Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 43

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Нт (ю) н = и / 2н = а^-. (5.22) І       І АУ2н

Необхідно зауважити, що за наявності 2 н, в алгебраїчні доповнення А аа

та АУ у формулах (5.20) - (5.22) входить провідність У_ЬЬ, котра розраховується

згідно з виразом (5.19).

Визначення передатних функцій за допомогою визначника і алгебраїчних доповнень матриці комплексних провідностей (У) набуває сенсу за умови роз­галуженого кола. Матриця (У) складається за уніфікованими правилами. Го­ловна діагональ у загальному випадку містить власні комплексні провідності:

Укк = Окк + ІюСкк +1/ ІюІкк, а над- та піддіагональні елементи складають взаємні провідності:

Отже, комплексну провідність можна визначити як поліном відносно j'co:

У = О + + (Jю) -1|, (5.23)

де О, С, — - додатні дійсні величини.

Ь

Якщо матриця (У) має другий порядок:

(У     У Л

(у )=( у 11 ~12 ,

V У 21    У 22 )

тобто вхідний вузол чотириполюсника а = 1, вихідний Ь = 2, а загальний (третій) - заземлений, комплексний коефіцієнт передачі за напругою такої схе­ми згідно з виразом (5.18) становитиме:

Н (ю) = и2 = А12 = = О12 + .7юС12 + (.7ю)-1(1/Ь12)

~и и1     Ап      У22      О22 + 7ЮС22 + (JЮ) Ь22)'

Щоб позбавитись від'ємного степеня, слід помножити чисельник та зна­менник на множник Jю:

Н   (ю)     С12( -7Ю)2 + °Г2.7Ю + (1/ Ь12) С22( -7ю)   + О22 -7ю + (1/ Ь22)

Якщо позначити латинськими літерами зі змінними індексами ко­ефіцієнти (дійсні додатні величини) при різних степенях Jю: для чисельника аі

= 2,0), для знаменника     (^ = 2,0), вираз для КПФ матиме вигляд:

Ни(ю) = а2(+ а^ю + а0 . (5.24)

Чотириполюсник з КПФ (5.24) називається ланкою другого порядку. По­рядок ланки визначається максимальним степенем аргументу j•co полінома зна­менника. Слід зауважити, що степінь полінома чисельника не може перевищу­вати степінь полінома знаменника, отже деякі коефіцієнти аі можуть бути

нульовими. На відміну від чисельника всі коефіцієнти знаменника ненульові: ф 0, причому степінь полінома знаменника в (5.24) дорівнюватиме двом за

наявності у колі, як мінімум, двох реактивних опорів різного характеру, які відповідають   доданкам   С22   і   1/ Ь22.   Збільшення   кількості ємностей

(індуктивностей) призводить до збільшення максимального степеня аргумента j•co, тобто до збільшення порядку ланки.

Для ланки п-го порядку

Ни (ю) = ат(^Г ++       + а° , (5.25) Ьп (Jю)n ++ Ьую + Ь0

причому п > т .

Залежно від того, які з коефіцієнтів аі дорівнюють нулю, модуль КПФ Ни (ю) по-різному залежить від частоти на різних ділянках частотного діапазону.

5.6 Частотні характеристики ідеальних електричних фільтрів

Чотириполюсник, для якого ділянки АЧХ суттєво відрізняються на різних ділянках частотного діапазону, називається електричним фільтром. Вважається, що фільтр «пропускає» коливання в діапазоні частот ю: к со2, якщо

значення АЧХ фільтра в цьому діапазоні мало відрізняються від константи, на­приклад, від одиниці:

Ни (со) * 1. (5.26)

Смуга частот, для яких виконується умова (5.26), називається смугою про­пускання, або смугою прозорості фільтра. Якщо для коливань з частотами в діапазоні со3 к со4 АЧХ фільтра мало відрізняється від нуля

Ни (со) * 0, (5.27) кажуть, що фільтр не пропускає коливання з такими частотами, а смуга частот со3 ...со4 називається смугою непрозорості, або смугою затримання (СЗ).

Смуга частот, розташована між смугою пропускання і смугою затриман­ня, називається смугою переходу.

АЧХ ідеальних фільтрів не мають смуги переходу. Смуги пропускання та затримання розділяє гранична частота сгр. В залежності від того, до якої час­тини частотного діапазону належать смуги пропускання та затримання, фільтри поділяють на фільтри нижніх частот (ФНЧ), фільтри верхніх частот (ФВЧ), смугові фільтри (СФ), загороджувальні фільтри (ЗФ).

Якщо фільтр «не пропускає» коливання не смуги частот, а тільки однієї частоти, він має назву режекторного фільтра (РФ), а ця частота називається час­тотою режекції сур.

АЧХ фільтрів вищезгаданих типів зображені на рис.5.7.

а

0

0

б

0

0

д

в

0

' 7/ (со)

 

 

І   Сгр1 І             І Сгр2 СО

І СЗ1 І СП  і СЗ 2 и-^-^-^

Рисунок 5.7 - АЧХ ідеальних фільтрів: а - ФНЧ; б - ФВЧ; в - СФ; г - ЗФ; д - РФ

ФНЧ має СП в межах 0кСгр, а СЗ починається від сгр і прямує до нескінченності. Смуга пропускання ФВЧ: сгр ... да, смуга затримання: 0 к сгр.

СФ «пропускає» коливання частот в діапазоні сгр1 сгр2 і має дві СЗ: від нуля до сгр1 та від сгр2 до нескінченності. ЗФ, навпаки, має дві СП: від нуля до сгр1 та від сгр2 до нескінченності, а СЗ лежить в межах від сгр1 до сгр2.

Режекторний фільтр (від латинського resectio - відтинання) «вирізає» ко­ливання з частотою сУр.

АЧХ ідеальних фільтрів мають стрибки на граничних частотах, що фізично неможливо для реальних фільтрів. Але, збільшуючи порядок ланки, можна досягти досить різкого перепаду значень АЧХ поблизу частоти сгр.

1

1

1

1

1

г

Схеми фільтрів високих порядків переважно реалізують, з'єднуючи каскадно (тобто один за одним) ланки не більш як другого порядку (рис.5.8).

Іо

І—о

Рисунок 5.8 - Каскадне з'єднання чотириполюсників, які утворюють фільтр

При цьому якщо порядок реальної ланки, наприклад ФНЧ, не перевищує двох, його АЧХ (рис.5.9) значно відрізняється від АЧХ ідеального ФНЧ (рис.5.7, а).

Для нульової частоти H(со)|ю_0 = 1, в смузі пропускання значення АЧХ перебувають в межах 1/72 < н (с) <>І2. Частота, якій відповідає рівень 1^л/2 _ 0,707, є граничною: H (сгр) _ 1^л/2. У смузі затримання значення H (со) не має перевищувати деякий заданий рівень А, якому відповідає частота сод .

Смуга частот від сгр до сод є смугою переходу (рис.5.9). Якщо АЧХ

досягає максимуму (відносно одиниці) у смузі пропускання, крутість кривої зростає, що призводить до зменшення смуги переходу (рис.5.9, б). Зміна форми кривої АЧХ досягається варіацією коефіцієнтів аі,     , що, в свою чергу,

досягається зміною величин елементів, які складають коло.

Рисунок 5.9 - АЧХ реального ФНЧ

5.7 Частотні характеристики фільтрів другого порядку і схемна реалізація цих фільтрів

Ланки другого порядку використовують як фільтри різних типів або включають до складу фільтрів вищих порядків. Виходячи з виразу (5.24), для ланки другого порядку в загальному випадку АЧХ визначається так:

^ (с)

2   2 2

УСЬ) -Ь2Со2)2 + (^со)2 ' Аргумент КПФ (5.24), тобто ФЧХ, становить:

—- для a0 > а2со ;

(5.28)

(5.29)

де

ф1(с)

arctg—

а2со2 а1с

ф2(с)

-1-2

Ь1с

2

для а0 < а2со ;

2

для Ь0 > Ь2со ;

2

для Ь0 < Ь2со .

Ьо - Ь2«2

2

Частоту, при якій виконується умова Ь0 - Ь2со _ 0, позначають сурез:

су,

рез

а/ь0/ ь2 .

(5.30)

Дійсні додатні значення частоти со, за яких (со) _ 0, позначають ютіп, а дійсні додатні значення со, за яких (со) досягає максимуму, - сотах. Ланка другого порядку є фільтром нижніх частот за умови:

Тоді КПФ (5.24) має вигляд:

АЧХ ФНЧ визначається за формулою:

л/(Ьо 2с2)2 + (^со)2

(5.31) (5.32)

(5.33)

Значення АЧХ на нульовій частоті та частоті сУрез становитимуть:

H о

їїрез _       (срез ) ;

_ Ііт H (со);

со—0

(5.34)

н _

рез 7

Ь1с

0

рез

Ь1>/ V Ь2 _ H 0

Ь1

Подібно до резонансного контуру можна записати Ярез = //0<2, або Ярез = Я*°; (5.35)

* = Ъ = ТГ, (5.36)

де 0 - добротність ланки другого порядку; * - загасання ланки. На відміну від контурів для фільтрів значення * (0) мало відрізняється від одиниці.

Оскільки АЧХ ФНЧ не має мінімуму, достатньо визначити тільки частоту максимуму сотах, прирівнюючи нулю похідну квадрата знаменника виразу

(5.33) за со2:

-2о -Ъ1с1)Ъ1 + Ь2 = 0; 2 Ь2

Ъ0 - Ъ2Ютах = ТГ" ; (5.37) Ю2     = Ь°(1__

Ъ2 2Ъ2Ъ0

З урахуванням співвідношення (5.30) вираз для сотах матиме вигляд:

Ютах Юрез

УІ1 - 0,5*2 . (5.38)

Це значення збігається з отриманою вище в підрозд. 4.3 формулою для частоти максимуму напруги на ємності у послідовному резонансному контурі. Формулу (5.37) з урахуванням виразу (5.36) можна переписати як

Ь0 -^сОт^ = ^Ь0* , тоді значення АЧХ на частоті сотах, виходячи з (5.33), ста-

новитиме:

Яи (сУтах) = Ятах

а0 а0

^0,25Ь02*4 + Ь12ю;тах   >/0,25Ь02*4 + Ь^ю^3 (1 - 0,5*2) Після підстановки (5.30) знаменник виразу для Я тах, враховуючи форму­лу (5.36), можна записати як

Ь0^0,25*4 + *2(1 - 0,5*2) = Ь01 - 0,25*2 .

Тоді Ятах =-/ °0      2 =    і Я0     2 , або

Ь0  1 - 0,25* 2     1 - 0,25* 2

Ятах =   ,   ЯрЄз    2 . (5.39)

1- 0,25*2

Значення Ятах також збігається з екстремумом АЧХ послідовного резо­нансного контуру за умови, що відгуком є напруга на ємності.

При * = 42 (Ъ = 0,707) АЧХ має максимум Ятах = Я0 на нульовій час­тоті (сотах = 0, згідно з (5.38)), отже, крива монотонно спадає зі зростанням час­тоти. Гранична частота югр, якій відповідає рівень 0,707Я0, збігається зі зна­ченням юрез. Виходячи з (5.35), значення АЧХ на частоті юрез становитиме:

Я=

рез

Я0

* *=72

Ні 42 0,707Я

0

тобто при , виконується рівність соГр = сУрез.

Щоб визначити сГр при інших значеннях і, слід прирівняти праву части­ну виразу (5.33) для сгр = срез до значення Н0 /42: Ни(со ) =Н0А/2 .

З урахуванням виразу

Я 0 = а0

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації