Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 14

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

у табл.2.5. На вході моста діє постійна ЕРС 120 В. Знайти напругу і струм на виході моста.

Таблиця 2.5 - ВАХ нелінійного елемента

и, В 0

8       10      12 14

15

16

17

18

19

20

і, мА 0

1       3       9 20

30

48

75

120

207

310

Вказівка. Скористатись теоремою про еквівалентне джерело напруги. Відповідь: ІІвих = 14 В; Івих = 20мА.

23. Чутливим елементом у системі автоматичного регулювання напруги є міст (рис.2.49, б). У кожному з двох протилежних плеч моста увімкнений нелінійний опір Я(і), ВАХ якого наведена у табл.2.6. У двох інших плечах моста увімкнені однакові

лінійні опори Я. Міст не навантажений. Визначити: 1) величину опорів Я, при яких міст врівноважено, якщо напруга живлення моста     = 220 В; 2) напруги на виході

моста при змінюванні напруги и на +20 та -20 В.

Таблиця 2.6 - ВАХ нелінійного елемента

и, В

0

20

40

60

80

100

110

120

і, мА

0

1,5

4,0

7,5

14,0

36,0

63,0

95,0

Відповідь: Я = 1,75 кОм; П2 =±12 В.

24. Дайте визначення графа схеми і його дерева.

25. Який граф називають направленим?

26. Що являє собою матриця з'єднань направленого графа? Сформулюйте пра­вило її визначення.

27. Знайдіть матрицю з'єднань для графа схеми (рис. 2.16).

28. Назвіть основні матриці параметрів елементів схеми і поясніть особливості їх побудови.

29. Запишіть матричне рівняння закону Ома.

30. Запишіть матричне рівняння вузлових напруг і рівняння для визначення ма­триці вузлових провідностей для схеми (рис. 2.16).

31. Поясніть особливості побудови графів схем, що містять ідеальні джерела.

УСТАЛЕНИЙ СИНУСОЇДНИЙ РЕЖИМ У КОЛАХ ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Загальна характеристика кіл синусоїдного струму Основні параметри синусоїдних струмів, напруг і ЕРС Діючі та середні випрямлені значення синусоїдних струмів і напруг Векторне і комплексне подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС Елементи Я, ь, с в колах синусоїдного струму Послідовне та паралельне з'єднання елементів Я, Ь, с Заміна послідовного з'єднання елементів паралельним і навпаки Закони Кірхгофа в комплексній формі Комплексний метод розрахунку кіл синусоїдного струму Енергетичні співвідношення в колах синусоїдного струму

Режим передачі максимальної активної потужності від джерела до навантаження Кола синусоїдного струму із взаємними індуктивностями Усталений синусоїдний режим в нелінійних резистивних колах Трифазні кола

Ііп

*7Г^

/

т

е

Г. Герц

= соб а + / бій а

Л. Ейлер

і

 

 

 

(У и ) 4-

 

 

 

/

У

 

\ \ \

 

А

 

\    \ /

V

 

\

Ж. Б. Фур'є

Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін

З УСТАЛЕНИЙ СИНУСОЇДНИЙ РЕЖИМ У КОЛАХ ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

З.1 Загальна характеристика кіл синусоїдного струму

Синусоїдні струми, напруги або ЕРС змінюються у часі відповідно до тригонометричних функцій синуса або косинуса. Крім теорії кіл, ці функції за­стосовують в теоретичній фізиці (наприклад, класична задача коливань струни), в електродинаміці та ін. На відміну від кіл із зосередженими параметрами у ко­лах з розподіленими параметрами і в задачі коливань струни процеси мають синусоїдний характер як у часі, так і за однією з координат (довжиною). В електродинаміці процеси описуються синусоїдними функціями як у часі, так і за трьома просторовими координатами.

Синусоїдні струми, напруги або ЕРС належать до категорії періодичних, тобто повторюються через певні проміжки часу. Періодичні струми, напруги або ЕРС можуть змінюватися не тільки за законами синуса або косинуса, але і за складнішими несинусоїдними законами. Загалом, для миттєвих значень періодичних струмів та їх похідних справедливі співвідношення:

= і(ґ ± пТ);   ї(г) = і'(ґ ± пТ),

де Т - період; п - будь-яке ціле число.

Отже, період Т - мінімальний проміжок часу, через який періодичний процес і його похідні повторюються. Період вимірюється в секундах (с). Се­кунда належить до основних одиниць вимірювання в системі СІ.

Величина, обернена періоду, називається циклічною частотою або корот­ко - частотою:

/ = 1/Т .

Частота має розмірність (зв'язок з основними одиницями) - с-1, а одини­цею вимірювання частоти є герц1.

Частота в герцах дорівнює кількості періодів коливань протягом інтервалу часу, який дорівнює секунді.

Відомо, що періодичні функції, що задовольняють умовам Діріхле , мож­на подати рядом Фур'є у вигляді суми деякої постійної величини і синусоїдних складових з кратними частотами (/,2/, 3/ ...).

1 Герц Генріх Рудольф, Heinrich Hertz (1857-1894) - німецький фізик, один із за-снов-ників сучасної електродинаміки. Експериментально довів існування електро­магнітних хвиль і досліджував їх властивості. Результати викладені в роботах «Ос­новні рів-няння електродинаміки тіл, що покояться» (1890) і «Основні рівняння електродинаміки рухомих тіл» (1890). Ім'ям Герца, крім одиниці вимірювання часто­ти, названі вібратор і резонатор, за допомогою яких він експериментально довів існування електромагнітних хвиль і досліджував їх властивості. Одиниця під назвою «герц» уперше запропонована в 1928 р., а як міжнародна - прийнята в 1933 р.

Діріхле Петер Густав Лежен, Dirichlet (1805-1859) - німецький математик, учень Фур'є. Основні роботи належать до теорії чисел, математичного аналізу (сформулю-

Доданки ряду Фур'є прийнято називати гармоніками, що й викликало вживання терміну гармонічний режим (гармонічні струми, напруги, ЕРС) поряд з терміном синусоїдний режим (синусоїдні струми, напруги, ЕРС). Крім того, іноді використовують застарілий термін змінний струм.

Ряди Фур' є у поєднанні з принципом накладання застосовують для аналізу усталених режимів лінійних кіл з періодичними несинусоїдними дже­релами. Для цього миттєві значення ЕРС або струмів джерел подають у вигляді сум (спектрів) гармонічних складових різних частот (0, /,2/, 3/ ...) і викону­ють розрахунки окремих усталених режимів кола для кожної з гармонік спек­тра. Відповідно до принципу накладання, режим кола можна розрахувати як суму окремих усталених режимів - постійного струму і синусоїдних струмів з кратними частотами. Такий спектральний (частотний) метод широко використовується для розрахунку проходження періодичних і одиночних сигналів через лінійні кола. Для одиночних сигналів застосовують граничний перехід від ряду до інтеграла Фур'є, якщо Т —»со.

З поняттями період і частота пов'язане таке важливе для кіл з роз­поділеними параметрами і електродинаміки поняття, як довжина хвилі:

Л = уТ = V / /,

де V - швидкість поширення електромагнітних коливань, які мають часто-Швидкість поширення V залежить від параметрів середовища і у вільному

8 4

просторі (вакуумі) дорівнює швидкості світла с « 3 • 10 м/с.

Довжина хвилі вимірюється в метрах (м) і характеризує просторову періодичність електромагнітних хвиль.

В енергетиці використовуються коливання порівняно низьких частот: 50 Гц (Європа), 60 Гц (Америка), 400 Гц (живлення спеціальних пристроїв).

У радіоелектронних системах ТЗІ використовують сигнали, носійні час­тоти яких перебувають в межах від вкрай низьких (одиниці герц) до частот оп-

12

тичного діапазону (більше 3 -10 Гц). Прийнята відповідно до чинних стандартів класифікація діапазонів частот і довжин хвиль наведена в табл.3.1.

вав поняття умов збіжності рядів), механіки, математичної фізики. Сформулював умови, за яких періодична функція може бути розкладена в тригонометричний ряд, -для функції на інтервалі Т припустима кінцева кількість розривів першого роду і кінцева кількість максимумів і мінімумів.

3 Фур'є Жан Батіст Жозеф, Fourier (1768-18З0) - французький математик, член Паризької АН, почесний член Петербурзької АН. Основний об'єкт досліджень - ма­тематична фізика. Основні роботи - «Аналітична теорія тепла» (1822) і «Аналіз озна­чених рівнянь» (18З1). Розробив метод розділення змінних, заснований на поданні функцій тригонометричними рядами (рядами Фур'є).

4 Швидкість світла у вакуумі є однією з універсальних фізичних сталих (констант) і зараз оцінена з відносною похибкою 4 • 10-9 величиною с = 299792458 м/с.

Таблиця 3.1 - Класифікація діапазонів частот і довжин хвиль

13

Класифікація діапазонів частот

Найменування

Частота

Класифікація довжин хвиль

Найменування

Довжина хвилі (у вакуумі)

Радіочастоти і радіохвилі (згідно з ДСТУ 3254-95)

1

Вельминизькі

(3-30) Гц

Декамегаметрові

(10-100) Мм

2

Наднизькі

(30-300) Гц

Мегаметрові

(1-10) Мм

3

Інфранизькі

(300-3000) Гц

Гектокілометрові

(100-1000) км

4

Дуже низькі

(3-30) кГц

Міріаметрові

(10-100) км

5

Низькі

(30-300) кГц

Кілометрові

(1-10) км

6

Середні

(300-3000) кГц

Гектометрові

(100-1000)м

7

Високі

(3-30) МГц

Декаметрові

(10-100)м

8

Дуже високі

(30-300) МГц

Метрові

(1-10)м

9

Ультрависокі

(300-3000) МГц

Дециметрові

(10-100) см

10

Надвисокі

(3-30) ГГц

Сантиметрові

(1-10) см

11

Вельмивисокі

(30-300) ГГц

Міліметрові

(1-10) мм

12

Гіпервисокі

(300-3000) ГГц

Дециміліметрові

(0,1-1) мм

Оптичні

більше 3 ТГц

менше 0,1 мм

У колах синусоїдного струму, як правило, миттєві значення параметрів джерел е(ґ) та ідж ) змінюються за гармонічним законом з однаковою часто­тою. В усталеному (стаціонарному) режимі таких кіл усі струми і(ґ) і напруги и ) також змінюються за гармонічним законом з тією ж частотою.

Теорія кіл синусоїдного струму зобов'язана своїм розвитком широкому практичному застосуванню таких струмів спочатку в енергетиці, а потім в радіоелектроніці та в інших інформаційних областях техніки. Використання синусоїдних струмів в енергетиці дозволило вирішити задачі виробництва (електромашинні генератори), транспортування (трифазні системи), перетво­рення (трансформатори) і споживання (двигуни, випрямлячі) електроенергії.

Синусоїдні струми і напруги в системах технічного захисту інформації -це, передусім, так звані носійні коливання, які є основою формування сигналів. Як джерела носійних коливань використовуються різні типи генераторів (лампові, транзисторні, квантові та ін.). Резонансними системами цих генераторів є коливальні контури, які залежно від діапазону і вимог до стабільності частот, що генеруються, реалізують за допомогою кіл із зосеред­женими параметрами (котушки індуктивності та конденсатори), кіл з розподіленими параметрами (довгі лінії), електромеханічних (кварцових) і об'ємних резонаторів.

Висока стабільність частоти сучасних генераторів покладена до основи еталонів деяких фізичних одиниць. Наприклад, сучасний еталон часу і частоти є квантовим генератором (мазером), який створено на базі цезію-1335.

Функції, що змінюються за гармонічним законом, мають виняткові мате­матичні особливості, які використовуються в теорії кіл. Ці функції не змінюють свою форму, якщо їх диференціювати та інтегрувати, а у разі однакових частот - підсумовувати і віднімати. На вказаних властивостях гармонічних коливань грунтується комплексний метод розрахунку кіл синусоїдного струму, який дозволяє використати всі розглянуті для кіл постійного струму прийоми і мето­ди розрахунку з однією відмінністю - усі величини (струми, напруги, ЕРС, опори, провідності) характеризуються комплексними числами. У зв'язку з цим, аналізуючи усталений режим кіл синусоїдного струму, доцільно застосовувати методи алгебри комплексних чисел.

3.2 Основні параметри синусоїдних струмів, напруг і ЕРС

Для аналітичного запису синусоїдних струмів, напруг і ЕРС використо­вується як функція синуса (sin x), так і функція косинуса (cos x). Як відомо, обидві ці функції мають період 2п, змінюються в межах ±1 і відрізняються тільки взаємним зсувом на п / 2 : sin x = cos(x - п /2).

В енергетиці переважно застосовують функцію синуса. Оскільки історично теорія кіл і енергетика розвивалися разом, в теорії кіл був введений термін - кола синусоїдного струму. Пізніше, в зв'язку із застосуванням гармонічного режиму для формування сигналів, вдалішим виявилося викори­стання функції косинуса, що обумовлено її парністю. Цим пояснюється викори­стання в подальшому викладенні переважно функції косинуса із збереженням традиційних термінів - синусоїдні струми, напруги, ЕРС.

Основні параметри, які характеризують синусоїдні струми, напруги і ЕРС, можна поділити на три групи:

а) параметри, що відображають інтенсивність (рівень, енергію), -амплітуда, діюче і середнє значення;

б) параметри, що характеризують періодичність і частоту, - період і час­тоти двох видів (циклічна і кутова);

в) параметри, пов'язані з початком відліку часу, - повна і початкова фази.

Амплітудою називається максимальне значення синусоїдного струму, на­пруги або ЕРС. Амплітуди позначають відповідними латинськими великими літерами з індексами «ти», наприклад Im, Um, Em. Одиниці вимірювання

5 З 1967 р. секунда визначена як інтервал часу, протягом якого здійснюється 9192631770 коливань резонансної частоти енергетичного переходу між рівнями над­тонкої структури основного стану атома цезію-133 (за відсутності зовнішніх магніт­них полів). Відносна нестабільність сучасних квантових еталонів часу і частоти ста­новить Аґ / ґ = А/ / / = 10-13...10 -14.

1GGамплітуд збігаються з одиницями вимірювання миттєвих значень відповідних гармонічних процесів.

Амплітуди визначають максимальні відхилення коливань синусоїдних струмів, напруг і ЕРС від середнього значення:

i(t) = Im cos x; u(t) = Um cos x; e(t) = Em cos x .

Незалежна змінна (аргумент) х функцій, що описують синусоїдні струми, напруги і ЕРС, називається фазою; використовують також терміни повна фаза, поточна фаза, миттєва фаза.

Щоб записати миттєві значення синусоїдних струмів, напруг і ЕРС, не­обхідно подати фазу х у вигляді функції часу x = i|/(t). Оскільки i|/(t) є

лінійною функцією часу, для її запису достатньо двох значень. Як одне з них можна вибрати значення повної фази в нульовий момент часу ці (0) = ці 0, а як

інше - значення повної фази через період       ) = ц 0 + 2п.

Значення повної фази в нульовий момент часу ці 0 називається початко­вою фазою. У зв'язку з періодичністю гармонічних процесів початкові фази змінюються в межах: - п < ц0 < п.

Отже, фаза гармонічного процесу є лінійною функцією часу (рис.3.1), значення якої в момент часу t = 0 дорівнює початковій фазі і|/ 0, а кут нахилу

2п/ T = 2п/ = со,

де со - кутова частота, одиницею виміру якої є радіан за секунду (рад/с). Аналітично повну фазу можна представити так:

а) якщо | 0 = 0,

y/{t) = 2п / T = 2itft = rot; (3.1)

б) якщо ц 0 ф 0,

|//(t) = 2пт / T + ц0 = 2;rf + ц0 = rot + ц0= co(t + ц0/ со) = co(t -10), (3.2) де t0 = -\|/0/со - зсув максимуму функції cos x відносно початку відліку часу. Діапазону - п < і|/0 < п відповідають межі зміни початку відліку часу:

-T/2 < t0 <T/2.

На рис.3.1 показані графіки залежності від часу повних фаз для трьох гар­монічних коливань з однаковими частотами (со = 2пf) і різними значеннями по­чаткових фаз: у01 = 0;іу02 > 0 ;у03 < 0. Згідно з виразами (3.1) і (3.2) відповідні повні фази набудуть вигляду:

V1(t) = ct ;    у2(t) = ct + V02 =c(t - t02);    ц3(t) = ct + V03 =c(t - t03).

Графіки ^1(t) , ^2(t) , ^3(t) мають однаковий нахил, який визначається

частотою. Оскільки кут нахилу лінійної функції дорівнює її похідній, кутову частоту можна визначити так:

d\y(t) со =-.

dt

Дане співвідношення показує, що кутова частота характеризує швидкість зміни фази і не залежить від початкової фази. Також цей вираз має фундамен­тальне значення в теорії сигналів з куто­вою модуляцією, у яких фази є нелінійними функціями часу, і тому час­тоти не є постійними величинами.

Зображені на рис.3.1 графіки фаз зміщені один відносно одного як за фа­зою, так і у часі. Так, функція   | 2 (t)

зміщена відносно  | 1(t) по осі ординат

(за фазою) на величину ф21 = V|/02 > 0.

З іншого боку, графік ¥l(t) можна    " повних фаз від часу

розглядати як графік      ), який зсунуто по осі абсцис (за часом) на величину  t02 = -у02 / со.

Тому всі точки функції ^2(t) з'являються у часі раніше відповідних то­чок ^1(t) на інтервал часу t02, тобто ^2(t) = ^1(t -102).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації