Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 21

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

\_

У

Я=

Рисунок 3.25 - Варіанти еквівалентної заміни пасивного двополюсника послідовним або паралельним колами Я, Ь, С

О,

Ь

Н

С

На рис.3.25 і в подальшому викладенні для того, щоб розрізняти парамет­ри послідовного і паралельного кіл, в позначеннях елементів і величин викори­стовуються індекси: «=» — для послідовного кола; «| | » — для паралельного кола.

Необхідно звернути увагу на неоднозначність показаних на рис.3.25 пере­творень для параметрів Ь і С, пов'язану з тим, що реактивні складові комплекс­них опорів (X = соЬ= -1/ соС=) і провідностей (В = 1/ соЬ - соС ) еквівалентного

кола для заданої частоти со утворюють одне рівняння з двома невідомими Ь і С. Тому один з цих параметрів Ь або С має бути заданий.

Вибираючи як належить параметр одного з реактивних елементів, цей елемент можна виключити (замкнути або розімкнути), і тоді в схемі заміщення залишиться тільки другий реактивний елемент. Варіанти таких еквівалентних замін наведені в табл.3.9.

Таблиця 3.9 - Співвідношення для розрахунку параметрів єдиного реак­тивного елемента в еквівалентних схемах

Знак реактивного опору або провідності

Вибір значення одного з реактивних елементів

Співвідношення для

 

 

розрахунку єдиного реактив­ного елемента

X > 0

 

Ь== X / со

X < 0

Ь= = 0

С== 1/X со

В > 0

С = 0

Ь = 1/Всо

В < 0

Ь со

С = В / со

Встановлення зв'язків між параметрами відповідних елементів послідов­ного і паралельного еквівалентних кіл має не тільки теоретичне, але і практичне значення для складання схем заміщення реальних елементів.

Прикладами практичних задач, в яких необхідно здійснити еквівалентну заміну послідовного кола паралельним або навпаки, є задачі розрахунку кіл, в яких конденсатори і котушки самоіндукції подані відповідними схемами замі­щення. Так, основна схема заміщення конденсатора показана на рис.3.26, а. Щоб спростити розрахунки, іноді використовують еквівалентну послідовну схему заміщення конденсатора (рис.3.26, б). Аналогічні схеми для котушки са­моіндукції зображені на рис.3.26, в (основна схема заміщення) і рис.3.26, г (па­ралельна схема заміщення).

Загалом є два варіанти еквівалентних перетворень:

1) перехід від послідовного кола до паралельного (рис.3.27, а);

2) перехід від паралельного кола до послідовного (рис.3.27, б). Переходячи від послідовного кола до паралельного, для заданих активної

і реактивної складових комплексного опору послідовного кола Я= і Х= визнача­ють активну і реактивну складові комплексної провідності паралельного кола в\\ і В||.о-*

а

Ч

О,

я=

І-о

■Ч

о-ф

в

и

І—-_І

Рисунок 3.26 - Основні схеми заміщення: а - конденсатора; в - котушки самоіндукції; б, г - еквівалентні перетворення цих схем

і і-

<Ч       І-1       І-о [

■ч

а

о,.

о-ф

А

Ч

о—_-_—о

б

Рисунок 3.27 - Еквівалентні перетворення послідовних і паралельних схем

г

Оскільки кола еквівалентні, їх комплексні провідності однакові і тому

у = у==—1 =-Я=- ]Х=-= о - в ,

-»      Я=+ уХ=   (Я=+ уХ= )(Я=- уХ=)     її   ' її

я=    = я=^      X. X.

"7Г2    -~2 '

де О =--- ==;   В =—---== - відповідно активна і реак-

11    Я=2 + Х=2   1 =      11    Я=2 + Х=2  1=

тивна провідність еквівалентної паралельної схеми.

Переходячи від паралельного кола до послідовного, для заданих активної і реактивної складових комплексної провідності паралельного кола О| | і В| | ви­значають активну і реактивну складову комплексного опору послідовного кола Я= іХ=. При цьому використовується рівність комплексних опорів кіл:

~= О,, - ХЩ   (О,, - 7В||)(О||+ ХВ,,)     "   ' =

О|ї       О,, В,, В,,

де Я= =—т—^—т = ~т;   Х= =—т—^—т=—т - відповідно активний і реак-

О2 + в2   у2 + В2 72

тивний опір еквівалентної послідовної схеми. З отриманих співвідношень виходить:

1) розрахунок параметрів Ь і С еквівалентних схем дає неоднозначний ре­зультат, на що вказано вище в даному підрозділі;

2) параметри активних опорів (або провідностей) еквівалентних схем за­лежать від параметрів не тільки активних провідностей (або опорів), але і реак­тивних елементів вихідних схем;

3) параметри реактивних елементів еквівалентних схем визначаються па­раметрами не тільки реактивних елементів, але і активних опорів (або провідностей) вихідних схем;

4) параметри активних опорів (або провідностей) і реактивних елементів еквівалентних схем є функціями частоти;

5) параметри відповідних елементів еквівалентних послідовного і пара­лельного кіл не дорівнюють один одному: ЯЯ| ;   ЬЬ\>   СС,,.

Здобуті розрахункові співвідношення зведені до табл.3.10. Конденсатори зазвичай працюють в режимі, коли в основній паралельній

схемі заміщення опір витікання Я,, значно більший реактивного опору 1/ <сСн , тобто Я >> 1/сС . Цю нерівність можна записати для провідностей у вигляді:

О,«сС,, (3.63)

З отриманих загальних виразів для еквівалентних перетворень виходять наведені в табл.3.11 співвідношення для параметрів елементів еквівалентних схем конденсатора і котушки самоіндукції (рис.3.26).

Таблиця 3.10 - Розрахункові співвідношення для еквівалентних перетво­рень послідовного і паралельного кіл

Складові 2_або У

Перехід від послідовного кола до паралельного

Перехід від паралельного кола до послідовного

Активні

О =   я=   = я=

Оц О =   О 2 + В 2 72

Реактивні

В =   x=   = x=

11    Я= + X=    2=

В і В,,

= ~ О2 + В 2~ 72

З урахуванням співвідношення (3.63) параметри послідовної схеми заміщення конденсатора (див. табл. 3.11) становитимуть:

о,,       1        Яі ^ (юСи)2 =

(соСу)2 яСу)2  (я^Су)2    11        ю2Сц| м

Отже, ємності в паралельній і послідовній схемах заміщення для даного режиму роботи конденсатора приблизно однакові, а опори - обернено про­порційні один одному.

Найпоширенішому режиму роботи котушок самоіндукції в техніці відповідає умова

ю£= >> Я=. (3.64)

При цьому параметри паралельної схеми заміщення котушок самоіндукції (див. табл. 3.11) становитимуть:

11   (со£=)2 я= =    11 со2£=

Особливості співвідношень між параметрами паралельної і послідовної схем заміщення котушки самоіндукції для розглянутого режиму роботи ана­логічні отриманим вище для конденсатора.

Таблиця 3.11 - Співвідношення для розрахунку параметрів елементів

еквівалентних схем конденсатора і котушки самоіндукції

Реальний елемент і його основна схема заміщення

Параметри еквівалентних активних опорів і провідностей

Параметри еквівалентних реактивних елементів

К он

онденсат

°р

м>

О

Я= =-у2

о2 + (сос)

О2 + (сос )2

С===   "   "

С||

Котушка самоіндукції о-| |_ПППП_о

о|1 = Я= + і= )2

11 ~ со2Ь=

3.9 Закони Кірхгофа в комплексній формі

Закон Ома в комплексній формі застосовується тільки для розрахунку па­сивних ділянок кіл синусоїдного струму. Щоб розраховувати розгалужені кола синусоїдного струму з джерелами, застосовують закони Кірхгофа в комплексній формі.

Перший закон Кірхгофа в комплексній формі.

У колі синусоїдного струму для будь-якого вузла, до якого увімкнено М віток, рівняння згідно з першим законом Кірхгофа для миттєвих значень струмів може бути записане у вигляді алгебраїчної суми10 :

М

X Ішк С08(СОҐ + У ік ) = 0. (3.65)

к=1

10 Усі записані в цьому підрозділі суми є алгебраїчними; знаки доданків вибираються згідно з правилами, які застосовують, складаючи рівняння за законами Кірхгофа.

Після підстановки миттєвого значення к-го струму, вираженого за допо­могою комплексної амплітуди

Ітке

ліва частина рівняння (3.65) набуде вигляд суми проекцій векторів, що оберта­ються з однаковою кутовою частотою со :

М г

к=1

З огляду на властивість комутативності векторів (сума проекцій векторів дорівнює проекції суми цих векторів), з рівняння (3.66) виходить:

0

(3.66)

м

Яе  X Ітк^1 к=1

м

Х Ітк

к=1

0.

(3.67)

Співвідношення (3.67) показує: в будь-який момент часу проекція векто­ра, що обертається з кутовою частотою со

" м

Х Ітк

к=1

дорівнює нулю. Це можливо, якщо цей вектор дорівнює нулю

,І®і

м

IV!

XІ

к=1

тк

0

(3.68)

Співвідношення (3.68) є математичним записом першого закону Кірхгофа в комплексній формі.

Розділивши ліву і праву частини рівняння (3.68) на 42, отримаємо запис першого закону Кірхгофа в комплексній формі для комплексних діючих зна­чень синусоїдних струмів:

м

X Ік = 0

(3.69)

к=1

Формулювання першого закону Кірхгофа в комплексній формі:

у вузлі кола синусоїдного струму алгебраїчна сума комплексних амплітуд (комплексних діючих значень) синусоїдних струмів віток дорівнює нулю.

Другий закон Кірхгофа в комплексній формі.

Рівняння, складене згідно з другим законом Кірхгофа для миттєвих зна­чень всіх К напруг у контурі та N ЕРС кола синусоїдного струму, має вигляд:

К N

X итк + 4>ик ) Етп + Ч> еп ). (3.70)

к=1 п=1

Якщо у рівняння (3.70) підставити миттєві значення напруг і ЕРС, виражені через комплексні амплітуди

итк СОв(с^ + Ч>ик ) = ЯеРтке Ет„ СОВИ + Уеп) = Яет„Є]^+Уеи)

(3.71)

рівняння матиме вигляд:

к     Г 1    N     Г 1

к=1 и=1

Перетворюючи рівняння (3.71) подібно тому, як це було зроблене вище при виведенні першого закону Кірхгофа в комплексній формі, можна записати:

" К

У Цтк к=1 ' N

У Е

/-* —ти

п=1

звідки виходить другий закон Кірхгофа в комплексній формі:

І Цтк = І Ети , (3.72)

к=1 и=1

або для комплексних діючих значень:

К N

ІШ = ІЕи. (3.73)

к=1и=1

Якщо кожну з напруг у лівій частині рівнянь (3.72) і (3.73) подати згідно із законом Ома в комплексній формі, другий закон Кірхгофа в комплексній формі можна записати у вигляді рівнянь:

К N

І ^к^тк = І Ети; (3.74)

к=1 и=1

К N

У Ікік

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації