Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

3. Нелінійні коефіцієнти диференціального рівняння залежать від того, який аналітичний вигляд мають характеристики нелінійних елементів.

2.9.4 Нелінійні резистивні кола постійного струму

Принципи аналізу стаціонарного режиму нелінійного кола постійного струму доцільно розглянути на прикладі простих схем з послідовним (рис.2.41, а) та паралельним (рис.2.41, б) з'єднанням нелінійних опорів.

а

і0

и0

и1

и2

и0

б

Рисунок 2.41 - Нелінійні резистивні кола

Напруги та струми позначено в даному підрозділі малими літерами, оскільки цей матеріал справедливий не тільки для постійного струму, але й для миттєвих значень змінного струму.

Нехай відомо значення ЕРС е та ВАХ нелінійних опорів (рис.2.42, а):

і = ф1(и); (2.62) і = Ф2). (2.63) Рівняння кола за другим законом Кірхгофа можна записати у вигляді:

е = и1 + и2 (2.64)

аб° е = Р1(і0)і0 + R2(i0)i0,

де ^>1(і0), ^2(і0) - статичні опори елементів, які є функціями струму і0. З останнього рівняння виходить

і0

(2.65)

Я1О0) + Я2О0)'

Визначення струму за формулою (2.65), яка фактично є законом Ома, ускладнене тим, що опори Я1(і0) та Я2(і0) є функціями струму, і задача зво­диться до розв'язання нелінійного диференціального рівняння. Крім того, як правило, точні аналітичні вирази ВАХ нелінійних опорів невідомі, а тільки ап-роксимуються з деякою точністю.

е

еа б Рисунок 2.42 - Графічний розрахунок кола послідовно з'єднаних нелінійних опорів

Якщо ВАХ елементів задано графічно (рис.2.42, а), режим кола розрахо­вують у такий спосіб. Обидві характеристики будують в одній системі коорди­нат (і, и), але для однієї ВАХ і = ф1(и) початком координат є точка 0 і напругу

відкладають вправо від цієї точки. Для іншої ВАХ і = ф2) початком коорди­нат є точка 0' осі абсцис, де и = е, і значення напруг відкладають вліво від цієї точки (рис.2.42, б). Криві перетинаються в точці т, яка і визначає режим кола. Дійсно, в цій точці струм і0, спільний для двох опорів, задовольняє

рівнянням (2.62) і (2.63), а напруги и:(і0) та и2(і0) - рівнянню (2.64).

Для окремого випадку, коли один з опорів, наприклад Я2, лінійний, його

ВАХ будують як пряму (на рис.2.42, б позначена пунктиром), проведену з точ­ки 0' під кутом, пропорційним опору Я2 .

Зазначимо, що струм і0 можна знайти інакше, підсумовуючи, згідно з рівністю (2.64), величини и1 та и2 при кожному значенні струму і, тобто до­даючи графіки і = фі) та і = ф 2) за напругою. Точка т1 перетину сумарної ВАХ і = ф0(и) з вертикаллю, проведеною з точки е на осі абсцис, і визначатиме шуканий струм і0 (рис.2.42, а).

Аналогічно розв'язують задачу розрахунку паралельного кола (рис.2.41, б). Згідно з першим законом Кірхгофа і0 = і1 + і2.

Якщо заданий загальний струм і0, а слід знайти загальну напругу и0 і струми віток і1 та і2, на одному графіку будують ВАХ елементів и = та и = ї2 (і), причому для однієї з характеристик початком координат є точка і = і0 (рис.2.43, а). Точка п перетину двох ВАХ визначає величини и0, і1, і2.

Якщо задано напругу и0 , доцільніше побудувати характеристики (рис.2.43, б) і = ф1(и) та і = ф2(и). Ординати цих ВАХ для заданого значення и0 визначають струми і1(и0) та і2(и0), а сума цих ординат - загальний струм і0. На рис.2.43, б сумарну ВАХ позначено і = ф0).

Ю.О.Коваль, І.О.Мшютченко, А.М.Олейніков та ін.и0

0

і

10

іі(ио)

і2(ио)

ф2(и)

0

а

б

и

Рисунок 2.43 - Графічний розрахунок кола паралельно з'єднаних нелінійних опорів

Приклад 2.11. Параметри кола постійного струму з нелінійним опором (рис.2.44, а): Е = 1,5 В, і1 = 33 Ом, і?2 = 20 Ом. ВАХ нелінійного елемента Ж0 наведена в табл.2.3. Розрахувати струми усіх віток графічним методом.

Таблиця 2.3 - ВАХ нелінійного елемента

и, В

0

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

і, мА

0

0

2

6

13

25

80

135

Е игз

т

I з

Я2

1Х

Чз(і)

12

і іЛз(і)

__г

Е из и ) и 4

Яз(і)

Я4

а б в

Рисунок 2.44 - Схеми нелінійних кіл з мішаним і послідовним з'єднанням опорів

Розв 'язання.

1. Будуємо ВАХ нелінійного опору і(и) за даними табл.2.з і ВАХ лінійного опору і2(и) = и /Я2 (рис.2.45). Пряма і2(и) проходить через початок координат. Дру­гу точку для її побудови візьмемо таку:        = 1/20 = 0,05 А.

2. Підсумовуючи ці характеристики, знаходимо і) - ВАХ еквівалентного нелінійного опору, утвореного лінійним опором Я та нелінійним Яз (і).

і

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

3. Будуємо ВАХ і1{и) лінійного опору Я1 як пряму (на рис.2.45 позначена пунктиром), проведену з точки и = Е під кутом, пропорційним опору і?2, причому значення напруг відкладаємо вліво від цієї точки. Рівняння цієї ВАХ має вигляд:

іі(и) = -— - Е) = ——.

Щоб побудувати цю пряму, знайдемо значення іі(0) = (1,5 - 0)/33 = 0,0454 А.

4. ВАХ іі(и) та І(и) перетинаються в точці т, котра і визначає режим кола: є723 * 0,53В; І1 * 30 мА; /2 * 27 мА; /3 * 3 мА.

Рисунок 2.45 - Графічний розрахунок кола у прикладі 2.11

2.10 Основи матрично-топологічного методу аналізу кіл

Реальні електричні кола з урахуванням різних режимів їхньої роботи опи­сують сотнями і тисячами рівнянь стану. При цьому втрачається наочність складання системи такої великої кількості рівнянь. Усувається цей недолік шляхом подання системи рівнянь у матричній формі. Процедура запису матри­чних рівнянь значно спрощується, якщо розглядати замість схем їхню тополо­гію (графи схем). Такий підхід до аналізу електричних схем називають матрич­но-топологічним методом.

2.10.1 Топологія електричних схем

Загальний метод складання лінійно-незалежних рівнянь кола можна одер­жати, використовуючи поняття теорії лінійних графів, одного з розділів мате­матичної дисципліни - топології.

До лінійного графа приводять наступні міркування: рівняння рівноваги струмів і напруг, складені за законами Кірхгофа, визначаються тільки геомет­ричною структурою кола і не залежать від фізичного змісту віток. Тому при складанні рівнянь з'єднань зручно абстрагуватись від виду і характеристик ві­ток, замінивши їх відрізками ліній.

В результаті для схеми, що містить довільні двополюсні елементи, одер­жують лінійний граф як сукупність двох елементів - вузлів (вершин) і віток (ребер), що зображають відрізками ліній, які з'єднують пари вузлів.

Треба зазначити, що на топологічній схемі джерела напруги і струму не зображають. При цьому вітка з джерелом ЕРС зберігається, вітки з ідеальними джерелами струму взагалі в топологічну схему не входять, бо внутрішня прові­дність таких джерел дорівнює нулю і відповідно внутрішній опір дорівнює не­скінченності.

Як і задана схема, її граф може мати різну структуру. Розрізняють планар-ний (плаский) граф, якщо його можна зобразити на площині без перетину віток і непланарний (просторовий) граф, якщо його неможливо зобразити на площині без перетину віток.

Граф, довільну пару вершин якого з'єднує вітка або сукупність віток, нази­вають зв 'язним.

Якщо на графі вказані умовно-додатні напрямки струмів або напруг, такий граф називають направленим графом схеми. Направлений граф схеми (рис.2.46,а) зображений на рис.2.46(номери вузлів позначено кружками).

Рисунок 2.46 - Схема (а) та її граф (б)

Слід відмітити, що внаслідок особливості врахування ЕРС взаємної індук­ції граф схеми (рис.2.46, а) поділяється на дві окремі, не зв'язані частини, тобто є незв'язаним планарним графом.

Приклад непланарного графа показаний на рис.2.47, а.

Важливим топологічним поняттям графа схеми є дерево графа - довільна сукупність віток графа, які з'єднують всі вузли графа без утворення контурів. Видалені з графа при утворенні дерева вітки називають головними вітками гра­фа, або вітками зв'язку. Очевидно, кількість віток довільного дерева на одини­цю менша кількості вузлів, тобто дорівнює п -1, а кількість віток зв'язку ста­новить N = т - (п -1), де т - кількість віток, п - кількість вузлів графа. На

рис.2.46, б жирними лініями виділено одне з можливих дерев схеми рис.2.46, а, на якому 1, 3, 4 - вітки дерева.

Вітки 2, 5, 6, 7, 8 для даного дерева є вітками зв'язку.

Для не зв'язаних у топологічному сенсі графів схеми кількість зв'язків до­рівнює N = т - (п -1) + () -1 = т - п + (), де () - кількість не зв'язаних частин

графа.

Перехід до направленого графа дозволяє здійснити аналітичний запис структури графа, у вигляді таблиць-матриць, які називають топологічними мат­рицями. Аналітичне подання графа необхідне для формування і аналізу рівнянь складної схеми з допомогою ЕОМ.

2.10.2 Матриця з'єднань (вузлова)

Повне описання структури направленого графа дає пхш матриця з'єднань, п рядків якої є порядковими номерами вузлів, а ш стовпців - номерами віток. Елементами ак цієї матриці є символи наявності чи відсутності вітки к, приєд­наної до вузла /, які приймають значення +1 для вітки, яка виходить з вузла, значення -1 для вітки, яка входить у вузол і 0 - для вітки, не зв'язаної з вузлом. Щоб записати матрицю з'єднань, достатньо для кожної вітки визначити номери обох з'єднуваних нею вузлів /, і; заповнити клітинки на перетині рядків /, і та стовпця з номером вітки к значеннями +1, -1; в решті клітинок записати нулі.

а

Рисунок 2.47 - Графи: а - непланарний; б - направлений

Наприклад, направленому графу (рис.2.47, б) відповідає так звана повна матриця з'єднань (А0):

1    2    3    4    5 6

1 (-1   1    0    0    0    1 ^ (А0)=   2 0   -1  -1   1    0    0 І (2.66)

3 0   0   1   0   1 -1

4 і 1    0    0   -1 -10

Повна вузлова матриця визначає схему електричного кола.

Вона дозволяє подати геометричну структуру кола мовою алгебри, що має важливе практичне значення при аналізі електричних кіл.

З аналізу повної матриці з'єднань (А0) видно, що кожний її стовпець скла­дається з двох ненульових елементів +1, -1. Ця властивість матриці (А0) ви­пливає з того, що кожна вітка з' єднана з двома вузлами.

Сума чисел у довільному стовпці матриці дорівнює нулю. Це означає, що один з рядків матриці (А0) може бути одержаний лінійною комбінацією інших

рядків. Позбутися лінійної залежності рядків можна шляхом викреслювання довільного рядка в матриці (А0 ). В результаті викреслювання, наприклад, чет­вертого рядка, одержимо

1    2    3    4    5 6

(А) =

-11

0 0

0

1-1

01 0 1 0 0 0 1 1 ^

0

-1 (2.67)

Матрицю (А) називають просто матрицею зв'язків, або вузловою матри­цею. Вузол, відповідний якому рядок відкидається, називають базисним.

Перестановка стовпців або рядків відповідає тільки зміні нумерації віток, але не змінює схему кола.

Якщо елементи стовпців матриці (А) домножити на потенціали відповід­них вузлів і підсумувати, то одержимо напруги відповідних віток, тобто

и1

= -иш;

 

 

10-

и20

и з

=-и20

+ и3

и 4

20;

 

и 5

30;

 

и6

10-

и30

(2.68)

де ик - напруга к-ї вітки; и0 - вузлова напруга і-го вузла.

Слід зазначити, що вираз (2.68) та наступні формули, записані для кола постійного струму, можна використовувати також для кіл синусоїдного струму, застосувавши комплексне подання струмів, напруг, ЕРС, опорів, провідностей (див. підрозд. 3.10).

Систему рівнянь (2.68) можна записати в наступній матричній формі:

{ив ) = {А)Т вз):

(2.69)

 

 

 

и10

 

и 2

; (ивз ) =

и 20

 

 

 

 

(А)

-1

0

0 л

1

-1

0

0

-1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

-1У

відповідно матриці-

стовпці напруг віток та вузлових напруг; транспонована матриця (А).

Якщо елементи рядків матриці (А) домножити на струми відповідних ві­ток, підсумувати і прирівняти до нуля, то одержимо рівняння, записані згідно з першим законом Кірхгофа для відповідних вузлів, тобто

для вузла 1;

- /1 + 12 + 16 = 0

13 + / 4

/ 3 + / 5

= 0 для вузла 2; 0   для вузла 3, (2.70)

де Ік - струм к-ї' вітки.

Систему рівнянь (2.70) можна записати в матричній формі (перший закон Кірхгофа в матричній формі):

Мв) = 0, (2.71)

/1

V16 У

матриця-стовпець струмів віток.

2.10.3 Матриці параметрів елементів схеми

Складаючи матричні рівняння, що описують процеси в схемі, необхідно параметри віток - опори, провідності, ЕРС і струми джерел теж записувати в матричній формі.

Матриця опорів (провідностей). Матриця опорів (Яв) і матриця провідно­стей (Ов) є квадратними, їхній порядок дорівнює кількості віток. По діагоналі матриці записують власні опори (провідності) віток. Матриця провідностей є оберненою матриці опорів, тобто ^в) = (Яв) 1.

Якщо взаємних зв'язків між вітками немає, то матриці будуть діагональ­ними. Якщо коло містить реактивні елементи Ь, С, та між вітками за рахунок спільного електромагнітного поля існують взаємні зв'язки, на перетині і-го ря­дка та 7-го стовпця записують опори взаємного зв'язку між і-ю та 7-ю вітками. Такий зв'язок виникає, наприклад, у колі синусоїдного струму. Тоді опори та провідності віток записують у комплексній формі (визначення комплексних опорів 7 та провідностей 7 елементів Ь, С, Мрозглянуто далі у розд.3.).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації