Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 28

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Поява у складі струму вищих (k > 2) гармонік обумовлена нелінійністю ВАХ. Отже, нелінійні елементи, загалом, і нелінійні опори, зокрема, мають властивість перетворення частоти, оскільки функція відгуку містить коливання з новими частотами, яких немає у складі функції дії. Цим нелінійні кола прин­ципово відрізняються від лінійних, де виникнення вищих гармонік неможливе.

У пристроях СТЗІ нелінійні перетворення використовують для генеруван­ня коливань складної форми, множення частоти тощо.

Розрахунок складових струму i(t) при заданих величинах амплітуди

змінної напруги Um та постійного зміщення Uо виконують різними способами, залежно від методу апроксимації нелінійної характеристики.

1. Якщо ВАХ нелінійного опору можна апроксимувати степеневим поліномом (3.126), тоді поблизу точки ио = Uо

n k

i = ао +Xak - ио) . (3.131)

k=1

У виразі (3.131) ао = i0 = ио /R(u0), де i0 - так званий струм спокою, тоб­то струм, який проходить через нелінійний елемент, коли на нього діє тільки постійна напруга ио (рис.3.47); R(u0) - статичній опір при и = ио.

Коефіцієнт а1 = S0 = 1/ Rd (ио) дорівнює крутості у вихідній точці.

Рисунок 3.47 - Режим великих t коливань

Оскільки у даному випадку и(t) = U0 + Um cos cot і розвинення в ряд про­ведене відносно напруги, яка дорівнює зміщенню (и0 = U0), миттєве значення струму становитиме:

2       2 " k k

i = i0 + S0Um cos rot+a2Um cos rot +...+ anUm cosn rot = i0+ X akUm cos rot .(3.132)

k=1

У разі так званих малих коливань, коли змінна напруга настільки мала, що робочу ділянку характеристики можна вважати прямою (ab на рис.3.48), чле­нами полінома (3.132) другого і вищих степенів можна знехтувати:

i « i0 + S0Um cos cot.

При цьому постійна складова I0 у виразі (3.129) дорівнює струму спокою

I0 = i0 як у статичному (за відсутності змінної напруги), так і у динамічному

режимах, тобто в обох режимах через опір проходить однаковий постійний струм.

Оскільки i0 = и0 /R(u0), то I0 = U0 /R(U0) і тому статичний опір назива­ють опором постійному струму.

Оскільки амплітуда струму основної частоти (першої гармоніки), позна­чена у формулі (3.129) як Im1, становить:

Ли1 = S0Um = Um / Rd (U0 ) ,

то динамічний опір називають опором змінному струму.

В режимі малих коливань величина Im1 від зміщення U0 не залежить.

В режимі великих коливань (рис.3.47) складовими вищих степенів ряду (3.132) нехтувати не можна, а отже, форма струму відрізнятиметься від сину­соїдної. Щоб визначити амплітуди гармонічних складових струму, користують­ся відомими тригонометричними формулами кратних аргументів.

На відміну від режиму малих коливань, режим великих коливань має такі особливості:

- постійна складова І0 не дорівнює струму спокою і0. Загалом величина І0 може бути як менше, так і більше і0. Різниця величин Ій = |І0 - і0| залежить за інших однакових умов від амплітуди змінної напруги ит, і тому дозволяє

виявляти (детектувати) цю напругу;

- між амплітудами першої гармоніки струму і прикладеної напруги не­має лінійної залежності.

Наведений аналіз використання даного методу апроксимації показує, що при заданій дії характер і величина продуктів нелінійності визначаються ко­ефіцієнтами розкладання ах, а2,...,ак, які у свою чергу залежать від напруги

зміщення ио = и0. Отже, зміна и0 призводить до зміни характеру відгуку нелінійного кола, хоча сам нелінійний елемент залишається тим самим.

2. Якщо ВАХ нелінійного опору можна апроксимувати двома пря­молінійними відрізками за формулою (3.127):

і(и) = \ и (3.133)

[5(и - ии), и > ии ,

зручніше користуватися методом А.І. Берга, згідно з яким розрахунок відгуку нелінійного елемента визначається єдиним параметром - абсцисою точки пере­ходу А(ии ,0) між апроксимуючими відрізками (рис.3.49).

На рис.3.49 побудована крива миттєвих значень струму через нелінійний опір. При заданих значеннях и0 та ит струм матиме форму імпульсів, які є

"відсіченими" відрізками косинусоїди. Якщо виразити тривалість імпульсів у градусах, тоді кут відсікання 0 - це половина тривалості імпульсу струму. Очевидно, що 0 змінюється в межах: - п < 0 < п .методом А.І. Берга

cot

При заданій апроксимації ВАХ (3.133), можна обмежитись розглядом об­ласті характеристики правіше точки A. Якщо підставити миттєве значення на­пруги (3.128) до виразу (3.133) при u > Uu, миттєве значення струму

i(t) = S(Um cos cot + U0 - Uu). (3.134) Згідно з визначенням кута відсікання при cot = 0 струм i = 0:

0 = S(Um cos0 + Uo - Uu), (3.135)

звідки

cos0 = (Uu - Uo)/Um. (3.136) Параметр ВАХ нелінійного опору Uu може бути додатним, від'ємним або

нульовим залежно від властивостей нелінійного елемента.

Враховуючи вираз (3.136), миттєве значення струму (3.134) становитиме: i(t) = S (Um cos cot - Um cos 0) = SUm (cos cot - cos 0). (3.137)

Тоді за формулами (3.130) постійна складова і амплітуди гармонічних складових струму дорівнюватимуть:

10 SU I0 = — j SUm (cos cot - cos 0) dcot = — (sin 0-0 cos 0);

~ 0

2 0 SU 0

20„rT .              ^4    ,7   4,      2SUm sink0cos0-kcosk0sin0 , Imk ^ — 1 SUm (cos cot - cos 0)cos(kcot)dcot =-—---, k > 1.

n 0 n k(k -1)

Максимальне значення струму виходить з виразу (3.137) за умови cot = 0 :

Imax = SUm(1 - cos0). (3.138)

п 0 п

2 0 SU m

Im1 = — j SUm (cos cot - cos 0) coscot dcot = —m (0 - sin 0 cos 0);

п 0 п

Використовуючи співвідношення (3.138), обчислюють нормовані значен­ня струму, або коефіцієнти Берга:

a0

І0

; al

І mi

a к

(З.1З9)

I I I

л max 1 max 1 max

які залежать (для даної гармоніки) тільки від кута відсікання.

Знаючи коефіцієнти а к, можна одразу визначати амплітуди гармонік

струму. На рис.3.50 як приклад показані графіки коефіцієнтів Берга.

Режими роботи нелінійного кола класифікують за величиною кута відсікання. Режим класу А буде, якщо 0 = п. При цьому струм містить тільки постійну складову і коливання основної частоти - подібно до розглянутого ви­ще випадку малих коливань. Інші режими розділяють так: клас АВ відповідає п /2 < 0 < п; для класу В значення 0 = п / 2 ; для класу С - 0 < п / 2.

a k'

0,5 0,4 0,З 0,2 0,1 0

-0,1

a 0

З

a 2

4^ z

20   40   60 80

160 180 0 ,град

Рисунок З.50 - Графіки коефіцієнтів А.І. Берга

Отже, метод Берга дозволяє виразити всі величини, що характе­ризують режим кола, через кут відсікання, величина якого (при заданій амплітуді дії ит) визначається

зміщенням и 0. Тобто,

варіація      кута 0 відповідає описаній у попередньому методі зміні виду нелінійності кола за рахунок вибору и 0. Існують також інші методи

розрахунку нелінійного кола при синусоїдній дії, наприклад, квазілінійний. Відомо, що з усіх гармонічних складових відгуку найбільшу величину зазвичай має перша гармоніка, яка використовується в різних пристроях, наприклад, у генераторах синусоїдної напруги. Тому суттю квазілінійного методу є встанов­лення зв'язку між амплітудою першої гармоніки струму 1т1 з амплітудою

синусоїдної дії ит за допомогою так званої коливальної характеристики

1т1(ит). Щоб розрахувати середню крутизну коливальної характеристики

^сер = 1т1 / ит, використовують розглянуті вище методи степеневого полінома

та Берга.

Приклад 3.15. До нелінійного опору (рис.2.44, б), ВАХ якого задана в табл.2.3, прикладена напруга и(ї) = и0 + ит сов(2л-10 ї) В. Визначити графічно залежність струму через нелінійний елемент від часу, якщо ио = 0,8 В, ит = 0,2 В. Як зміниться і(ї), якщо послідовно з нелінійним елементом увімкнути лінійний опір Я4 = 5,1 Ом (рис.2.44, в)?

l72

Розв 'язання.

1. Згідно з даними табл.2.3 будуємо ВАХ нелінійного опору i = Фз), а також графік миттєвого значення напруги и (t), попередньо визначивши період її повторен­ня: T = 1/f = 1/103 = 10—3 с-1 (рис.3.51, а).

Будуємо часову діаграму струму (рис.3.51, б), проектуючи відповідні точки ВАХ на вісь ординат i(t) та зберігаючи однаковий масштаб по осі часу для часової

діаграми струму і прикладеної напруги (рис. 3.51, а).

2. Якщо послідовно з нелінійним елементом увімкнено опір     = 5,1 Ом, струм

i(t) знайдемо аналогічно. Для цього використуємо сумарну ВАХ i = ф), яку визна­чимо, підсумовуючи, згідно з другим законом Кірхгофа, величини U3 та U4 (рис.2.44, в) при кожному значенні струму i, тобто додаючи графіки i = ф3(и) та i = ф4) = и/R4 за напругою. Часова діаграма струму зображена на рис.3.51, б пунк­тиром.

Приклад 3.16. Апроксимувати ВАХ нелінійного резистивного елемента (див. табл.2.3) поблизу робочої точки Uо = 0,8 В поліномом другого степеня, вибравши

такі вузли інтерполяції: U0 - 0,2 В; U0 В; U0 + 0,2 В.

Знайти постійну складову і амплітуди гармонічних складових струму через нелінійний елемент, якщо до нього прикладено напругу и (t), параметри якої задані у

прикладі 3.15.

Розв' язання.

1. Скористаємось формулою (3.131) і запишемо ВАХ нелінійного елемента у вигляді полінома другого степеня: i =    + а1 U0) +    U0) .

Використовуючи значення струму в заданих точках інтерполяції, знайдемо коефіцієнти й), 01,     з системи рівнянь:

0,006 = a0 + 01(0,6 — 0,8) + a2 (0,6 — 0,8)2;

0,025 = a0 + a1(0,8 — 0,8) + a2(0,8 0,8)2;

0,135 = a0 + a1(1,0 — 0,8) + a2(1,0 0,8)2.

Виконавши перетворення, матимемо:

[0,006 = a0 0,2a1 + 0,04a2;

< 0,025 = a0; (3.140) 0,135 = a0 + 0,2a1 + 0,04a2.

Підсумовуючи та віднімаючи перше та третє рівняння системи (3.140), знахо­димо: a2 = 1,1375 См; a1 = 0,3225 См.

Отже, апроксимовану ВАХ нелінійного елемента запишемо у вигляді:

i = 0,025 + 0,3225— 0,8) + 1,1375— 0,8)2 А. (3.141)

2. Щоб знайти постійну складову і амплітуди гармонічних складових струму, підставимо вираз для напруги и(t) = 0,8 + 0,2еов(2п -10 t) до рівняння (3.141):

i = 0,025 + 0,3225 - 0,2 - еов(2п -1031) +1,1375 - 0,22 cos2 (2п -1031) =і, мА

\20\-

80

40 Ь /

____у...

- / і

V._І_І_і_

0     0,2     0,4   0,6     и0 1,0

а

1,0

N—^*

и, В

0

и, В

0     0,5    1,0 і, мс

б

Рисунок 3.51 - Визначення струму графічним методом у прикладі 3.15

і, мс

= 0,025 + 0,0645 ■ еов(2л • 103 і) + 0,0455 ■ 0,5 ■ [1 + еов(4л • 103 і)] =

= 0,04775 + 0,0645 ■ еов(2л ■ 103 і) + 0,02275 ■ еов(4л ■ 103 і). Отже, постійна складова струму становить /0 = 0,04775 А; амплітуда першої гармоніки Іт1 = 0,0645 А; другої - Іт2 = 0,02275 А.

Приклад 3.17. Виконати кусково-лінійну апроксимацію ВАХ транзистора КТ315, яку задано таблично (табл.3.14).

Таблиця 3.14 - ВАХ транзистора КТ315

иб, В

0

0,5

0,75

1,0

1,25

1,5

Ік, мА

0

0,05

0,25

0,6

1,0

1,4

Розв язання. За даними табл.3.14 побудуємо ВАХ транзистора (рис.3.52, а). Провівши дотичну до лінійної ділянки характеристики, знайдемо абсцису точки пере­ходу А(Пи ,0) між апроксимуючими відрізками прямих: Пи = 0,6 В. За графіком

знайдемо крутість ВАХ поблизу точки Б(1,1; 0,75) на середині лінійної ділянки:

5

Лік

1,0 - 0,6 0,4

иб =1,1

1,25 -1,0 0,25 = 1,6 мА/В.

Отже, апроксимовану ВAХ транзистора можна записати у вигляді:

Г     0,   U6 < 0,б В ік (u ) = і мA. к       [1,6(u6 - 0,б), u6 > 0,б В

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації