Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 27

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Двополюсну схему заміщення для розрахунку струму 12 реального

трансформатора будують, виходячи з виразу (3.121). До входів спрощеної (рис.3.43, а) і розгорненої (рис.3.43, б) схем прикладено напругу холостого хо­ду у вторинній обмотці и 2 хх, а комплексний опір, що вноситься, становить:

12вн -1

М

X

М

1 іі    Їїіі + ХХ;;   (Ян + хХц)(Яц - хХц)

ЇЇ2вн + Хг™, (3.123)

де Я2вн

Я121 + Х121

1

Х2вн --

Я121 + Х121

11

відповідно

'11 ^11^41 ^11

активний і реактивний опори, що вносяться з первинної обмотки у вторинну; я1; + Хц - повний опір первинної обмотки. Структура і склад елементів двополюсної схеми заміщення для розрахун­ку струму І2 відповідають визначенню цього струму за методом еквівалентного генератора напруги (за теоремою Тевенена). Комплексний опір 12вн, що вноситься, має значення вхідного комплексного опору еквівалентного генератора 1вх. Тому ця схема заміщення дозволяє не тільки аналізувати ре­жим у вторинній обмотці, але і розглядати можливості узгодження наванта­ження з генератором за критерієм максимальної активної потужності у навантаженні.

1    — 1

—2вн    —вх

2 о-

2 х.х

2' о­

1

1

22

~2 Я2вн—Двх хХ_2вн ІХвх\ и 2 х.х

2' о-

ЇЇ22

22

а б Рисунок 3.43 - Двополюсні схеми заміщення для розрахунку струму 12

І

2

Для ідеального трансформатора Я; Я2 — 0;  1 ;1 х'соТ^ —» да; 122 х'сок2 —» да; ХМ — шМ —» да .

Тому в двополюсних схемах заміщення ідеального трансформатора (рис.3.44) активні опори, що вносяться, дорівнюють нулю, а реактивні опори, що вносяться, і напруга холостого ходу становлять відповідно:

Х     —-ХМ X22     (юМ )2         .

вн-     ~2    ~    ; ~2   ~ шм;

1

22

Х

2вн

2 2'    —2х.х        гу т т 1'

1

11

4)2

1 іі

де п М / Ь1 - коефіцієнт трансформації.

1 о

1'

11

и і

4

а

1 н / П 2 о-

2' о­

4

б

к2

1 н

Рисунок 3.44 - Двополюсні схеми заміщення ідеального трансформатора

І

и

Приклад 3.13. Реальне джерело синусоїдної напруги (рис.3.45,а) з параметра-Е = 30 В, Яі = 75 Ом увімкнене до входу ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації п = 10. Трансформатор навантажений на активний опір Ян = 2,5 кОм. Розрахувати струм джерела, а також струм, напругу і потужність в

опорі навантаження.  Визначити опір навантаження,  при якому потужність навантаженні буде максимальною, і величину цієї потужності.

в

Е и1

2

ф

Е и 1

ь

а б Рисунок 3.45 - Схеми кіл у прикладах 3.13 (а), 3.14 (б)

и

Розв язання. Використовуючи двополюсну схему заміщення ідеального транс­форматора (рис.3.44, а), розрахуємо струм джерела:

Е 30

І1 =

Яі + Ян / п2   75 + 2,5 ■ 103/102

= 0,3 А = 300 мА.

Визначимо напругу на вхідних затискачах трансформатора:

и 1 = Е -     1 = 30 - 75 ■ 0,3 = 7,5 В. Застосовуючи  двополюсну  схему  заміщення  ідеального трансформатора (рис.3.44, б), розрахуємо струм, напругу і потужність у навантаженні:

І2 =       = 10'1,5 = 0,03 А = 30 мА; и2 = ЯнІ2 = 2,5 ■ 103 ■ 0,03 = 75В;

Ян    2,5 ■Ю3

Рн = Ян/22 = 2,5 ■ 103 ■ 0,032 = 2,25 Вт.

Щоб отримати максимальну потужність у навантаженні, активний опір, що вноситься у первинну обмотку, має дорівнювати внутрішньому опору джерела:

Я

звідки визначається необхідний для досягнення максимальної потужності опір наван­таження:

Ян = п2Я; = 102 ■ 75 = 7,5 ■ 103 Ом = 7,5 кОм. Розрахуємо режим роботи кола для знайденого значення опору навантаження:

Е 30

11 =

Я + Ян/п2   75+7,5■103/102

/ XI ^

= 0,2 А = 200 мА.

и 1 = Е - Яі11 = 30 - 75 ■ 0,2 = 15 В;

2

Я    7,5-10З '

г2     тсілЗ   л ло2

0,02 А = 20 мА; Ц2 _ ЯнІ2 _ 7,5 ■ 10З ■ 0,02 _ 150 В;

Рн _ Яні2 _ 7,5 "10 ■ 0,0Г _ З Вт.

Приклад 3.14. Реальне джерело з параметрами, наведеними у прикладі З.1З, і активний опір Ян _ 2,5 кОм увімкнено до затискачів довершеного трансформатора (рис.З.45,б). Індуктивності обмоток трансформатора і частота джерела дорівнюють відповідно: 7^ _ 0,005 Гн; 7^ _ 0,5 Гн; / _ 5 кГц. Розрахувати струм джерела, а та­кож струм, напругу і потужність в опорі навантаження. Порівняти режим роботи да­ного кола з режимом для ідеального трансформатора (приклад З.1З).

Розв 'язання. Розрахуємо коефіцієнт трансформації, взаємну індуктивність і ку­тову частоту джерела:

"0У

М _   Ь1Ь2 _д/0,005 ■ 0,5 _ 0,05 Гн;

п _

Ті _

Ех \

0,005

_10;

со_ 2л/ _ 2 ■ З,14 ■ 5 "10З _ З,14 -104 рад/с.

Щоб визначити струм джерела за двополюсною схемою заміщення (див. рис.З.42), попередньо розрахуємо активний і реактивний опори, що вносяться:

й,вн _^юМ^_   Л4 З104 • 5■10-2 ) 24 2,5■10З 2 _ 24,З8

Я2 + (ю72)2   (2,5 ■ 10З)2 + (З,14 ■ 104 ■ 5 ■ 10-1)2

М)2ю72      (З,14 104 ■ 5 ■ 10-2)2 ■ З,14 104 ■ 5 ■ 10-1

Хл    _--2-2 _--З-!-4-г~2-_-15З,2 Ом.

Я2 + (ю72)2        (2,5 ■ 10З)2 + (З,14 ■ 104 ■ 5 ■ 10-1)2

Згідно з виразом (З.120) струм у первинній обмотці (струм джерела):

і1 __ _ 711 + 21вн     Яі + /ю71 + Я1вн + - 1вн

_-—-_-—-_ 0,З01 - І0,0117 _ 0,З02е~}2,2З6 А.

75 + /157,1 + 24,З8 - /15З,2   99,З8 + /З,9

Визначимо напругу на вхідних затискачах трансформатора:

Ц 1 _ Е - Яі11 _ З0 - 75(0,З01 - /0,0117)_ 7,З95 + /0,88З _ 7,4476,8070 В. Оскільки даний трансформатор довершений, напругу на його вторинній обмотці розрахуємо у вигляді:

Ц2 _ пЦ 1 _ 10 ■ 7,4476,810 _ 74,476,810 В.

Використовуючи знайдену напругу на вторинній обмотці, визначимо струм і потужність у навантаженні:

12 _£2_ 74,47б/6З810 _ 0,02986і6,810 а; Рн _ Яні22 _ 2,5 40З ■ 0,02982 _ 2,2184 Вт.

і

2

Порівняння результатів, отриманих в даному прикладі, з результатами розрахунків для ідеального трансформатора у прикладі З.1З (11 _ 0,З А; 12 _ 0,0З А;

Ц2 _ 75 В; Рн _ 2,25 Вт), дозволяє зробити такі висновки:

1) діючі значення струмів і напруг, а також потужність в навантаженні для до­вершеного трансформатора менше на величину порядку одиниць відсотків у порівнянні з ідеальним трансформатором;

2) відношення струмів первинної та вторинної обмоток у довершеного транс­форматора відрізняється від коефіцієнта трансформації і є комплексним числом:

_ і, _ 00Ше^ _ _/9,0460 ;

І2 0,0298б/6,81

3) якщо у ідеального трансформатора, навантаженого на активний опір, всі струми і напруги збігаються за фазою з ЕРС джерела, то у довершеного трансформа­тора існують фазові зсуви між ЕРС джерела і струмами.

3.14 Усталений синусоїдний режим у нелінійних резистивних колах

3.14.1 Апроксимація характеристик нелінійних елементів

Зазвичай характеристика у _ /(х) нелінійного елемента визначається не

теоретично, а експериментально і тому задається графіком чи таблицею. Але для аналізу кола ці характеристики мають бути подані в аналітичній формі. Зрозуміло, що аналітична залежність лише приблизно визначає фактичну фор­му характеристики, хоча наближення може бути як завгодно точним. Приблиз­не подання нелінійної характеристики називають апроксимацією.

Вибір способу апроксимації безпосередньо не пов'язаний з фізичною природою елемента; цей спосіб обумовлюється формою нелінійної характери­стики та розрахунковими міркуваннями.

Якщо дія на елемент не виходить за певні межі (наприклад, х1...х2 на

рис.З.46, б), апроксимуюча функція має апроксимувати тільки так звану робочу ділянку характеристики, тобто ділянку, в межах якої може переміщуватися ро­боча точка (МИ на рис.З.46). Чим менша робоча ділянка кривої, тим простішою може бути апроксимуюча функція.

Існує багато різних методів апроксимації характеристик нелінійних еле­ментів. До найрозповсюдженіших методів належать апроксимація степеневим

20

поліномом та кусково-лінійна (метод А.І. Берга ).

Нехай до нелінійного елемента прикладена постійна дія х0 (рис.З.46), так

зване "зміщення". Тоді у0 _ /(х0) - значення функції в точці х0.

20

Берг Аксель Іванович (1893-1979) - російський вчений у галузі радіоелектроніки та кібернетики, академік (1946), інженер-адмірал (1955), Герой Соціалістичної Праці (1963). Основні праці присвячені розробці теорій і методів проектування та розрахун­ку приймально-передавальних пристроїв, стабілізації частоти генераторів, питанням радіопеленгування і радіолокації. Автор багатьох підручників з радіотехніки.

Змінюючи хо на Ах, функцію у можна розвинути в ряд Тейлора: у = / (хо + Ах) = / (хо) + /'(Хо)Ах + 2 / "(х0)Ах2 + | / ""(хо)Ах3 + ... , (3.124)

де ї" (хо) = ^ о (крутклъХ /" (Хо): точці х = хо .

значення похідних функції / (х) в

у

ї (х)

о

N

хо хо +Ах

х

 

у

 

 

 

 

 

N

б

 

 

 

м

----5/

<< 

 

 

 

о х2

х

Рисунок 3.46 - Апроксимація характеристик нелінійних елементів

Оскільки Ах = х - хо, вираз (3.124) можна записати так:

1 2

У = ї(х) = ї(хо) + ї(хо)(х - хо) + -ї"(хо)(х - хо) + к . (3.125)

Формула (3.125) є аналітичним виразом характеристики нелінійного еле­мента у вигляді степеневого ряду. Якщо обмежитись деяким числом п до­данків, отриманий поліном п-го степеня буде приблизно апроксимувати цю ха­рактеристику:

п к

/(х) = Xак(х - хо) .

у

(3.126)

к=о

Коефіцієнти сік не обов'язково мають бути пропорційними похідним

функції в точці хо. Коефіцієнти ак підбирають так, щоб апроксимуючий

поліном (3.126) найкраще відображав робочу ділянку характеристики, а число п було мінімально можливим.

Інший метод апроксимації - кусково-лінійний - грунтується на тому, що характеристика у = / (х) поділяється на кілька (у найпростішому випадку - на

дві чи три) ділянок, які наближено вважаються прямими. Для характеристики (наприклад на рис.3.46, б) вираз для апроксимуючої функції матиме вигляд:

о,   х < х1;

у = / (х) = <{5 (х - х1),   х1 < х < х2; (3.127)

у5,   х > х2 ,

де 5 = у8 /(х2 - х1) - крутість ділянки функції між точками х1, х2 .

Використовувати кусково-лінійну апроксимацію доцільно, якщо робоча ділянка охоплює значну частину характеристики (наприклад, MN на рис.3.46, б). Застосування степеневого полінома в цьому випадку усклад­нюється тим, що для забезпечення апроксимації із заданою точністю необхідне велике значення n.

Залежно від вигляду нелінійної характеристики, застосовують також інші методи апроксимації, зокрема, степеневою, показниковою або логарифмічною функціями, але ці методи менш поширені.

3.14.2 Нелінійний активний опір при синусоїдній дії

Нехай до нелінійного опору R(i) прикладено напругу

u(t) = U0 + Um cos cot. (3.128)

На рис.3.47 зображена ВАХ опору і показана побудова кривої струму i(t) через цей опір. Внаслідок нелінійності характеристики форма струму відрізняється від косинусоїдної. Функцію i(t) можна подати рядом Фур'є:

оо

i(t) = I0 + X Imk cos(kct k ), (3.129)

k=1

де I0 - постійна складова струму; Imk; уk - амплітуди та початкові фази гармонічних складових, причому

1 п 2 п

I0 = Ji(cot)dcot;     Imk = Ji(cot)cos(kcot)dcot. (3.130) п о п о

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації