Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 44

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

42 Ь042

виходить рівняння:

Сіп

Сіп

Ь2ю2р / Ь0)2 + (Ь1Югр / Ь0)2

Тоді

'гр

(1 - (СОгр / «рез)2 )2 + *2 (югр / Юрез )2

гр гр

Ь042

0

2, звідки

(югр / юрез )2 = 1 - 0,5*2 + уІ (1 - 0,5*2)2 +1. (5.40) При * /2 (<2 < 0,707) частота ютах згідно з виразом (5.38) стає уявною величиною, а згідно з (5.40) югр < юрез. На рис.5.10, а зображена АЧХ ФНЧ при

* > 42 (* = 2), причому крива спадає зі зростанням частоти швидше, ніж у по­передньому випадку. При * /2 (Ъ > 0,707) згідно з формулами (5.38) та (5.40) виконується умова: ютах <юрез <югр. На рис.5.10, а показано також графік АЧХ фільтра для * =1.

За умови * «42 АЧХ Яи (ю) фільтра має такий самий вигляд, як мо­дуль КПФ Яис (ю) послідовного резонансного контуру. Відносні значення час­тот та відповідні їм відносні рівні наведені в табл.5.3.

Таблиця 5.3 - Значення відносних частот та рівнів АЧХ ФНЧ

* = Я0 / Ярез

1

42

2

 

1,27

1

0,64

Ютах / Юрез

0,707

0

-

Ятах / Я0

1,15

1

-

Ярез / Я0 = 1/*

1

0,707

0,5

Отже, АЧХ ФНЧ другого порядку при у смузі прозорості за ви-

значенням не менше рівня 0,707Н0, але й не перевищує значення 42Н0, тобто

ці значення найприйнятніші для фільтрації коливань нижніх частот.

ФЧХ ФНЧ виходить з виразу (5.29). За умови (5.31) виконується рівність Ф1(ю) = 0, тоді

(р(со)

-аг^

Ь1ю

-      - Ю < Юрез;

Ь1ю

(5.41)

Ъ0 - ъ рез

На нульовій    частоті ф(со)|

=0 0,

на

резонансній частоті

ф(срез) = -сіг^°о = -п/2. При со—»°о значення ФЧХ наближається до

Графік ФЧХ ФНЧ зображено на рис.5.10, б.

При зменшенні (збільшенні) добротності крутість ФЧХ поблизу значення Срез відповідно зменшується (збільшується).

Я 0 1015

1

0,707 0,5

0

* «42 ((Ю) 0

* = 1

* = 42

*=2

- 2

т   . -

 

г-^

1              Ю / Юрез

 

 

б

а

—v

0,64 \1

0,707

1,27

/

рез

Рисунок 5.10 - Частотні характеристики ФНЧ

Реалізувати ФНЧ можна за допомогою послідовного резонансного конту­ру з низькою добротністю, якщо відгуком є напруга на ємності (рис.5.11, а).

Вважаючи, що опір Я в схемі (рис.5.11) відповідає втратам в котушці ін­дуктивності (тобто Я існує за наявності в схемі індуктивності), і тому не позна­чаючи його у вигляді окремого елемента, одержимо схему (рис.5.11, б). Фільтри, які реалізують за допомогою тільки індуктивностей та ємностей, нази­ваються реактивними. Як видно з рис.5.10, а, повільний спад АЧХ не дає можливості чітко розділити смуги пропускання та затримання.

Щоб зменшити смугу переходу (рис.5.9), застосовують каскадне з'єднання ланок (рис.5.8). Такі схеми мають назву східчастих або ланцюгових. Східчаста схема ФНЧ зображена на рис.5.12.а о-

ь

с

ь

І

б

о-

і

о

Якщо в цій схемі виділити симетричні ланки перерізами а - а, (при цьому розтинають опори по­довжніх віток), вийде Г-подібна схема з половинними значеннями індуктивностей Ь /2 (рис.5.13, а). З міркувань симетрії першої Г-подібної ланки, індуктив­ність, увімкнена до вузла 1, також дорівнюватиме Ь / 2. Якщо зробити розтин за перерізами Ь - Ь, розділивши навпіл опори поперечних віток, вийде П-подібна схема з половинними значеннями ємностей С / 2, які при ланцюговому з'єднанні утворюють вихідну ємність С (рис.5.13, б). Ємність, увімкнена до вузлів 2 - 2' (рис.5.12), з міркувань симетрії останньої П- подібної ланки стано­витиме С / 2.

Рисунок 5.11 - Схеми реального та ідеального ФНЧ

• Ь

1 Ь/2 '

а   ^ Ь

1'

а

Ь

а

>Ь*а       *Ь*а *Ь*а

Рисунок 5.12 - Східчаста схема ФНЧ

2

2'

1' о-

а

І

Ь/2

с

2'

С/2

Ь

б

2 1

1—в-О о-

/2

І 2' 1'

-О О-

Ь/2

Рисунок 5.13 - Схеми Т-, П- та Г- подібних ланок ФНЧ

в

2

О

с/2

І

2

Т-, П- подібні ланки з навантаженням утворюють кола третього порядку, які тут не розглядаються. Г- подібна ланка - це коло другого порядку, для якого

за    умови гранична    частота    збігається    з резонансною:

сурез= согр = 2/>/ЬС . За такою ж формулою визначається гранична частота Т-, П-

подібних схем. Схемам (рис.5.13) притаманна особливість: добуток опору подовжньої вітки та ємнісного опору є константою, яка не залежить від частоти. Тому такі фільтри мають назву фільтрів к-типу.

Тоді Г-подібний ФНЧ на відміну від рис.5.11матиме половинні значен­ня індуктивності та ємності (рис.5.13, в), оскільки при сі = 42 гранична частотастановить сурез= сУрр = II4ЕС . Так само визначають граничні частоти Т- і П-

подібних схем. Такі ланки навантажують на опір Ян = 4ЕIС , вважаючи його, за

аналогією з контурами, характеристичним. АЧХ ланки з навантаженням суттєво відрізняється від кривих на рис.5.9, а, отриманих без урахування наван­таження.

Фізично дію фільтрів (рис.5.13), можна пояснити тим, що на низьких час­тотах індуктивності не становлять значного опору струму, який протікає від джерела, увімкненого до затискачів 1 -1', до навантаження, увімкненого до затискачів 2 - 2'. На високих частотах вихідний струм зменшується завдяки ве­ликому опору індуктивності. Оскільки на шляху струму до навантаження є вітка з малим ємнісним опором, туди відгалужується значна частина струму.

КПФ фільтра верхніх частот можна отримати з виразу (5.24) за умови:

а1 = а0 = 0. (5.42)

Тоді Ни (с) =--а2с2-. (5.43)

Ь0 - Ь2со + ]Ьхсо

АЧХ ФВЧ описується виразом:

= 1-=2-г (5-44)

При с да значення АЧХ становитиме:

Нао = Іші Ни (с) =     Ь2. (5.45)

На резонансній частоті, яка обчислюється з (5.30), значення АЧХ

УЬ0Ь2

Н

рез

а2ю

Ь1ю

Ю=Юрез

2

Ь2Ь1

Враховуючи (5.36) та (5.45), резонансне значення АЧХ ФВЧ становитиме:

Нрез = Ясо IЛ. (5.46) Частоту сотах, на якій АЧХ ФВЧ досягає максимуму, можна знайти як

2

частоту екстремуму оберненої функції 11 Ни (ю) , взявши її похідну за ю :

Ютах = Юрез ІлД - 0,5Л2 , (5.47)

звідки видно, що ютах > юрез, а вираз для ютах збігається з формулою для час­тоти максимуму напруги на індуктивності в послідовному резонансному кон­турі (див. пізрозд. 4.3).

Якщо підставити вираз (5.47) у формулу (5.44), можна здобути макси­мальне значення АЧХ ФВЧ: Нтах = НсI^ 1 -0,25Л2 .

З урахуванням (5.46) значення максимуму Нтах обчислюється за форму­лою (5.39), що також збігається зі значенням модуля КПФ Ни (ю)

послідовного резонансного контуру.

Граничну частоту ФВЧ визначають, прирівнявши формулу (5.44) значен­ню Нж /42 . Тоді квадрат рівняння (5.44) становитиме:

2 4

а2 нс

0 - Ь2ю2р )2 + 1Югр )2

або

со

4 гр

2

0,5

сю

+     Ь2)2 ю

гр

а2

\ ь2)

0/ ь2ї ~гр

Перетворення рівняння з урахуванням виразів (5.30) та (5.36) дозволяють отримати співвідношення:

1 + д/ (0,5с/7

0,511

11   1)2 +1.

(согр /юрез у

Відносні значення югр / сорез та сотах/ сорез, а також Нтах/ Нж, Нрез / Нж

для різних значень сі зведені до табл.5.4. Ці значення знайдені по графіках АЧХ ФВЧ (рис.5.14, а). Слід зауважити, що всі відносні значення частот у табл.5.4 є

оберненими величинами відносно значень у табл.5.3. При сі «42 АЧХ фільтра збігається з АЧХ послідовного контуру високої добротності       (со).

Як видно з рис.5.14, а, при 1 < сі <42 АЧХ ФВЧ за формою найприйнятніша для фільтрації коливань верхніх частот.

Таблиця 5.4 - Значення відносних частот та рівнів АЧХ ФВЧ

С = Ноо / НреЗ

1

42

2

югр/юрез

0,786

1

1,552

стах / Юрез

1,41

 

-

Н     / Н

п тах і п со

1,15

1

-

Нрез / нх= і/с

1

0,707

0,5

Оскільки згідно з виразом (5.43) аргумент чисельника КПФ ф^со) = п, на підставі виразу (5.34) ФЧХ ФВЧ має вигляд:

ср(со) =

Ь1с

Ь0-Ь2 2

рез

Ь1

ь0 - ь2с ' рез

(5.48)

Графік ФЧХ ФВЧ зображено на рис.5.14, б. Його крутість в точці з коор­динатами (1,   п / 2) буде збільшуватись при зменшенні сі.     ФВЧ можна

реалізувати з урахуванням (рис.5.15, а) або без урахування втрат (рис.5.15, б). Каскадне з'єднання реактивних ФВЧ показано на рис.5.16.

1,15 1

0,707 0,5

а

С «42

0

12

0,768 1 1,41 1,552 с / с

і

п

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації