Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 25

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

= »Ь21т2 cos(cot + чі2 + п/2) ± »М1т1 cos(cot + уі1 + п/2). (3.100) Застосування методу комплексних амплітуд для підсумовування синусої­дних складових у виразах (3.99) і (3.100) призводить до запису миттєвих зна­чень напруг у вигляді:

«п = ^\ітЬ1ЄМ ] ; «Ь2 = ЯеЦті 2^ ] . (3.101)

Комплексні амплітуди напруг у виразах (3.101) пов'язані з комплексними амплітудами струмів співвідношеннями:

ПтЬ1 = 1т1 ± І»М1-т2 = 1 1т1 ± ^М1т2; (3.102)

ПтЬ2 = І»121т2 ± І»М1-т1 = ^12Іт2 ± ZM1m1, (3.103)

де 1т1 = 1т1е]Чп ; 1т2 = 1т2в]ХЧі2 - комплексні амплітуди заданих струмів;

т1       т1 ' —т2

= І»Е1; ^ь2 = І»Е2 - комплексні опори індуктивностей; ^М = ]»М = ]ХМ - комплексний опір взаємоіндукції; ХМ = »М - опір взаємоіндукції.

У співвідношеннях (3.99), (3.100), (3.102) і (3.103) відповідно миттєві значення напруг взаємоіндукції (записані із застосуванням функції косинуса), а також їх комплексні амплітуди при узгодженому увімкненні збігаються за зна­ком зі складовими напруг самоіндукції, а при зустрічному увімкненні мають протилежні знаки. Схеми ділянки розглядуваного кола показані на рис.3.34.

Здобуті в комплексному вигляді співвідношення (3.102), (3.103) між на­пругами і струмами для двох індуктивно зв'язаних елементів можна застосову­вати до кіл з будь-якою кількістю взаємних індуктивностей. Складаючи для та­ких кіл рівняння за другим законом Кірхгофа, необхідно у виразі для комплекс­ної напруги на кожному індуктивно зв'язаному елементі, крім комплексної на­пруги самоіндукції, записувати всі комплексні напруги взаємоіндукції з ураху­ванням їх знаків відповідно до характеру увімкнення.

Рисунок 3.34 - Ділянка кола із взаємною індуктивністю: а - для узгодженого; б - зустрічного увімкнень

Для розрахунку лінійних кіл із взаємними індуктивностями комплексним методом, окрім методу рівнянь Кірхгофа (див. приклад 3.11) застосовують без додаткових перетворень метод накладання. Для розв'язання окремих задач ви­користовують прийоми еквівалентних перетворень і метод еквівалентного ге­нератора. Застосування методу вузлових напруг у комплексному вигляді для розрахунку кіл з взаємними індуктивностями без додаткових перетворень уск­ладнене.

Приклад 3.10. Для кола (рис.3.35,а) визначити миттєве значення напруги и 2(ґ)    на    розімкнених    затискачах    індуктивності    Ь2 = 100    мГн, якщо

и1(ї) = 10сов(106 ї + п/4) В; к = 0,707; Ь1 = 1 мГн; Я = 1 кОм.

Рисунок 3.35 - Схеми кіл у прикладах 3.10 (а) і 3.11 (б)

Розв язання. Використовуючи співвідношення (1.29) для коефіцієнта зв'язку к, визначимо взаємну індуктивність:

М = ^Ь1Ь2 = 0,707л/100 ■ 10"6 = 7,07 ■ 10"3 Гн = 7,07 мГн.

Щоб розв'язати задачу комплексним методом, запишемо комплексну ампліту­ду заданої напруги і визначимо комплексні опори елементів кола:

У_т\ = Юе]П/4 В; 2ІХ = /ш^ = /106 ■Ю"3 = /103 Ом = /1 кОм; 2_М = /соМ = /106 ■ 7,07 ■Ю"3 = /7,07 ■Ю3 Ом = /7,07 кОм. Розрахуємо комплексну амплітуду струму:

и           10р/п/4 /т1 =   ~т1   = ----- = 7,07 ■ 10"3 А = 7,07 мА.

Враховуючи узгоджений характер увімкнення індуктивно зв'язаних елементів і відсутність струму в розімкнених затискачах індуктивності , визначимо комплек­сну амплітуду шуканої напруги:

Ит2 = Їм1т1 = /7,07 ■ 103 ■ 7,07 ■ 10"3 = /50 В.

Запишемо миттєве значення напруги:       ) = 50соб(106 ї + п/2) В.

Приклад 3.11. Скласти у загальному вигляді необхідну і достатню кількість рівнянь для визначення у комплексному вигляді струмів кола (рис.3.35, б) методом рівнянь Кірхгофа. Параметри елементів кола, а також комплексна амплітуда і частота джерела ЕРС задані.

Розв 'язання. Виберемо умовні позитивні напрями для комплексних амплітуд струмів у схемі, пронумеруємо вузли, виберемо два незалежних контури і напрями обходу в них (рис.3.35, б), після чого складемо необхідну і достатню кількість неза­лежних рівнянь Кірхгофа в комплексній формі:

-т1 " -т2 " -т3 = 0; (3.104) ИтЬ1 + ЦтЬ3 + -т3//юС + Я1 /„,1 = Е; (3.105) ИтЬ2 + Я22 " -т3//<»С " Ц„Ь3 = 0 . (3.106)

Запишемо вирази для комплексних амплітуд напруг на індуктивностях, врахо­вуючи характер увімкнення:

= -т1 " І®М 12-т2 " І®М 13-т3 ; (3.107)

ЦтЬ2 = №72-т2 " У<»М12-т1 + У<»М23-т3; (3.108) ИтЬ3 = •/о73 -т3 " ^М13-т1 + ./<»М23-т2. (3.109)

Підставимо вирази (3.104) - (3.106) до (3.107) і (3.108) і згрупуємо доданки:

1 +/ю(7^13)т1М2312)-_т2+/ [ю(^"М^) "1/юС]3= Ет; (3.110) /ю( М13-М12)1+ [%+/<»(       М 23)]/т 2+/ [ю(М 23-^3^ 1/юС ] -_т 3= 0.(3.111)

Рівняння (3.104), (3.110) і (3.111) записані у впорядкованій формі і дозволяють знайти комплексні амплітуди струмів даного кола, застосовуючи визначники.

Зазначимо, що дане коло має одне джерело енергії, однак безпосередньо визна­чити еквівалентний комплексний опір відносно затискачів джерела ^ е методом пере­творень не можна, а лише після розрахунку струмів: ^е = Е_т /-т1.

3.13.2 Еквівалентні перетворення ділянок кіл із взаємними індуктивностями

Метою перетворень ділянок кіл із взаємними індуктивностями є заміна їх еквівалентними схемами без елементів з індуктивними зв'язками. До основних прийомів належать еквівалентні перетворення при послідовному і паралельно­му з'єднаннях віток з індуктивними елементами, а також перетворення взаємних індуктивностей, які мають спільну точку з'єднання [7, с.235-243].

На практиці частіше застосовують послідовне з'єднання індуктивно зв'язаних котушок самоіндукції. Схеми заміщення для двох котушок зображені на рис.3.36. При цьому характер увімкнення котушок, незалежно від напряму струму, визначається послідовністю увімкнення однойменних затискачів.

Рисунок 3.36 - Послідовне з'єднання індуктивно зв'язаних котушок: а - для узгодженого; б - зустрічного увімкнень

Співвідношення між комплексними амплітудами струмів і напруг для уз­годженого і зустрічного (рис.3.36) увімкнень мають вигляд:

^12 = И1 + ит2 = К1 іш + Лїм ± №М1-т + К2Іт ^2їм ± і®>М1-ш= = [Р1 + + і?2 + ]іт = (Д + І®Ье )Іт

де Ье1 = к + М ; Ье2 = Ь2 + М; Ье = Ь1 + Ь2 + 2М - еквівалентні індуктивності відповідно першої котушки, другої котушки і всього кола при уз­годженому     увімкненні;     Ье1 = Ь1 - М; Ье2 = Ь2 - М; Ье = І1 + Ь2 - 2М -

відповідні еквівалентні індуктивності при зустрічному увімкненні.

У виразі (3.112) напруги взаємоіндукції при узгодженому увімкненні мають знак плюс, а при зустрічному - знак мінус.

Вираз (3.112) дозволяє побудувати векторні діаграми (рис.3.37).

Співвідношення для послідовного з'єднання індуктивно зв'язаних коту­шок, а також побудовані векторні діаграми дозволяють зробити висновки:

1) при узгодженому увімкненні еквівалентні індуктивності кожної з ко­тушок збільшуються на М , а еквівалентна індуктивність всього кола (Ье = Ь1 + Ь2 + 2М) збільшується на 2М порівняно з випадком відсутності

взаємоіндуктивних зв'язків; при узгодженому увімкненні та максимальномузв'язку     (k = 1; М = ■\]Lll2)     еквівалентні    індуктивності становитимуть

Le1 = l1 + ^44 ,   Le2 = L2 +7А42'   Le = l1 + l2 + 2%/44 = (>ДЇ + V4 )  ; якщо

при цьому індуктивності однакові (L1 = L2 = L), то Le = 4L;

Рисунок 3.37 - Векторні діаграми при послідовному з'єднанні індуктивно зв'язаних котушок: а - узгоджене; б - зустрічне увімкнення, 41 < М, 42 > М

2) при зустрічному увімкненні еквівалентні індуктивності кожної з коту­шок зменшуються у порівнянні з випадком відсутності взаємоіндуктивних зв'я­зків на М, а еквівалентна індуктивність всього кола зменшується на 2М; при максимальному зв'язку (к = 1) і зустрічному увімкненні еквівалентні індуктив­ності становитимуть:

4і = А ~ уі4А ,    = 4 ~уіеіе2 , 4 = 4 + 4 - 2-744 = (л/4 ~лР^2) ;

при цьому еквівалентна індуктивність кола або додатна, якщо 41 ф 42, або дорівнює нулю (= 0), якщо індуктивності однакові (41 = 42 = 4);

3) еквівалентні індуктивності кола при узгодженому і зустрічному увімкненнях відрізняються на 4М; при максимальному зв'язку ця відмінність

становитиме 4^4142 , а у разі однакових індуктивностей - 44;

4) при зустрічному увімкненні, сильному зв'язку та істотній відмінності індуктивностей   за   величиною   (41 << 42    або    41 >> 42) еквівалентна

індуктивність котушки з меншою індуктивністю може стати від'ємною (4е12 = 412 - М < 0); комплексний опір такої котушки матиме ємнісний харак­тер, а коло, загалом, - індуктивний характер; наприклад, векторна діаграма (рис.3.37, б) відповідає варіанту, коли 4е1 = 41 -М < 0.

Залежність еквівалентної індуктивності послідовно сполучених індукти­вно зв'язаних котушок від величини зв'язку і характеру увімкнення використо­вується у варіометрах - пристроях, які дозволяють змінювати індуктивність, а також при виготовленні дротяних резисторів з малою індуктивністю.

Приклад 3.12. Повні опори двох послідовно з'єднаних індуктивно зв'язаних котушок (рис.3.36) з параметрами (Я1 = Я2 = Я 41 = 42 = 4) на частоті / = 1 МГц

дорівнюють при узгодженому увімкненні Zзг = 1,414 кОм, а при зустрічному -Zзс = 1 кОм. Знайти активний опір Я , індуктивність 4 кожної котушки та їх взаємну індуктивність М , якщо коефіцієнт зв'язку к = 0,5.

Розв 'язання. Запишемо співвідношення для повних опорів при узгодженому і зустрічному увімкненнях:

Zзг = ^/(2Я)2 + [со(24 + 2М)]2; Zзс = ^/(2Я)2 + [со(24 - 2М)]2.

Підставляючи задані значення повних опорів і частоти, а також використо­вуючи співвідношення для коефіцієнта зв'язку для ідентичних котушок к = 0,5 = М / 4, отримуємо систему з двох рівнянь з двома невідомими:

1414 = 2д/Я2 +(2л-106 -1,54)2;        1000 = 2д/Я2 + (2п-106 ■ 0,54)2. Піднісши до квадрата ліві та праві частини рівнянь, маємо:

0,5 ■ 106 = Я2 + 9п2101242; 0,25-106 = Я2 + п2101242 ,

звідки після елементарних перетворень отримуємо:

10-3 Н 75

4 = -=^ = 56,27 мкГн; Я = А-?—103 = 468 Ом; М = 0,54 = 28,135 мкГн. л/32п v 8

3.13.3 Лінійний трансформатор

Трансформатором називається пристрій, призначений для перетворення амплітуд і початкових фаз напруг і струмів, принцип дії якого оснований на явищі взаємоіндукції. Історично поява трансформаторів значною мірою обумо­вила широке практичне застосування синусоїдних струмів у другій половині XIX ст. Перші практичні і теоретичні роботи, пов'язані з трансформаторами, виконали Яблочков13, Ферраріс14, Доливо-Добровольський15, Тесла16.

13

Яблочков Павло Миколайович (1847-1894) - військовий інженер, винахідник у галузі електротехніки. Розробив і вдосконалив перше джерело світла (електрична свіча), генератори і хімічні джерела струму, трансформатор (патент - у 1876 р.). Ініціював централізоване виробництво електроенергії.

14 Ферраріс Галілео, Ferraris (1847-1897) - італійський фізик і електротехнік. Основні роботи присвячені теорії і практичному застосуванню змінних струмів. У 1884-1887 рр. одним з перших виконав дослідження трансформаторів. Відкрив явище магнітного поля, що обертається, і на цій основі створив модель асинхронного двигу­на. Працював також в області оптики і теорії тепла.

15 Доливо-Добровольський Михайло Йосипович (1862-1919) - електротехнік. Зба­гатив електротехніку низкою видатних відкриттів і винаходів, розробив усі пристрої (генератори, двигуни, трансформатори, лінії передачі) для трифазних систем. Створив

Залежно від призначення розрізнюють силові однофазні та трифазні трансформатори в блоках живлення пристроїв СТЗІ та електроенергетиці, ви­сокочастотні трансформатори для перетворення сигналів (інша назва - зв'язані коливальні контури), узгоджувальні трансформатори для перетворення опорів, імпульсні трансформатори, вимірювальні трансформатори та ін.

Крім призначення, трансформатори класифікують і за іншими ознаками -кількості індуктивно зв'язаних котушок (обмоток), наявності або відсутності нелінійних елементів (лінійні та нелінійні трансформатори), ступеня ідеалізації (реальний, довершений та ідеальний трансформатори), конструктивним озна­кам (матеріал і геометрія осердя), можливості плавного регулювання парамет­рів (настроювальні трансформатори, автотрансформатори).

У даному підрозділі розглядається лінійний трансформатор з двома об­мотками. Схема реального лінійного трансформатора з двома обмотками пока­зана на рис.3.38. Параметри з індексом «1» відповідають первинній обмотці, а з індексом «2» - вторинній. Вказані на рис.3.38 напрями комплексних діючих

17 • 18

значень струмів _1; _2 і комплексних діючих значень напруг Ц_ 1; и 2 = Ц_н є стандартними, якщо розглядати дане коло як чотириполюсник (затискачі 1, 1' є вхідними, а затискачі 2, 2' - вихідними), і відповідають зустрічному характеру увімкнення взаємних індуктивностей. Активні опори Я1, Я2 враховують втрати

в обмотках трансформатора.

Рівняння реального трансформатора, складені згідно з другим законом Кі-рхгофа для вибраних контурів I, II і напрямів струмів і напруг, мають вигляд:

(Я1 +      ) 11 - ;юМ7 2 = и 1;   - УюМ/1 + (Я2 + Ь2 + ) _2 = 0. (3.113)

Теоретичне і практичне значення має режим холостого ходу у вторинній обмотці трансформатора (рис.3.39). У цьому випадку 2н -—оо ; _2 = 0 і рівнян­ня (3.113) набудуть вигляду:

(Р1 + М0_1х.х = ^    - ^М1_Ых + и2х.х = 0. (3.114)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації