Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 33

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

б

а

-о­

с

-о­

тс

с

Е

с

Рисунок 4.11 - Схеми послідовного коливального контуру

Схема заміщення котушки індуктивності представлена послідовним з'єднанням ідеальних елементів ЯЬ і Ь, які мають певне фізичне значення: опір

ЯЬ характеризує втрати енергії в котушці і дорівнює десяткам або одиницям

Ом, а Ь - це індуктивність котушки. Еквівалентна схема конденсатора - це па­ралельне з'єднання ємності С і опору витікання Я'с, який враховує втрати

енергії від струмів зміщення в ізоляції конденсатора. Опір Я може перевищу­вати сотні кілоом. Оскільки для запису рівнянь така схема не досить зручна, доцільно перетворити паралельне з'єднання Я'с і С у послідовне - з парамет­рами Яс і С (рис.4.11, б). Причому ємність С залишається майже незмінною, а

Браун Карл Фердинанд, Вгаші (1850-1918) - професор фізики Страсбурзького університету. В 1897 р. створив електронно-променеву трубку. В 1898 р. винайшов коливальний контур з малим загасанням. Виготовив кристалічний детектор для пер­ших радіоприймачів, винайшов декілька типів антен і запропонував багато технічних удосконалень, які сприяли розвитку радіозв'язку. В 1909 р. Гіль'єрмо Марконі та Фердинанду Брауну присуджено Нобелівську премію з фізики за створення безпро-водового телеграфу. (На жаль, роботи російського фізика О.С. Попова, який в 1895 р. оприлюднив, але не запатентував результати своїх досліджень щодо можливості передачі повідомлень за допомогою електромагнітних хвиль, не потрапили у поле зо­ру Нобелівського комітету).

4 Мандельштам Леонід Ісаакович (1879-1944) - фізик, дійсний член АН СРСР; на­родився в Одесі. Вчився, а потім працював у Страсбурзі з К.Ф. Брауном до 1918 р. Приймав участь у дослідженнях і розробках радіопристроїв у фірмі «Сименс и Галь-ске». Основні праці належать до радіофізики, теорії коливань і оптики.

вопір Яс буде тим менше, чим більше Я'с. Якщо послідовно з'єднані опори Яі, Яь і Яс замінити сумарним опором втрат Я = Яі + Яь + Яс, виходить узагаль­нена схема коливального контуру, параметри якого Я, Ь, С називаються пер­винними (рис.4.11, в).

За законом Ома комплексне діюче значення струму в схемі (рис.4.11, в)

І = Мп =-Е-= —1=— = ЕеЯп-(р), (4.1З)

~ Я + уЬ -1/соС)   Я + ]Х 1

де X = Хь - Хс - реактивний опір контуру; 1 = V Я + X - повний опір контуру; <р = arctg (X / Я) - аргумент комплексного опору контуру.

Частотні залежності реактивного опору і його складових (Xь, - Хс, X) показані на рис.4.12, а. Точка, в якій X (со) = 0, відповідає умові резонансу. Час­тота, що задовольняє цій умові, є резонансною:

X0рез) = 0,    сорезЬ -1/ сорезс = 0, звідки

Юрез =іш аб° /рез=і• (414)

Рисунок 4.12 - Графіки частотних залежностей: а - реактивного опору і його складових; б - модуля реактивного опору; в, г - модуля і аргументу комплексного опору

Період коливань і довжина хвилі для резонансної частоти становлять: Трез = 1/ /рез = 2п\/Ьс (формула Томсона5); Ярез= сТрез= с / /рез= с2п\/Ьс ,

де с - швидкість поширення електромагнітних хвиль.

У діапазоні від 0 до сорез реактивний опір контуру від'ємний, що відпові­дає його ємнісному характеру. У діапазоні від сорез до со да, реактивний опір

додатний і, отже, має індуктивний характер.

Частотна залежність повного опору відповідно до (4.1З) показана на рис.4.12, в. Форма кривої 1 близька до кривої [X] (рис.4.12, б), оскільки саме

модуль X визначає повний опір при відході від резонансної частоти. Повний опір на резонансній частоті є активним:

1рез = Я, (4.15) що відповідає відсутності фазового зсуву між зовнішньою напругою і струмом у колі (такий резонанс є фазовим):

сХЮрез) = 0. (4.16) Слід звернути увагу на те, що для со = с0рез повний опір є мінімальним.

Графік залежності аргументу комплексного опору від частоти (рис.4.12, г) ви­значається частотною залежністю X(со).

Частотна залежність діючого (амплітудного) значення струму називається резонансною кривою (рис.4.1З). З формули (4.1З) випливає, що частотна залежність величини І обернено пропорційна частотній залежності повного опору (рис.4.12, в). При резонансі діюче (амплітудне) значення струму досягає максимуму:

Ірез = Е / Я ; Ітрез = Ет / Я , (4.17)

що є ознакою амплітудного резонансу.

Частота амплітудного резонансу струму збігається з частотою фазового резонансу.

Практично настроїти контур в резонанс можна, змінюючи частоту, ємність або індуктивність. Залежності діючого (амплітудного) значення струму від ємності або індуктивності називають настроювальними кривими. Ці криві досягають максимуму при резонансі.

Згідно з умовою резонансу X = 0 значення реактивних опорів індуктивності та ємності дорівнюють одне одному і називаються характери­стичним опором контуру р:

р = срезЬ = 1/срезс . (4 .18)

5 Томсон Уільям, Thomson (1824-19О7) - англійський фізик. Більше 5О років керував кафедрою теоретичної фізики університету в Глазго. За наукові заслуги отримав ти­тул лорда Кельвіна за назвою річки в цьому місті. Зробив внесок в термодинаміку, теорію електричних коливань, математичну фізику. Зробив низку винаходів і удоско­налень в телеграфії та вимірювальній техніці. Запропонував термодинамічну темпе­ратурну шкалу, одиниця виміру в якій отримала назву - кельвін (K).

Якщо у формулу (4.18) підставити вираз (4.14), виходить значення харак­теристичного опору, який визначається первинними параметрами контуру:

Р = ]|. (4.19)

Характеристичний опір становить одиниці кілоом, якщо /рез не переви­щує сотні мегагерц.

I

Iрез

0

co рез

co

Рисунок 4.13 - Графік резонансної кривої струму послідовного контуру

Im

UL рез

\

К = UR рез

І/

UC рез

0

I рез

Re

Рисунок 4.14 - Векторна діаграма струмів і напруг у контурі при резонансі

На резонансній частоті комплексні значення струму і напруг на елементах контуру становитимуть:

I

рез = К / R ;   UR рез = — ■

ULрез = ./юрез^рез = J и К; UCрез =J п

R C0„o,C

1   Ip* =-J РРК. (4.20)

рез

Ці векторні величини зображені на діаграмі (рис.4.14) і відповідають рівнянню, складеному за другим законом Кірхгофа для со = сорез:

E = U-Rрез + UL рез + UCрез .

Як виходить з діаграми і співвідношень (4.20), при со = сорез напруга на опорі У_лрез дорівнює значенню E і збігається за фазою зі струмом I, а напру­ги на реактивних елементах протилежні за фазою і рівні між собою за модулем:

1

c рез

ЮpезCR

U

С0„„ r,L

я '    ірез Я

Оскільки иярез = ЯІрез = Е, напруга на зовнішніх затискачах кола при ре­зонансі збігається з напругою на опорі.

Вирази для исрез і иьрез мають однаковий коефіцієнт перед Е, який по­значається літерою () і називається добротністю контуру:

сорезХ       1 р

R

Q=

рез

R     cOp^CR R

(4.21)

Діючі (амплітудні) значення напруг на реактивних елементах на резо­нансній частоті перевищують діюче значення ЕРС джерела в Q разів:

^срез = ^рез = QE. (4.22) Тому резонанс у послідовному контурі називають резонансом напруг. Добротність Q з урахуванням виразів (4.19) і (4.21) можна визначити че­рез первинні параметри контуру:

Q = Р = ЩС- (4.23)

к к

Тобто, добротність показує, наскільки характеристичний опір перевищує опір втрат у контурі. Добротність називають також коефіцієнтом якості6 конту­ру. Межі змінювання добротності для контуров з малими втратами становлять 20...500, якщо /рез < 100 МГц. В цьому ж діапазоні частот вищу добротність

(Q > 1000) забезпечують електромеханічні (кварцові та магнітострикційні) коливальні пристрої. У діапазоні частот f > 100 МГц коливальні пристрої

реалізують, застосовуючи довгі лінії і об'ємні резонатори. Перспективною технологією виготовлення високодобротних контурів є акустоелектроніка, яка використовує поверхневі акустичні хвилі.

При резонансі максимальна енергія, накопичена в магнітному полі індуктивності, дорівнює максимальній енергії електричного поля ємності:

w       = тт2    /2 = тт2

'* Lmax    л^±трез' рез'

CU2 1 Wcmax = -^f^ = CUCрез = C(-C/рез)2 = LI^ . (4.24)

Отже,   Wc max = Wl max.   Тобто   в   контурі   на   резонансній частоті

індуктивність і ємність накопичують енергію, яка досягає однакового значення, але у різні моменти часу. Під час обміну енергіями між реактивними елемента­ми вона частково поглинається в опорі - ці втрати компенсує джерело. Енергія втрат в активному опорі за період 7рез становить:

WKрез = РТрез = КІр)езТрез . (4.25)

Вирази (4.24) і (4.25) обумовлюють енергетичне трактування добротності:

22

q = 2nWL max = LIРез    = -/резТІ рез = ЮрезL ^рез ^рез^рез КІрез К

Отже, добротність прямо пропорційна максимальній енергії, яка на­копичується в реактивних елементах при резонансі, і обернено пропорційна енергії втрат в активному опорі за період Трез.

6 Позначення добротності Q обумовлено першою літерою англійської назви цього параметру «Quality factors.

Особливості резонансу напруг і способів настроювання визначають прин­цип дії вимірювальних приладів, які називаються « ) -метрами». До складу цих

приладів входять генератори із змінною частотою, змінні конденсатори і індикатори струму.   ) -метри дозволяють вимірювати не тільки добротності

контурів, але й індуктивності котушок і ємності конденсаторів.

Величина, обернена добротності, позначається літерою а і називається загасанням контуру:

а = 1/) . (4.26) Резонансна частота сорез (/рез), період резонансної частоти Трез, характе­ристичний опір р, добротність контуру ), загасання а називаються вторин­ними параметрами контуру.

Частотні залежності діючих значень (амплітуд) напруг на елементах Я, Ь, С називають резонансними кривими.

Виходячи з закону Ома в комплексній формі для схеми (рис.4.11, в), ком­плексне діюче значення напруги на активному опорі

иЯ = Ш = ЯІє™1 , (4.27) звідки виходить рівняння резонансної кривої напруги на активному опорі:

иЯ (со) = ЯІ (со). (4.28)

Для ємності та індуктивності

иС = — І =-і—5- Іе^1, иЬ = )сЬІ = сЬе]п/1Іе]Х^1,

звідки виходять рівняння резонансних кривих напруг

Цс (со) = ^-І (со); (4.29) соС

ЦЬ (со) = сЬІ (со). (4.30) Відповідно до формул (4.28) - (4.30) можна побудувати графіки резо­нансних кривих напруги на елементах контуру. В області частот поблизу С0рез

при малих добротностях, тобто при великому опорі втрат, спостерігаються специфічні особливості резонансних кривих. Значення струму на резонансній кривій (рис.4.13) повільно зменшується при відході від резонансної частоти. З кривою струму за формою збігається резонансна крива напруги на активному опорі иЯ(со) - ці криві відрізняються постійним коефіцієнтом Я (рис.4.15).

Максимальне діюче (амплітудне) значення напруги на опорі (амплітудний резонанс) спостерігається на частоті срез, яка є також і частотою фазового ре­зонансу.

Крива частотної залежності діючого значення напруги на ємності згідно з виразом (4.29) здобута множенням кривої струму, подібної до иЯ(со), на ємнісний опір 1 С , обернено пропорційний частоті. Оскільки крива І мало змінюється поблизу резонансної частоти, максимум кривої Цс (со) зміщується убік частот, менших за резонансну (рис.4.15). Такий же висновок можна дістати, аналізуючи співвідношення (4.29) з урахуванням значення струму І (4.13):

ис -      ,       ' . -, . . (4.31)

л/(соЄЯ)2 + (со2ЬЄ -1)2

соЄ^/Я2 + (юЬ -1/соЄ )2

Напруга максимальна при мінімальних значеннях знаменника дробу (4.31) або його підкореневого виразу:

(юЄЯ)2 + (ю2ЬЄ -1)2. (4.32) Якщо похідну виразу (4.32) за со прирівняти нулю і розв'язати рівняння

(Є2Я2 + 2ю2Ь2Є2 - 2ЬЄ)2ю - 0, значення частоти соЄ тах, що відповідає максимуму иЄ, становитиме:

соє

тах

1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації