Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

На основі комплексних амплітуд синусоїдних струмів і напруг вводиться поняття комплексного опору і комплексної провідності.

Комплексний опір - це відношення комплексних амплітуд (або комплекс­них діючих значень) напруги і струму:

1 = ит / 1_т = и/_. (3.13) У показниковій формі комплексний опір має вигляд:

1 = 2е^,

де  2 = ит /_т = и / - модуль комплексного опору - повний опір;

ф = фм - фг - аргумент комплексного опору.

Величина, обернена комплексному опору, називається комплексною провідністю

¥ = 1/1 = 1 = _/П. (3.14)

У показниковій формі комплексну провідність записують у вигляді

¥ = ¥е~]ф,

де   ¥ = _т / Пт = _ / и   -   модуль   комплексної   провідності   - повна

провідність; - ф = фг - фм - аргумент комплексної провідності.

Основні  поняття,  пов'язані  з  комплексним  поданням синусоїдних струмів, напруг і ЕРС, зведені до табл.3.5.

Таблиця 3.5 - Комплексне подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС

Назва

Позна­чення

Одиниці виміру (найменування/ позначення)

Співвідношення

Комплексне

миттєве

значення

(комплексна

гармоніка)

<(< )

ампер/А

i(t )= Ime] ((tІ ) =

= Im cos(cot + Ці) + jIm sin((Dt + Ці)

 

и(()

вольт/В

u(t ) = Umej (cct u ) =

= Um Cos(ct + цu ) + jUm sin((ct + цu )

 

е(()

вольт/В

e(t ) = Emej ((0t e ) = = Em cos(cot + цe) + jEm sin(cot + цe)

Оператор обертання

 

безрозмірний

eJjct = cos cot + j sin cot

Комплексна амплітуда

 

ампер/А

I   = I ejV і

m    Л m

 

П  Е

вольт/В

U   = U eJ'4>u . e   = E ejve

Комплексне діюче значення

_

ампер/А

I = IejV i

 

и; Е

вольт/В

U = UejV u; E = EejV e

Особливості застосування комплексного подання синусоїдних струмів, напруг і ЕРС ілюструють приклади 3.1 - 3.4.

Приклад 3.1. Записати комплексне миттєве значення, комплексну амплітуду і

комплексне діюче значення напруги: и(ї) = 5соб(109ї - 3п /4) В.

Розв язання. Використовуючи визначення, запишемо комплексне миттєве зна­чення, комплексну амплітуду і комплексне діюче значення даної напруги у вигляді:

и ) =

і (10у і-3л/4)

В;

и

т

5е

І (-3л/4)

5соб(-Зл /4) + І5віп(-3л /4) 5

І 5 В;

л/2

л/2

І (_3л/4)

-5=сов(-Зп /4) + і-5=віп(-3п /4) = -2,5 - і2,5 В.

Приклад 3.2. Записати вираз миттєвого значення струму, у якого комплексне діюче значення і частота становлять відповідно _ = —4 + у 4 мА; / = 50 МГц. Побу­дувати графік (часову діаграму) миттєвого значення струму.

Розв язання. Визначимо комплексну амплітуду та перейдемо від алгебраїчної форми до показникової:

_т=(— 4 + у4))2 = 4л/2(— 1 + у1) = 4л/2\/(—1)2 +12 ■ єу[аШ§(1)+п]= 8єу3п/4 мА.

Комплексне число, що відповідає комплексній амплітуді струму, лежить у другій чверті. Тому, визначаючи аргумент комплексної амплітуди і|/і (див. табл.3.3),

до головного значення arctg (—1) = —п /4 додаємо п.

Перейдемо від комплексної амплітуди до миттєвого значення:

Яе| 1_те = ЯеІ/4) . еІ(2л5-107і) 8со8(п108 і + 3л/4) мА.

На графіку і(і) (рис.3.11) по осі ординат відкладемо струм у міліамперах, по

осі абсцис - дві змінні: час в наносекундах (1нс = 10 9 с) і фазу в радіанах. Період ко­ливань і зсув максимуму струму відносно початку координат у часі становлять: 1        1       ~ „л_8 /4

Т

/   50 ■ 106

2 ■ 10-8 с; і0

со

2л-50-106

-7,5 -10-9 с.

г = 3л /4)

1Ц)

Т=20

4-

-►

\ /Л"

ґ.

1тХ 8 мА

л

'•=-7,5 \

и

 

 

і, нс (п -108 і, рад)

Рисунок 3.11 - Часова діаграма струму     у прикладі 3.2

5

е

Приклад 3.3. Для вузла кола (рис.3.12, а) вибрані напрями трьох струмів у вітках і задані миттєві значення двох з них:

) = 2^(2л106ґ -п/2) мА; і2(ґ) = 1,41^(2л106ґ + 3п/4) мА. Визначити струм І3 ), побудувати векторну діаграму струмів для вузла. Розв язання. Визначимо шуканий струм з рівняння за першим законом Кірх-гофа для даного вузла: і1 ) + і2 ) - і3 ) = 0, звідки і3 ) = і1 ) + і2 ).

а

_

т 2

б

І2 )

Рисунок 3.12 - До прикладу 3.3

Гігґ

\

 

 

0    ГРе '

 

Іт1

в

_т3 Іт 2

0 ГРе

Іт1

Щоб підсумувати миттєві значення струмів і'1 ) та і'2 ), перейдемо до їх ком­плексних амплітуд:

Іт1 = 2е -*/2 =- і 2 мА; Іт 2 = 1,41^'(3п/4) =-1 + )1 мА.

Підсумовуючи комплексні амплітуди _т1  і _т2, визначимо комплексну амплітуду Іт3 шуканого струму і запишемо його миттєве значення:

Іт3 = Іт1 + Іт 2 = - і 2 -1 + І = -1 - І =  (-3п/4) мА;

і3(ґ) = Ре[І_т3еІ (2п^)] = Яе[42єі (-3п/4)еі (2п'106 ґ)] =

= а/2^(2л106ґ - 3п/4) = л/2^^лЮ6^ - 0,375-10-6)] мА. На комплексній площині побудуємо вектори, що відповідають комплексним амплітудам заданих струмів (рис.3.12, б), і векторну діаграму для струмів вузла (рис.3.12, в), яка показує зв'язок між комплексними амплітудами струмів _т1, _т2 і

Іт3 згідно з першим законом Кірхгофа.

Приклад 3.4. На деякій пасивній ділянці кола комплексні амплітуди напруги і струму становлять: Цт = -4 В; _т = -1 + іл/3 мА. Знайти комплексний опір і ком­плексну провідність даної ділянки.

Розв 'язання. Подамо задані комплексні величини в показниковій формі і засто­суємо співвідношення (3.13) і (3.14): Ц т

І =-1 + і/3 = ^(-1)2 +3

= -4 = 4еіп В;

аШ8 (-л )+п] =      - 2п/3

= 2еі 2п/3 мА = 2 -10-3 е] 2п/3 А;

2

Ц

т

4еіп

2 -103 еІп/3 Ом = 2еІп/3 кОм;

т

у =

Ц

2 -10-3 еі 2п/3

^      = 0,5 -10-3 е- Іп/3 См =0,5е"Іп/3 мСм.

2-10-3 еі 2п/3

т

4е

З.5 Елементи r, l, c в колах синусоїдного струму

R0

0

Рисунок 3.13 - Залежність опору резистора від частоти

f

Елемент Я в колах синусоїдного струму називається активним опором. Введення цього терміну викликане необхідністю розрізнювати цей елемент і введені вище комплексний опір (3.13) і повний опір, а також розглянуті нижче декілька видів опорів для даного режиму кіл. Термін активний опір підкреслює також незворотне поглинання енергії в даному елементі.

Стосовно до резистора, який за своїми параметрами найближчий до еле­мента Я, використовують терміни омічний і активний опори. Ці терміни характеризу­ють відмінності у величинах опорів рези­стора при постійному (омічний опір Я^) і

синусоїдному струмах (активний опір -Я(/)). На рис.3.13 показана залежність

опору резистора від частоти Я(/).

Збільшення опору резистора з підви­щенням частоти пояснюється поверхневим ефектом і випромінюванням.

Нехай через лінійний ідеальний активний опір Я проходить синусоїдний струм (рис.3.14, а):

і(() = Іт соб(соґ + ці). (3.15)

Згідно із законом Ома напруга на активному опорі

и (() = ЯІт соб(юґ + ц і )= ит соб(юґ + ці и). (3.16)

З виразу (3.16) виходить, що амплітуда напруги на активному опорі Цт

пов'язана за законом Ома з амплітудою струму Іт: Ц т = ЯІт, а початкові фази

напруги і струму збігаються: ці и = ці і. Отже, миттєві значення напруги і струму

в активному опорі є коливаннями, які перебувають у фазі (рис.3.14, б).

Від співвідношень (3.15) і (3.16), що описують миттєві значення струму і напруги в активному опорі, можна перейти до комплексних амплітуд:

І   = і еіці.   ц   = ЯІ еіці = ц еіци

Отримані комплексні амплітуди дозволяють побудувати векторну діаграму у вигляді двох однаково спрямованих векторів (рис.3.14, в) і визначи­ти комплексні опір і провідність:

Z

R

Um = Rime

J'4>i

R; Y

m

Rime

М-

і = G

R

Lm      imeJWi ~-R~U>

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації