Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 20

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Доданки у виразі (3.49) мають однакову частоту. Тому параметри струму і ) можна знайти, підсумовуючи комплексні амплітуди струмів у вітках:

I е

-тС

] и -2)

+

+ соСите

і (V и +—)

2 . (3.50)

Я сої

Якщо в правій частині рівняння (3.50) винести за дужки спільний множ­ник ите]ЦІи, який є комплексною амплітудою напруги Ц_т на затискачах кола, виходить вираз закону Ома в комплексній формі

Іт = Шт , (3.51)

де У= + -1— еп11+ соСе]7т/2= У_Я     +¥-С - комплексна провідність кола. Я сої

Співвідношення (3.51) показує, що комплексна провідність паралельно з'єднаних елементів Я, Ь, С дорівнює сумі комплексних провідностей цих елементів.

Комплексну провідність в алгебраїчній формі записують у вигляді:

Я

сЬ

1

1

Я   3 (сої соС) = О - ](Вь - Вс) = О - ]В, (3.52)

де В = 1/сої - соС = Вь - Вс - реактивна провідність.

Уявна частина комплексної провідності в загальному вигляді береться зі знаком мінус у зв'язку з тим, що аргументи комплексного опору і провідності як обернених величин відрізняються знаками:

Y =1 = ^—= e ~ Jcp = Ye~Jcp = Y cos ф-jY sin ф. (3.53)

Z

2 1е]ф

У показниковій формі запису комплексна провідність має вигляд:

-]ат^ (В / О) = \у\е~ І®

Y = \l G2 + B 2e

(3.54)

аргумент

72 2 О + В - повна провідність; (-ф) = -атсі^(В /О)

комплексної провідності паралельного кола Я, Ь, С.

Комплексну провідність, подібно комплексним опорам, зображують век­тором на комплексній площині (рис.3.22).

Використання показникової форми запису комплексної провідності до­зволяє визначити комплексну амплітуду струму кола, амплітудні та фазові спів­відношення між напругою і струмом, записати миттєве значення струму:

ї_т = 1те^і = Те-™ите™и = (Чи -ф), (3.55)

=      ; (3.56)

Ч і = Ч и - Ф;

l(t) = Re|/mejrot

Im

Im Cos(M + Уі ) = YUm COs(«t + Уu -ф).

Im

BC

(3.57)

(3.58)

G

о

■+-

а

Im

B

о

Re

Y

(-ф) > о

Im

к

 

о

 

Re

1

Bl

 

о

Re

б

Im

G Re

о

B

G

(-ф) < о Re Y

Рисунок 3.22 - Зображення комплексних провідностей на комплексній площині: а - G; б - YL =-JBL ; в - YC = JBC ; г - Y якщо G Ф о, - B > о; (-ф) > о, ф< о; д - Y якщо G Ф о, - B < о; (-ф) < о, ф > о

Вираз (3.55) показує, що комплексна провідність Y пов'язує згідно із за­коном Ома комплексні амплітуди (комплексні діючі значення) струму і напруги кола:

Y = I_m /Um = I/U . (3.59)

в

З формули (3.56) отримуємо вираз, який пов'язує за законом Ома амплітуди (діючі значення) струму і напруги кола:

Т = /ит = _/и. (3.60)

Підстановка в (3.56) розгорненого виразу для повної провідності (3.54) встановлює зв'язок між струмами у вітках кола:

= ит\1°2 + (ВЬ - ВС)2 = 4_тЯ + (_тЬ - _тС)2 =4Я + _тр ; (3.61)

_ = иЛ/О2+(В~-ВС)^ = 4Г_ЬТ_С? =4_1 + _р2 , (3.62) де _тр =      - _тС |,   _р = _Ь - _С| - відповідно амплітуда і діюче значен­ня реактивної складової струму.

Співвідношення (3.61) дуальні виразам (3.45) для послідовного кола Я, Ь, С і показують, що амплітуди і діючі значення, а отже, і показання вимірювальних приладів у колах синусоїдного струму підсумовуються з ураху­ванням фазових співвідношень відповідних процесів.

Векторні діаграми (рис.3.23), ілюструють амплітудні та фазові співвідно­шення між струмами і напругами в даному колі.

Аргумент комплексної провідності (-ф), як видно з формул (3.55) і (3.57), визначає зсув фаз між напругою і струмом (-ф) = чі -ум і залежно від

параметрів кола (Я, Ь, С) і частоти може змінюватися у межах:

72 < (-ф) <я-/2 . Окремі випадки, які відповідають ємності (-ф) = п/2 та індуктивності (-ф) = -п / 2 , можливі, якщо О = 0 .

За умови, що 0 > (-ф) > -п 12 (В > 0; ВЬ > Вс), струм за фазою відстає

від напруги, що відповідає індуктивному характеру кола. Якщо аргумент ком­плексної провідності змінюється в межах 0 < (-ф) < п/2 (В < 0; ВЬ < Вс), коло має ємнісний характер.

При резонансі коло, що містить елементи Я, Ь, С, має активний харак­тер (ф = 0; вь = вс).

Найменування, позначення та розрахункові формули для різних видів провідності в колах синусоїдного струму зведені до табл.3.8.

Таблиця 3.8 - Провідності в колах синусоїдного струму

Провідність

Позначення

Розрахункові формули

Активна

О

О = Ітя-тЯ = -тЯІЦтЯ = ІЯІЦЯ = -ЯІЦЯ

Індуктивна

Вь

ВЬ = v ®ь = ІтЬитЬ

Ємнісна

Вс

ВС = ІтСІитС

Реактивна

В

В =ВЬ- Вс = V«Ь- соС;   В = -тр/ є^

Комплексна

У

У = О - )В = Ув-= Іт Ю= І/Ц

Повна

У

У = \У\ = у/О2 + В2  = Ітт = І/Ц

Аргумент У

(-Ф)

= - агсі% {ВІ<° ) = ці і - ці и

Порівняння співвідношень для послідовного і паралельного кіл Я, Ь, С показує, що паралельне коло дуальне відносно послідовного. Це означає, що всі співвідношення, отримані для одного кола, можна застосувати для іншого, як­що замінити струм напругою, індуктивність - ємністю, провідність - опором і навпаки, тобто зробити заміну вихідних величин на дуальні.

Приклад   3.6.   Миттєве   значення   струму   в   ємності   кола (рис.3.21)

іс ) = 10сов(106 Ґ + п /2) мА. Параметри кола: Я = 1 кОм; Ь = 1 мГн; С = 2 нФ.

Визначити миттєві значення струмів і напруги кола. Побудувати векторну діаграму. Розв язання. Попередньо записавши комплексну амплітуду струму

ІтС = 10віп/1 мА = 10 ■ 10-3 е^/2 А

і розрахувавши комплексний опір ємності

ЇС =- ] = - ^—г-1-9 = -) 0,5 ■Ю3 Ом,

~С       соС       106 ■ 2■Ю-9

визначимо за законом Ома комплексну амплітуду напруги на затискачах кола:

Цт = ісішС = -]0,5 ■ 103 ■ 10 ■ 10-3в^п/2 = 5 В. Розрахуємо комплексну провідність кола і комплексні амплітуди струмів:

У = - ]{- сС) = \ - ){-^3 -106 ■ 2 ■ 10-9) = 10-3 + у10-3 См =

= 1(Г3л/2£>74 См;   ІтК = Оит = 10"3 • 5 А = 5 мА;

Іт

-тЬ

> -ги

І

106 • 10"3 • 5 = 5 • 10"3е

А = 5е

мА;

Масштаб

1 мА І-1

10"372еІ7г/4  5 * 7,05  10"3еІпІ4 А = 7,05еІ7г/4 мА.

Рисунок 3.24 - Векторна діаграма до прикладу 3.6

За знайденими комплексними амплітудами побудуємо векторну діаграму (рис.3.24) і запишемо миттєві значення напруги і струмів кола:

і(г) = 7,05еов(106 г/4) мА; іЯ ) = 5еов(106 г) мА;

іЬ(г) = 5еов(106г -ті/2) мА; и(г) = 5еов(106г) В.

Зсув фаз між струмом і напругою на затискачах кола дорівнює аргументу комплексної провідності ( ф) = /4 . Дане коло має ємнісний характер.

71

71

1

2

2

3.8 Еквівалентна заміна послідовного з'єднання елементів паралельним і навпаки

Розглянуті в підрозділах 3.6—3.7 поняття комплексних опорів і провідностей дозволяють не тільки обгрунтувати закон Ома в комплексній формі для пасивної ділянки кола, але й еквівалентно подати будь-який лінійний пасивний двополюсник у вигляді послідовного або паралельного кіл Я, Ь, С. При цьому для еквівалентного послідовного кола доцільно використо­вувати комплексний опір, а для еквівалентного паралельного кола — комплексну провідність (рис.3.25).

Яь Я*2, Я3,

ь1, ь2, ь3, ...

сь ^ ^

1

т

2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації