Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 13

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Наприклад, матриця опорів для кола, що містить чотири вітки із взаємно індуктивними зв'язками між всіма вітками, має наступний вигляд:

( 7 7 її

7ї2

713

7 >

7 21

722

723

7 24

7 31

732

733

7 34

V 7 41

742

743

744 )

Якщо коло задовольняє умові взаємності, тобто 7у = 7і (7у = ), тоді матриця (7 в) або (7 в) буде симетричною.

Приклад 2.12. Для схеми (рис.2.48,а) скласти матрицю опорів віток.

Розв язання. Матрицю опорів кола записують у такий спосіб. Номери рядків і стовпців відповідають номерам віток. На головній діагоналі записують власні опори віток, а на перетині і-го рядка і 7-го стовпця - опори взаємної індукції. При цьому опори взаємної індукції додатні, якщо в двох індуктивно зв'язаних котушках струми спрямовані однаково відносно однойменних затискачів (позначених у схемі зірочка­ми). При різних напрямах струмів відносно однойменних затискачів опори взаємної індукції від' ємні.

Нумерувати вітки можна довільно, але з метою одержання матриці більш упо­рядкованого вигляду рекомендується спочатку нумерувати всі індуктивні елементи, потім резистивні і, насамкінець, ємнісні елементи (див. рис.2.48,а).

Матриця опорів для схеми (рис.2.48,а) має наступний вигляд:

в)=

2ы

-2М 12

0

0

0

0

0

0

-12

2Ь 2

-23

0

0

0

0

0

0

-23

2Ь 3

0

0

0

0

0

0

0

0

2Ь4

0

0

0

0

0

0

0

0

*1

0

0

0

0

0

0

0

0

 

0

0

0

0

0

0

0

0

2С1

0

0

0

0

0

0

0

0

2С 2

Цю матрицю доцільно розглядати як складну і поділити на підматриці прямо­кутними контурами. Тоді матрицю (в ) можна записати у вигляді:

ґ( 2ьм)    0      0 ^

(2в)=|       0 (Я)

Де (Іш )

 

 

1 0

0

2Ы

-2М12

0

0 1

-12

2Ь 2

- 2М 23

0

0

- 2М 23

2Ь3

0

0

0

0

214 у

0

(2с)

; (я)

0 я

; (2с )=

2 У

с1

0 0

С 2 У

 

 

Г 7 1

дж1

 

 

7 дж 2

 

 

 

Е

 

ч 7дж т у

Матриці ЕРС та струмів джерел. Це матриці-стовпці, кількість елементів яких дорівнює кількості віток графа:

Якщо додатній напрям ЕРС джерела збігається з вибраним напрямом вітки, то в матриці ) відповідна ЕРС береться з додатнім знаком і навпаки.

Струм джерела в матриці (Ідж) беруть із знаком плюс, якщо при обході

контуру, утвореного джерелом і паралельною йому віткою в напрямі вітки, до­датній напрям струму джерела збігається з напрямом обходу. Якщо струм дже­рела протилежний напряму обходу контуру, то перед відповідним струмом в матриці струмів джерел ставлять знак «мінус».

2.10.4 Закон Ома у матричній формі

Для довільної к-ї вітки схеми (рис.2.48,б) закон Ома можна записати у ви­гляді рівняння

Ік + Іджк = Ок (Пк + Ек) (2.72)або

ик + Вк = Як (Ік +     ). (2.73)

Аналогічні співвідношення справедливі для всіх віток схеми, в результаті виходить система рівнянь виду (2.72):

/і + Іджі = Сі (^і + Еі);

/2     +     Ідж2     =    С2 2 + Е2);

     +    'даті От і+ Ет)

і система рівнянь виду (2.73), які можна записати в матричній формі:

і/в ) + і/дж ) = (Ов )\ръ ) + (Бъ)]; (2.74)

(Ц,) +     ) = )[і) + і/дж)] . (2.75) Вирази (2.74) і (2.75) називають законом Ома в матричній формі.

2.10.5 Рівняння вузлових потенціалів у матричній формі

Якщо домножити рівняння (2.74) зліва на вузлову матрицю (А)

( А)[() + (Ідж )] = ( А)(Ов )[(^в ) + іЕв )] , (2.76)

з урахуванням виразів (2.69) та (2.71) рівняння (2.76) матиме вигляд:

(А)(Ов )(А )т ([/вз ) = (А)[( Ід, )-(Ов )(Ев)], (2.77) де потрійний матричний добуток

(А)(Ов )(А)т =(Овз) (2.78) є матрицею вузлових провідностей.

Це квадратна матриця розмірності І х І, (І = п -1), тобто

де Ои - сума провідностей віток, які сходяться в і-му вузлі; Оі]- = 0]1 - сума

провідностей віток, які з'єднують і-й та 7-й вузли, взята зі знаком «-». Справедливість цього твердження доцільно перевірити на прикладі.

Приклад 2.13. Скласти матрицю вузлових провідностей (Овз) для кола без ін­дуктивних зв'язків, граф якого показаний на рис 2.48,в.

Розв язання. Вважаючи 4-й вузол базовим, складемо для заданого графа вузлову матрицю (//) і матрицю провідностей віток:

(Л)=

1 -1

0 0

1

0 0

0 -10 0 -1 11 0 1

0

1)

{ Сі

0

0

0

0

0

0

о2

0

0

0

0

0

0

Сз

0

0

0

0

0

0

 

0

0

0

0

0

0

о5

0

V 0

0

0

0

0

С6 у

Матричний добуток (Ов )( Лт ) дорівнюватиме

(о. )(ЛІ )=

Сі

0

0

0

0

0 1

 

( 1

-1

0 1

 

 

 

0

0

о2

0

0

0

0

 

0

1

0

 

0

 

0

0

0

Сз

0

0

0

X

-1

0

0

 

 

0

0

0

0

0

 

0

0

 

-1

0

1

 

4

0

 

0

0

0

0

Сз

0

 

0

-1

1

 

0

-

 

0

0

0

0

0

С6 у

 

V 0

0

1 У

 

V 0

0

С6)

Потрійний матричний добуток (2.78) тоді матиме вигляд

) = (л)(с. )(л)т

0 0 1 0

1-10 0 -1 11

0 0

0 1

0

1

X

0

0 0

С2

0 0

0 0 0 0

С5

6 у

1

4

Тоді діагональні

елементи матриці (Свз), які дорівнюють сумі провідностей віток, що сходяться у від­повідному вузлі; С12721= -^1 - провідність вітки, що з'єднує 1-й та 2-й вузли, взята

зі знаком «-». Аналогічний зміст мають і інші недіагональні елементи. Наведений приклад підтверджує справедливість твердження (2.78).

З урахуванням виразу (2.78) рівняння (2.77) можна подати у вигляді матри­чного рівняння вузлових потенціалів:

(2.79)

Права частина рівняння (2.79) є узагальненим визначенням матриці вузло­вих струмів.

2.10.6 Побудова графів схем, що містять ідеальні джерела

Якщо схема містить ідеальне джерело напруги, що має нульовий внутрі­шній опір, то при побудові графа такої схеми вітка з ідеальним джерелом має замикатися, тобто граф буде містити на одну вітку менше, ніж задана схема. Матриця (А), побудована для графа, буде мати на один стовпець менше, ніж

кількість віток у заданій схемі, отже добуток матриць (А)(Ідж) стає несуміс­ним, бо матриця (Ідж) має таку кількість елементів, яка визначається кількістю

віток у заданій схемі.

Аналогічна ситуація спостерігається, якщо схема містить ідеальне джерело струму. Таке джерело має нескінчений внутрішній опір. Отже, при побудові графа такої схеми вітка з ідеальним джерелом струму повинна розмикатися. Тобто знову ж такий граф буде мати на одну вітку менше, ніж схема.

Зазначені некоректності усувають шляхом еквівалентних перенесень ідеа­льних джерел (див. п.2.2.4).

2.11 Запитання та завдання для самоперевірки і контролю засвоєння знань

1. Сформулювати задачу аналізу електричних кіл. Назвати основні методи аналізу кіл.

2. Які перетворення схеми називаються еквівалентними?

3. Яке з'єднання елементів називається послідовним, паралельним, змішаним?

4. При послідовному з'єднанні двох опорів загальний опір становить 25 Ом, а при паралельному - 6 Ом. Знайти величини цих опорів.

Відповідь: 15 Ом; 10 Ом.

5. Сформулювати умови еквівалентності реальних джерел напруги і струму.

6. Використовуючи методи еквівалентних перетворень, визначити струм І5 у

колі, розглянутому в прикладі 2.4, якщо Е2 = 0, Я4 — оо . Відомо, що Еі = Е3 = 2 В, Ідж = 1 мА, Я1 = Я2 = Я3 = Я5 = Я6 = Я7 = 1 кОм, Я8 = 2 кОм. Відповідь: -0,4 мА.

7. Для кола (рис.2.11), визначити кількість рівнянь за першим і другим закона­ми Кірхгофа, які необхідно скласти для аналізу схеми.

Відповідь: 5; 3.

8. У чому полягає принцип накладання? Для яких кіл він застосовується?

9. Який буде струм І1 у колі, зображеному на рис.2.20 (приклад 2.6), якщо при заданих параметрах схеми: а) змінити напрям усіх джерел на протилежні; б) змінити напрям тільки джерела Е1 ?

Відповідь: а) 22 мА; б) - 30 мА.

10. Розрахувати методом накладання струм І2 у колі, схема якого зображена

на рис.2.20, зберігши вихідні дані прикладу 2.6. Відповідь: 58 мА.

11. Пояснити поняття вхідного опору активного двополюсника. Як перейти від активного двополюсника до пасивного?

12. Для активного двополюсника за результатами вимірювань напруга холо­стого ходу і струм короткого замикання становили відповідно 10 В і 10 мА. Визначи­ти струм в опорі навантаження 1 кОм, який увімкнений до затискачів двополюсника.

Відповідь: 5 мА.

13. Якщо увімкнути до активного двополюсника опір навантаження 100 Ом, напруга на цьому опорі становитиме 1 В. Визначити вхідний опір активного двопо­люсника, якщо напруга холостого ходу на його затискачах дорівнює 3 В.

Відповідь: 200 Ом.

14. Сформулювати умову узгодження джерела з навантаженням за активною потужністю. Яке при цьому буде значення коефіцієнта корисної дії?

15. За яким критерієм здійснюється узгодження джерела з навантаженням: а) малострумових кіл; б) потужних енергетичних пристроїв?

16. У чому полягає принцип взаємності? Для яких кіл його застосовують?

17. Визначити поняття: нелінійне коло, нелінійний елемент, статичний та динамічний параметр нелінійного елемента.

18. Які методи розрахунку чинні для нелінійних кіл? Чи можна застосувати до нелінійного кола метод еквівалентного генератора?

19. За якими ознаками класифікують нелінійні елементи? Які види нелінійних опорів ви знаєте?

20. Назвати властивості нелінійних кіл, принципово недосяжні в лінійних колах.

21. Розрахувати струми усіх віток кола постійного струму з нелінійним опором Я3   графічним методом  (рис.2.44, а).  Параметри кола:   Е = 1,1 В,   Я1 = 62 Ом,

Я2 = 100 Ом. ВАХ нелінійного елемента Я3(і) наведена у табл.2.4.

Таблиця 2.4 - ВАХ нелінійного елемента

и, В

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

і, мА

0

0

0

0,5

2

5

10

18

28

42

60

Відповідь: І1 « 8 мА; 12 « 5 мА; І3 « 3 мА.

22. Міст   на   рис.2.49, а   складено   з   лінійних   опорів       = Я3 = 1 кОм і ^2 = ^4 = 2 кОм. На вихід моста увімкнено нелінійний опір Я5, ВАХ якого наведена

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації