегіях [6, с. 180],

яка може бути знайдена шляхом звед І=1,Па=1,П вання. ]=1,ПІ=1,П

Змішаною стратегією БА гравця А на _ _    егій Ад А2 ,...а п із відповідними вірогідностями     к2   к„ (пропорції

вкладення коштів у різні НПФ, напрямки інвестування тощо), при цьому г=

&п / ад0 у вигляді строки 5^= {^І*       ■■■» З

Аналогічно змішані стратегії гравця В приймуть вид:

5В = £А "

. Змішані стратегії гравця А записуються у виді матриці:

[3, с. І80]

или SB= fciL' Ча-—Чп }, [3, с. 180]

де qJt q2- _ q„- вірогідності застосування гравцем В стратегій В1, В2,..., Вп.

Відповідно до основної теореми теорії ігор [7, с. 184], будь-яка кінцева гра двох осіб рішення - пару оптимальних стратегій (), у загальному випадку змішаних, і відповідну ціну гри . Оскільки задачею гравця А є максимізація прибутковості, то вона матиме наступний вигляд:

(3)

(4)

з нульовою сумою має, принаймні, одне

Р22Х кі>

Р х к >

к > о,

Цільова функція матиме вигляд: і=і > тах і=1,2,.. .,п.

Розділимо нерівності на позитивну величину Ропт і введемо заміну: (7) Тоді система нерівностей прийме новий вигляд:

(5)

(б)

(8)

Рііх х, >1,

Р22Х Х2>1,

РппХ Хп>1 X, > 0,

Оскільки Ропт - це не що інше як гарантований виграш гравця А, який необхідно зробити максимальним, то виходить, величину 1/Ропт - мінімальною. Отже, задача розв'язування гри звелася до математичної задачі: знайти такі ненегативні значення перемінних х2- .., хп які б задовольняли обмеженням-нерівностям і перетворювали в мінімум цільову функцію:

Ь (%і) = Хі+х2+... +х„—> тіп или !-і (9) Таким чином, остаточний вигляд математичної моделі задачі буде наступним:

Lfct) = У л"і тіп сі

х, > 0, і=і,2.....n.

}

З моделі видно, що отримана цільова функція досягає мінімуму у випадку, якщо кожне обмеження виконується як точна рівність: 1

Ріі X ДГ; = 1

.,71.

Отже, можна знайти оптимальне значення цільової функції:

(її)

При цьому матричний вигляд системи рівнянь і=1

РхХ=1

(12)

Х= Р_1

матиме наступний вигляд:

(І3)

А рішення матричного рівняння матиме вигляд: Повертаючи до вихідних перемінних, отримуємо: , (14) та (15)

Аналогічно розглянутої ситуації, у випадку, якщо пріоритетним критерієм при ухваленні управлінського рішення є мінімізація ризику, то пропорції вкладання коштів у різні проекти можна знайти в результаті аналогічного розв'язування наступної задачі лінійного програмування:

r11x q1 <

де іопт - ціна гри.

Г22Х q2<, rnnX qn<

qi > о, i=1,2,...,n

Цільова функція буде мати вигляд: Розділимо нерівності на позитивну величину

Rom, 1 BI      Z_J П L

(is)

У результаті чого система отримає новий ви

qnx Уі і, q22x y2 1,

ЧппХУп— і

y, > о, i=1,2,...,n

Уі =

У даному контексті, Яопт - це гарантований виграш, який необхідно зробити мінімальним, отже, величину 1/Яош1- максимальною. Таким чином, задача рішення гри звелася до математичної задачі: знайти такі ненегативні значення змінних у2- .., уп які б задовольняли обмеженням-нерівностям і перетворювали в максимум цільову функцію:

^Уп^-таки

Т (Уі) = У1+У2+— +Ун—> max или i=L (20) Таким чином, остаточний вид математичної моделі задачі буде наступний:

ПуСі

:

у, > о.

1,2.....п

Маємо, що отримана цільова функція досягає максимуму у випадку, якщо кожне обмеження виконується як точна рівність:

1

Пі* У і = 1 - Уі = —>*•/= !'2.....п-

Звідси знаходимо оптимальне значення цільової функції:

(23)

(22)

При цьому матричний вигляд системи рівнянь і? X У = 1

бути мати наступний вигляд:

(24)

(25)

А рішення матричного рівняння матиме вигляд: Повертаючи до вихідних перемінних, маємо: , (26) та (27)

Таким чином, ми одержали пару задач лінійного програмування, завдяки якій знаходяться оптимальні стратегії (), що по суті є парою двоїстих задач лінійного програмування (оскільки доведено, що максимум лінійної функції в одній з них дорівнює мінімуму лінійної функції в іншій).

Повернемося тепер до прикладу на початку статті і знайдемо оптимальні стратегії (). Рішення задачі звелося до рішення двох двоїстих задач лінійного програмування. Розглянемо спочатку задачу максимізації прибутковості з урахуванням фактора ризику. Для цього позначимо співвідношення інвестування пенсійних коштів у різні інвестиційні напрямки перемінними р1, р2, р3, р4, р5. Використовуючи формули 5- 6, 8-10, запишемо математичну модель задачі (формули 28-29).

Рішеннями системи нерівностей є (відповідно до формули 7): х ==1/0,3-3,333; х==Т/0,4=2,5; х==1/0,6-1,667; х,=Т/0,7-1,429; х==1/0,8=1,25'

Ь

Р (кі) — тах

0,3* к1 >

0,4* к2>

0,6* к3>

0,7* к4>

0,8* к5>

к,> 0, і=1,2,...,5 ь

1> = 1

піт

0,3* у1 >1,

(31   0,4* уі>1,

0,6* у3>1,

0,7* у4>1, у

0,8* у5>1

у,> 0, і=1,2,...,5

(29)

Відповідно ЬоШІ= 3,333+2,5+1,667+1,429+1,25=10,179 (формула 11). Тоді Р<,„==1/10,179-0,98 (формула 12). Виходячи з отриманих даних, коефіцієнти, що розраховуються з метою інвестування пенсійних коштів будуть дорівнювати (формула 13): ^=3,333x0,098-0,327; к2=2,5х0,098~0,245; кз=1,667х0,098-0,163; к„=1,429х0,098-0,14; к5=1,25х0,098-0,123. Таким чином, сукупна прибутковість інвестування пенсійних коштів (формула 6) становитиме Р(кі)=0,3х0,327+0,4х0,245+0,6х0,163+0,7х0,14+ +0,8x0,123 = 0,4903-0,49 (49%) при коефіцієнті ризику І?(кі)=0,1х0,327+ +0,2х0,245+0,5х0,163+0,6х0,14+0,7х0,123=0,3333-0,33 (33%).

Вирішуючи зворотню задачу на мінімізацію ризику з урахуванням фактору прибутковості вкладень, позначаємо співвідношення інвестування пенсійних коштів у різні інвестиційні напрямки перемінними д1, д2, д3, д4, д5 (формули 15-16; 8-20). Відповідна математична модель задачі буде виглядати наступним чином (формули 30-31).

Рішеннями системи нерівностей цієї задачі є (формула 17) _к==1/0,1=10; у2=1/0,2=5; у3=1/0,5=2; у ==1/0,6-1,667; _у==1/0,7-1,429і

Відповідно Г<,„==10+5+2+1,667+ +1,429=20,096 (формула 23). Тоді і?о„==1/20,096-0,05 (формула 26). Виходячи з отриманих даних, шукані коефіцієнти інвестування пенсійних коштів будуть дорівнювати (формула 27): д1=10х0,05=0,5; д2=5х0,05=0,25; д3=2х0,05=0,1; д4=1,667х0,05-0,083; д5=1,429х0,05-0,071.

Я ^) — тіп

0,1* д1 < 0,2* д2<

0,5* д2<, 0,6* д2<, 0,7* д2<,

д,> 0, і=1,2,...,5

5

тах і. і

; = 3

(30)

0,1* у1 <1,

0,2* у2<1, 0,5* у2<1, 0,6* у2<1, 0,7* у2<1,

у,> 0, і=1,2,...,5 я

V 1

(31)

Таким чином, сукупний показник ризику інвестування пенсійних коштів (формула 1б) становитиме ^(^==0,1x0,5+0,2x0,25+0,5x0,1+0,6x0,083+0,7x0,071=0,2495-0,25 (25%) при коэффициенте доходности

,^=0,3x0,5+0,4x0,25+0,6x0,1+0,7x0,083+ +0,8x0,071=0,4249-0,42 (42%).

Отримані в результаті розв'язання обох задач невеликі розбіжності в результатах розрахунків можна пояснити погрішністю у зв' язку з округленням у розрахунках, а також тим, що існуюча залежність між прибутковістю і ризиком, хоча і є прямо пропорційною, однак не є абсолютно лінійною. Загальні тенденції вкладання коштів у наявні проекти все ж таки мають місце бути, адже в обох випадках найбільші вкладення здійснюються в перший, самий надійний проект з мінімальним коефіцієнтом ризику. Перший варіант рішення містить у собі більш ліберальний інвестиційний пакет HПФ, другий - консервативний пакет. І той, і інший мають місце бути. Вибір того чи іншого варіанта розрахунків може залежати від того, який з критеріїв (прибутковість чи надійність) суб'єкт HПC вважає для себе пріоритетним. У цілому, отримані числові значення доцільно розглядати як нижню і верхню границі пропорцій, що визначають вкладання коштів у різні проекти, тобто при інвестуванні коштів у державні цінні папери в рамках [0,327; 0,5]; об'єкти нерухомості - [0,245; 0,25]; довгострокові депозити в банках - [0,1; 0,1б3]; облігації підприємств, емітентами яких є резиденти України - [0,083; 0,14] та акції українських емітентів -[0,071; 0,123]. Отже, рішенням задачі можна вважати безліч рішень , (32)

де ={0,327; 0,245; 0,163; 0,14; 0,123}   ={0,5; 0,25; 0,1; 0,083; 0,071}.

З метою нівелювання погрішності у розрахунках в якості консенсусного рішення доцільно використовувати середньоарифметичний показник. Так, частка державних цінних паперів в інвестиційному пакеті HПФ буде становити (0,327+0,5)/2=0,4135-0,41 (41% пенсійних коштів), об'єктів нерухомості - (0,245+0,25)/2=0,2475-0,25 (25% пенсійних коштів), довгострокових депозитів у банках - (0,1 +0,1б3)/2=0,1315—0,13 (13% пенсійних коштів), облігацій підприємств, емітентами яких є резиденти України - (0,083+0,14)/2=0,1115—0,11 (11% пенсійних коштів), акції українських емітентів - (0,071+0,123)/2=0,097-0,1 (10% пенсійних коштів).

Таким чином, остаточна формула для вибору ефективної інвестиційної стратегії суб'єктом HПC прийме вигляд: , (33),     тобто (34)

Висновки. Таким чином, у ході побудови математичної моделі вибору ефективної інвестиційної стратегії суб'єктом HПC була доведена прямо пропорційна залежність між прибутковістю обраного проекту інвестування коштів і ризиком останнього. З метою досягнення найбільшої ефективності капіталовкладень інвестування коштів суб'єктам HПC доцільно диверсифіковувати за декілька напрямами зворотно пропорційно їх прибутковості.

РЕЗЮМЕ

Cтaттю присвячено проблемі вибору ефективної інвестиційної політики суб'єктами HПC. Розглянуто принципи побудови моделі ефективного інвестиційного портфеля на основі використання теорії ігор і статистичних рішень. Доведено присутність прямо пропорційного зв'язку між показниками прибутковості та ризику пенсійних вкладень.

Ключові слова: недержавне пенсійне страхування (HTIC), недержавний пенсійний фонд ^ПФ), інвестиційний портфель, ефективна

інвестиційна стратегія.

РЕЗЮМЕ

Отатья посвящена проблеме выбора эффективной инвестиционной политики субъектами HПC. Рассмотрены принципы построения математической модели эффективного инвестиционного портфеля на основе использования теории игр и статистических решений. Доказано наличие прямо пропорциональной связи между показателями доходности и риска пенсионных вложений.

Ключевые слова: негосударственное пенсионное страхование (HTIC), негосударственный пенсионный фонд ^ПФ), инвестиционный

портфель, эффективная инвестиционная стратегия.

SUMMARY

The Article is devoted to a problem of a choice of effective investment politics by the subjects HПC. The principles of construction of mathematical model of an effective investment portofolio are considered on the basis of use of the theory of games and statistical decisions. The presence of directly proportional communication(connection) between parameters profit and risk of pension investments is proved. Keywords: Not state pension insurance (NPI), not state pension fund (NPF), investment portofolio, effective investment strategy.

СПИСОК ДЖЕРЕЛ:

1. Caвченко Я. Рынок HПФ в посткризисный период / Я. Caвченко // Вестник Пенсионного фонда Украины. - 2010. - №9. - C.32-33.

2. Підсумки розвитку недержавного пенсійного забезпечення у 200б-2010 роках [Електронний ресурс] - Режим доступу: http://www.dfp.gov.ua.

3. Maчыхин В.И. Финансовая математика: учеб. пособие для вузов / В.И. Maчыхин. - M.: Юнши-Дана, 1999. - 247 с.

4. Орлова И. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчётов в среде Excel. Практикум: учеб. пособие для вузов / И. Орлова. - M.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. - 13б с.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106 


Похожие статьи

Л С Ляхова - Ефективність раціонального використання та відтворення рекреаційно-туристичних територій