Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

'I

T/4 с T/4

Рисунок З.б - Двонапівперіодне випрямлення синусоїдного струму 3.4 Векторне і комплексне подання синусоїдних струмів, напруг, EPC

Миттєві значення i(t), u (t), e(t) досить повно описують синусоїдні стру­ми, напруги і ЕРС, однак вони незручні, щоб виконувати розрахунки. Якщо скористатися для аналізу кіл синусоїдного струму миттєвими значеннями, то, відповідно до законів Кірхгофа, треба складати рівняння з тригонометричними функціями часу. Розв'язання таких рівнянь, які називають трансцендентними, ускладнюється тим, що невідомими величинами є амплітуди і початкові фази шуканих струмів і напруг, а відомими - параметри джерел (амплітуди, початкові фази і частота). У зв'язку з цим, застосувують інші способи подання гармонічних процесів, що спрощують операції підсумовування і віднімання гармонічних процесів з однаковою частотою, та розв'язання систем рівнянь, складених за законами Кірхгофа. Цим вимогам відповідають векторне і ком­плексне подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС.

Векторне подання засноване на відомому визначенні тригонометричних функцій як проекцій одиничного вектора. При цьому проекція вектора на гори­зонтальну вісь відповідає cos а, а проекція на вертикальну вісь - sin а, де а -кут, який відлічується проти годинникової стрілки від горизонтальної осі до вектора. Якщо щодо гармонічних процесів застосувати векторне подання, то вектор стане таким, що обертається. Параметри цього вектора однозначно пов'язані з параметрами відповідного процесу: швидкість обертання дорівнює кутовій частоті со; довжина вектора збігається з амплітудою; кутове положення вектора в будь-який момент часу відповідає фазі y(t) = cot + у, а в момент часу

t = С - початковій фазі у. На рис.3.7 зображений вектор i (t), що обертається, і

показано, як отримати за його допомогою миттєві значення струму в

синусоїдній і косинусоїдній формах запису.

Крім наочного зображення гармонічних процесів, векторне подання істотно спрощує операції підсумовування і віднімання миттєвих значень. Відомо, що проекція суми (різниці) двох і більше векторів на будь-яку вісь дорівнює сумі (різниці) проекцій цих векторів на ту ж вісь (властивість комутативності векторів). Оскільки для векторів, що обертаються, ця властивість справедлива в будь-який момент часу, то у разі однакової швидкості обертання векторів операції підсумовування (віднімання) миттєвих

1С8значень можуть бути зведені до підсумовування (віднімання) відповідних векторів в один з моментів часу, наприклад, ґ = 0.

Недоліком векторного подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС є нето­чність графічних способів його реалізації і складність застосування для розв'язання систем рівнянь.

Поєднати переваги векторного подання гармонічних процесів і надати операціям над векторами аналітичної форми дозволяє перенесення векторів, що обертаються, на комплексну площину (рис.3.8).

По осі абсцис комплексної площини відкладають дійсні (реальні) складові комплексних чисел. Тому ця вісь називається дійсною і позначається .

Таке позначення дійсної осі пов'язане з операцією Ке[...]7, що означає виділення дійсної частини комплексного виразу в дужках.

Вісь ординат комплексної площини називається уявною, оскільки на ній відкладають уявні частини комплексних чисел. Позначення уявної осі Іт зу­мовлене операцією виділення уявної частини комплексного виразу Іт[...]8.

Не слід плутати позначення уявної осі та операції виділення уявної части­ни з позначенням амплітуди струму Іт.

Комплексні числа, що відповідають векторам на комплексній площині, прийнято позначати підкреслюванням. Основні терміни і позначення, які засто­совуються в комплексному методі аналізу кіл, наведені на рис.3.8 і в табл.3.3, а операції над комплексними числами - в табл.3.4.

7 Позначення дійсної осі комплексної площини Re і операції визначення дійсної час­тини комплексного числа пов'язані з першими літерами слова real (реальний).

8 Позначення Im - це перші літери слова imaginary (уявний).

. со

~ (ti)/

Таблиця 3.3 - Форми запису і складові комплексних чисел

Термін

Аналітичний запис

Форми подання комплекс­них чисел

Алгебраїчна

A = A + jA" = Re[ A] + j Im[A]

 

Тригонометрична

A = A cos a + j A sin a

 

Показникова

A = Aeja

 

Спряжене комплексне число

A* = A - jA" = |A|e(-ja)

Складові комплекс­них чисел

Дійсна частина

A' = Re(A) = A cos a

 

Уявна частина

A" = Im(A) = A sin a

 

Модуль

A = A = V(A ' )2 + (A " )2

 

Аргумент

a = arctg(A"/ A') + wn, w = 0;1 a = (-1)w arccos(A' / A), w = 0;1

a = (-1)w arcsin(A " / A) + wn, w = 0;1

значення w залежить від чверті, де лежить комплексне число

 

Уявна одиниця

j =v-i = ejn/2; -j = e-jn/2; j 2 =-1

Алгебра комплексних чисел грунтується на формулі Ейлера9

eja = cos a + j sin a,

де e « 2,718 - основа натуральних логарифмів, j - уявна одиниця.

Вектори, що обертаються в комплексній площині, проекції яких відпові­дають синусоїдним струмам, напругам і ЕРС, називають комплексними миттє­вими значеннями (комплексними гармоніками) і позначають відповідно i(t),  u(t), e(t). Комплексні миттєві значення можна записати в одній з трьох

форм запису комплексних чисел - показниковій, тригонометричній і алгеб­раїчній:

i(t) = ImeJ(ct+Vi) = Im cos(cot + yi) + jIm sin(cot + yi) = Re[z(()] + j Im[[(t)]; (3.7) u(() = UmeJ(ct+^) = Um cos(cot + у) +jUm sm(cot + y) = Re[u((Im[u(()]; (3.8) e(() = EmeJ(ct+ve) = Em cos(cot + ye) + jEm sin(cot + ye) = Re[e(()] + j Im[e(t)] .(3.9)

9 Ейлер Леонард, БиІег (1707-1783) - видатний швейцарський математик, фізик, механік і астроном; академік Петербурзької та Паризької АН. У галузі математики вперше використав поняття функції комплексної змінної, зробив значний внесок у теорію чисел, диференціальну геометрію, теорію спеціальних функцій, варіаційне числення, теорію імовірностей, топологію. Працював в області навігації, суднобуду­вання, оптики, опору матеріалів; розраховував політ аеростата.

Рисунок 3.8 - Подання комплексних чисел на комплексній площині

Таблиця 3.4 - Основні операції над комплексними числами

Операція

Співвідношення

Підсумовування

А + В = (А' + В') + } (А" + В" )

Віднімання

А - В = ' - В') + )(А" - В")

Множення

АВ = Ає]а Вє]Р = АВє] (а)

Ділення

А =            = А £](а-Р)

В    ВєіР В

Піднесення до степеня

Ап = Апеі(па)

Добуття кореня

п = 4Ає] (а 1 п)

Сума спряжених комплексних чисел

А + А* = 2 А

Різниця спряжених комплексних чисел

А - А* = )2А"

Добуток спряжених комплексних чисел

АА* = А2

Модулі комплексних гармонік дорівнюють амплітудам Іт, ІІт, Ет, а ар­гументи - повним фазам ) = соґ + ці відповідних синусоїдних струмів, на­пруг і ЕРС. Дійсною частиною комплексних гармонік є миттєві значення в косинусоїдній формі запису, а уявною - миттєві значення, записані в синусоїдній формі. Комплексні гармоніки у виразах (3.7) - (3.9) мають однако­ву частоту, що відповідає усталеному режиму кола з синусоїдними джерелами однакової частоти.

На рис.3.9, а на комплексній площині показана комплексна гармоніка з тими ж параметрами, що і струм, миттєві значення якого зображені на рис.3.7 у вигляді проекцій вектора і ), що обертається.

Комплексні миттєві значення в показниковій формі можна записати як добуток трьох співмножників:

lit) = ImejV lejat;  u(t) = UmejV uejat;  e(t) = EmejV eejat. (3.10)

Перші співмножники у виразах (3.10) є амплітудами гармонік, другі - ви­значаються початковими фазами гармонік. Третій співмножник

ejat = COS (£>t + j Sin G)t,

однаковий в кожному з виразів (3.10), визначає швидкість обертання векторів і називається оператором обертання.

У момент часу t = 0 вирази (3.10) перетворюються в комплексні величи­ни, які мають важливе значення в методах аналізу кіл синусоїдного струму і на­зиваються комплексними амплітудами:

Im = І(0) = ImejVl ;  Um = «(0) = Ume™u ;  Em = e(0) = Eme™e . (3.11)

Рисунок З.9 - Подання синусоїдного струму в комплексній формі

Комплексна амплітуда синусоїдного струму, напруги або ЕРС (Іт, Ц_т,

Е_т) - це комплексне число, модуль якого дорівнює амплітуді (Іт, ит, Ет), а

аргумент - початковій фазі (ціі, ціи, ціе) відповідно струму, напруги або ЕРС.

На комплексній площині комплексні амплітуди є нерухомими векторами (рис.3.9, б).

ll2

Поряд з комплексними амплітудами застосовують комплексні діючі зна­чення , и_, Е ), які відрізняються від комплексних амплітуд тільки модулями. У комплексних діючих значень модулі дорівнюють діючим значенням (І, и, Е) синусоїдних струмів, напруг або ЕРС:

І = ІеУц1';   и = иеуц,и; Е = Ееуц,е. (3.12) Подання гармонічних процесів  однакової частоти в комплексному вигляді дозволяє спростити їх алгебраїчне підсумовування. Для цього викори­стовують   властивість   комутативності   векторів.   Наприклад, алгебраїчне підсумовування трьох гармонічних напруг виконуватиметься так:

и (/) = и1 (/) - и2 (/) + и3 (/) =

= ит1 С08И + Уи\) - ит2 С08(юґ + Ч/и2) + ит3 С08(ю/ + Ч/и3) =

= Яе = Яе

ит1е

ит

- Яе

т1 - ит2 + ит3)е** де        Пт = и те™и = и

т3

+ Яе = Яе

т1 и~т2

Яе

= Яе

т1т2т3

ите

у (ю/)

= ит со$(Ш + у/и),

+ ит3      _     комплексна амплітуда результуючої напруги.

Отже, щоб алгебраїчно підсумовувати миттєві значення синусоїдних струмів (напруг або ЕРС), достатньо провести алгебраїчне підсумовування ком­плексних амплітуд цих струмів (напруг або ЕРС) і від здобутої комплексної амплітуди перейти до миттєвого значення.

На рис.3.10, а показані вектори, які відповідають комплексним амплітудам трьох напруг, що підсумовуються у наведеному вище прикладі, і результат алгебраїчного підсумовування комплексних амплітуд (рис.3.10, б). Результуючий вектор и_т (рис.3.10, б) замикає ламану лінію, утворену векто­рами, що алгебраїчно підсумовуються при їх паралельному перенесенні.

Сукупність векторів, які відповідають комплексним амплітудам (компле­ксним діючим значенням) синусоїдних струмів, напруг або ЕРС і алгебраїчно підсумовуються за законами Кірхгофа, називається векторною діаграмою.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації