Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

У колах з розподіленими параметрами елементи Я, Ь, С розподілені вздовж кола. При цьому струми і напруги залежать не тільки від часу, але і від однієї з координат, наприклад х, - що характеризує відстань від джерела: і(ґ, х), и , х). У реальних кіл з розподіленими параметрами один з лінійних розмірів сумірний з довжиною хвилі.

Розрізнюють два основних режими роботи кіл - усталений (стаціонарний) і нестаціонарний (перехідний).

В усталеному режимі струми і напруги змінюються у часі за періодичним законом: і(ґ) = і(ґ + пТ); и) = и + пТ), де Т - період. Окремим

випадком усталеного режиму є режим постійного струму, коли всі струми і на­пруги є постійними величинами, тобто Т °о.

У разі перехідних режимів струми і напруги є неперіодичними функціями часу. Причинами виникнення перехідних режимів є ввімкнення кола до джерел і відімкнення від них, змінювання схеми та її параметрів, дія сигналів.

Теорія кіл розглядає два види задач - аналізу і синтезу.

Задача аналізу полягає у визначенні декількох або всіх струмів і напруг заданої схеми за відомими значеннями параметрів її елементів (пасивних і ак­тивних). Для аналізу кіл використовуються загальні методи розрахунку кіл.

Задачі синтезу поділяються на два види - параметричний і структурний синтез. Параметричний синтез полягає у визначенні значень елементів відомої схеми з метою досягнення заданих характеристик або режиму роботи схеми. Структурний синтез передбачає складання схеми і визначення параметрів її елементів. Задачі структурного синтезу складніші, не завжди однозначні та й не завжди реалізовуються.

1.10 Запитання та завдання для самоперевірки і контролю засвоєння знань

1. У чому полягає відмінність реального та ідеального елементів електричних кіл? Які пасивні та активні елементи використовуються в теорії кіл?

2. Що таке позитивний напрям струму? Який висновок можна зробити, якщо після виконання розрахунків струм має від'ємне значення?

3. Якими приладами вимірюються величина і напрям постійного струму і на­пруги? Назвіть властивості ідеальних амперметра і вольтметра.

4. Чи залежить вибір позитивного напряму напруги від позитивного напряму струму?

5. Починаючи з моменту ґ = 0, через опір Я =1 Ом проходить струм

і = 1 - е ґ А. Яка кількість енергії виділиться у вигляді тепла до моменту часу, коли струм досягне значення 0,632 А? Відповідь: 0,168 Дж.

6. Починаючи з моменту ґ = 0, через індуктивність Ь = 1 Гн проходить струм

і = 1 - е ґ А. Знайти напругу на індуктивності та енергію магнітного поля в момент часу, коли струм досягне значення 0,632 А. Відповідь: 0,37 В; 0,2 Дж.

7. Ємність С = 1 Ф, котра має електричний заряд 1 Кл, у момент ґ = 0 починає

розряджатися через опір Я = 1 Ом. Струм змінюється згідно із законом і = е ґ А. Знайти напругу на ємності та енергію електричного поля в момент часу, коли струм досягне значення 0,37 А.

Відповідь: 0,37 В; 0,068 Дж.

8. Пояснити поняття однойменних затискачів індуктивно зв'язаних котушок.

9. Дві  індуктивно  зв'язані  котушки  мають  індуктивності   Ь1 = 4   Гн і

= 25 Гн; коефіцієнт зв'язку к = 0,5. Визначити взаємну індуктивність. Чому

дорівнює загальна індуктивність цих котушок при зустрічному і узгодженому увімкненні, якщо їх з'єднати послідовно? Відповідь: 5 Гн; 19 Гн; 39 Гн.

10. Чому для двох індуктивно зв'язаних котушок не можуть одночасно викону­ватися умови Ь1 < М і Ь2 < М ?

11. Зобразити вольт-амперні характеристики ідеальних джерел напруги і стру­му. Чим відрізняються ВАХ ідеальних і реальних джерел енергії?

12. Назвати види керованих джерел напруги і струму. Який параметр є керую­чим для кожного з цих джерел?

13. Пояснити основні топологічні поняття, які використовуються в теорії кіл.

14. Вважаючи в схемі (див. рис.1.15,а) С = 0 і Я7 — да, скласти рівняння за другим законом Кірхгофа для всіх контурів кола.

МЕТОДИ АНАЛІЗУ КІЛ

• Постановка задачі та огляд основних методів аналізу кіл

• Метод еквівалентних перетворень

• Метод рівнянь Кірхгофа

• Метод вузлових напруг

• Метод накладання

• Метод еквівалентного генератора

• Енергетичні співвідношення в колах постійного струму

• Принцип взаємності

• Аналіз нелінійних кіл

• Основи матрично-топологічного методу аналізу кіл

Г. Кірхгоф к=1 дж. уатт

2 МЕТОДИ АНАЛІЗУ КІЛ

2.1 Постановка задачі та огляд основних методів аналізу кіл

Задача аналізу в загальному випадку полягає в розрахунку струмів у вітках кола, для якого задані схема і параметри елементів (пасивних і актив­них). При цьому кількість невідомих збігається з кількістю віток Лв. Можливі

також інші варіанти постановки задач аналізу. Наприклад, необхідно визначити параметри деяких елементів і частину струмів кола при заданих значеннях інших струмів і параметрів елементів. Як і у загальному випадку, кількість невідомих при цьому не повинна перевищувати Лв.

Аналіз кіл оснований на законах Кірхгофа і співвідношеннях між напру­гами і струмами в пасивних елементах. Однак безпосереднє застосування за­конів Кірхгофа необхідне тільки для аналізу нелінійного кола. Для аналізу лінійних кіл розроблено декілька простіших методів, доцільність застосування яких визначається постановкою задачі аналізу (необхідністю визначення всіх, частини або одного з струмів), конфігурацією схеми, особливостями практич­ного застосування кола та ін. Ці методи зводяться до складання і розв'язання меншого числа рівнянь, ніж це потрібно при використанні законів Кірхгофа або до матричних і топологічних розрахунків, зручних для виконання на ЕОМ.

Для будь-якого методу аналізу складність розрахунків істотно залежить від режиму роботи кола (усталений або перехідний) і вигляду функцій, якими описують миттєві значення параметрів джерел.

Найпростіше аналізувати лінійне кола з джерелами постійного струму (напруги) в усталеному режимі. При цьому всі струми і напруги є постійними дійсними величинами, а з пасивних елементів у колі залишаються тільки опори, оскільки індуктивності та ємності можна виключити (індуктивності замінити ідеальними провідниками, а ємності - розімкнути). У цьому випадку аналіз ко­ла зводиться до розв'язання системи алгебраїчних рівнянь з дійсними коефіцієнтами.

Вихідні рівняння для усталених режимів у колах з іншими джерелами (наприклад, синусоїдних коливань) і для перехідних режимів є, в загальному випадку, інтегро-диференціальними. При цьому, крім класичної теорії розв' язання диференціальних рівнянь, застосовують методи алгебри комплекс­них чисел і операторний метод, які дозволяють звести інтегро-диференціальні рівняння для кіл з джерелами синусоїдних коливань в усталеному режимі до алгебраїчних рівнянь з комплексними числами або (для перехідних режимів) до алгебраїчних рівнянь з операторними зображеннями функцій часу.

У даному розділі розглядаються основні методи аналізу кіл (еквівалентних перетворень; рівнянь Кірхгофа; вузлових напруг; накладання; еквівалентного генератора) стосовно усталеного режиму кіл з джерелами постійного струму (напруги). Це дозволяє спростити виклад і полегшити розуміння методів і прийомів, які надалі будуть використані для аналізу уста­леного режиму в колах з джерелами коливань синусоїдної форми, а також для аналізу перехідних процесів. Крім основних методів аналізу, в даному розділі викладено також основні теореми і принципи лінійних кіл.

2.2 Метод еквівалентних перетворень

Суть методу полягає в раціональному застосуванні деяких прийомів еквівалентних перетворень, що призводять до спрощення схеми, тобто змен­шення в ній кількості віток, вузлів, контурів, і зведенні її до одноконтурної або двовузлової. Крім самостійного застосування, прийоми еквівалентних перетво­рень входять як складовий елемент в інші методи розрахунку. Тому метод еквівалентних перетворень розглядається першим.

Під еквівалентними розуміють такі перетворення однієї частини схеми, при яких не змінюється режим роботи (струми і напруги) в іншій частині схе­ми, що залишилася неперетвореною. Найпоширеніші прийоми еквівалентних перетворень в лінійних колах постійного струму, зведені до табл.2.1, розгляне­мо детальніше.

2.2.1 Еквівалентні перетворення при послідовному з'єднанні елементів

Послідовним називається з'єднання елементів, коли в них протікає одна­ковий струм. Приклад ділянки кола з послідовним з'єднанням декількох опорів і джерел ЕРС показаний на рис.2.1, а.

Я2 £>

І? Е

Ее -О о*

Яе

и

и

б

а

Рисунок 2.1 - Перетворення послідовно з'єднаних елементів

Використовуючи другий закон Кірхгофа для контуру (рис.2.1, а), до скла­ду якого входить ділянка з послідовно сполученими елементами і напруга на його затискачах, для довільно вибраних напрямів струму І і обходу контуру можна записати рівняння

пт

и Я,І = І Ек . (2.1)

і = 1 к = 1

Рівняння (2.1) можна подати у вигляді

и - Яе І = Ее,де Яе = І Яі - еквівалентний опір, що дорівнює арифметичній сумі всіх

і=1

т

послідовно з'єднаних опорів; Ее = І Ек  - еквівалентна ЕРС, яка дорівнює

к=1

алгебраїчній сумі ЕРС джерел даної ділянки.

Отже, ділянку з послідовним з'єднанням опорів і джерел напруги можна замінити послідовним з'єднанням двох елементів - еквівалентного опору і еквівалентного джерела напруги (рис.2.1, б).

Для окремих випадків, коли відсутні або джерела, або опори, ділянку кола можна замінити відповідно опором Яе або джерелом Ее.

2.2.2 Еквівалентні перетворення при паралельному з'єднанні елементів

Паралельним називається з'єднання елементів з однаковою напругою на них. Приклад ділянки кола з паралельним з'єднанням декількох опорів і джерел струму показаний на рис.2.2, а.

Якщо до вузла ділянки кола з паралельним з'єднанням п провідностей і т джерел струму застосувати перший закон Кірхгофа, виходить рівняння

пт

І ОЦІ + І Іджк = 0. (2.2) Ік к

Рівняння (2.2) можна записати у вигляді:

п

де Ое =ІО - еквівалентна провідність, яка дорівнює арифметичній сумі

І

т

всіх паралельно з'єднаних провідностей; Ідже =Цджік - струм еквівалентного

к

джерела, що дорівнює алгебраїчній сумі струмів джерел даної ділянки.

Отже, ділянку з паралельним з'єднанням кількох елементів у загальному випадку можна замінити паралельним з'єднанням двох елементів -еквівалентної провідності та еквівалентного джерела струму (рис.2.2, б).

Дане правило справедливе для пасивної паралельної ділянки кола, в яко­му відсутні джерела, і паралельного з'єднання тільки одних ідеальних джерел. У першому з цих випадків ділянку кола можна замінити опором Яе = 1/ Ое, а у

другому - ідеальним джерелом зі струмом Ідж . Так, для двох паралельно увімкнених опорів Я1 і Я2 еквівалентний опір

Я =     1     =       1       = Я1Я2 е   О1 + О2   1/Я1 +1/Я2   Я1 + Я2"

^дж т

Т Т Т -ХЛ

и

и

а б Рисунок 2.2 - Перетворення кола з паралельно з'єднаними елементами

Застосовуючи розглянуті вище прийоми перетворень, пасивне коло, що містить сукупність послідовно і паралельно увімкнених опорів (таке з'єднання називають змішаним), можна замінити одним еквівалентним опором.

Приклад 2.1. Для кола (рис.2.3, а) визначити еквівалентний опір відносно затискачів 1, 2.

     Яз „

Я2 Я4

2 о­

X

Е

Я2

2

-о-

Із

Я4

а

Я2

в

Із

и32

Я34

б

Е Я234

2

-

г

и32

Рисунок 2.3 - До прикладів 2.1 і 2.2

Розв язання. Коло, що не містить джерел, називається пасивним. Затискачі, за допомогою яких пасивне коло підключається до інших кіл, називаються вхідними. Відповідно, опір відносно цих затискачів називається вхідним опором. Отже, у прикладі необхідно визначити вхідний опір даного кола.

Якщо відсутність струмів і напруг у даному пасивному колі ускладнює визна­чення способів з'єднання опорів, до вхідних затискачів 1, 2 вмикають джерело і роз­глядають розподіл струмів у вітках кола (рис.2.3, б):

а) опори Я3 і Я4 сполучені послідовно, тому замінимо їх еквівалентним опо­ром Я34 = Я3 + Я4 (рис.2.3, в);

б) паралельно з'єднані опори Я34 і Я2 замінимо еквівалентним опором Я234 = Я2 Я34 /(Я2 + Я34) (рис.2.3, г);

в) в одноконтурній схемі (рис.2.3, г) опори Яі і Я234 з'єднані послідовно, тому замінимо їх еквівалентним опором, який і є вхідним опором даного кола:і?1 + я234

Я2 + Я3 + Я4

Я2 + Я3 + Я4

Приклад 2.2. Розрахувати струми у вітках схеми (рис.2.3, б) для заданих зна­чень параметрів елементів: Е = 50 В; і?1=2,6 кОм; і?2 = 4 кОм; і?3= 1 кОм; Ді = 5 кОм.

Розв язання. Враховуючи результати прикладу 2.1, виконаємо розрахунок в та­кому порядку:

а) розрахуємо опори ділянок кола (рис.2.3, б, в, г):

Я34 = Я3 + Я4 = 1 + 5 = 6 кОм; Я234= Я2Я34 /(Я2+ Я34) = 4 ■ 6/10 = 2,4 кОм;

б) обчислимо еквівалентний опір кола відносно затискачів джерела (рис.2.3, г):

Яе = Я1 + Я234 = 2,6 + 2,4 = 5 кОм;

Е 50

в) визначимо струм в одноконтурній схемі (рис.2.3, г): /1 = = = 10 мА;

Яе 5

г) визначимо напругу між вузлами 3,2 (рис.2.3, в, г):

и 32 = Я234/1 = 2,4 -10 = 24 В;

д) використовуючи знайдену напругу и32, за законом Ома розрахуємо струми

/2 = и32/Я2 = 24/4 = 6 мА, /3 = и32/Я34 = 25/6 = 4 мА. Струми /2 і /3 можуть бути знайдені і без визначення и32, якщо врахувати,

ЩО и32 = /1Я234 = /1Я2Я34 /(Я2 + Я34): /2 = /(Я2 + Я34);    /3 = /(Я2 + Я34).

Ці формули відображають розподіл струмів в паралельних вітках і дозволяють спростити розрахунки.

Приклад 2.3. На рис.2.4 показана еквівалентна схема за постійним струмом міської телефонної лінії на ділянці телефонний апарат (ТА) абонента - автоматична телефонна станція (АТС). Лінія живиться від станційної батареї (джерела живлення) з ЕРС Е = 60 В, опір комутаційного обладнання АТС ЯАтс = 700 Ом, опір ТА Ята = 600 Ом, опір проводів лінії Ял1 = Ял2 = 550 Ом, опір імпульсного ключа (ІК) Яік = 10 Ом . Якщо слухавка ТА піднята, ключ К замкнено, якщо покладена - ключ К розімкнено. Під час набирання номеру ІК замикається.

телефонна лінія

Рисунок 2.4 - Еквівалентна схема телефонної лінії за постійним струмом

Визначити: 1) вхідний опір телефонного обладнання з боку затискачів 4-5 дже­рела АТС у режимах: а) ключі К та ІК розімкнено; б) ключ К замкнено, ключ ІК розі-мкнено; в) ключі К та ІК замкнено; 2) максимальний струм у телефонній лінії під час набирання номеру; 3) струм у лінії та напругу на затискачах 1-2 ТА у режимах: а) ключ К розімкнено; б) ключ К замкнено; 4) напругу на затискачах 1-2 ТА, якщо слу­хавка піднята, а до затискачів 1-2 увімкнено другий ідентичний ТА з метою несанкці­онованого прослуховування телефонних розмов.

Розв 'язання.

1. Якщо ключі К та ІК розімкнено, коло не замкнено, Явх -—оо . Якщо ключ К замкнено, а ключ ІК розімкнено, Явх = ^атс+ рта + Ял1+ Ял2= = 700 + 600 + 550 + 550 = 2400 Ом .     Якщо     ключі    К    та    ІК замкнено,

2. За законом Ома / = Е/Явх = 60/1810 = 0,033 мА.

3. Якщо ключ К розімкнено, напруга на затискачах 1-2 ТА дорівнює 60 В. Це пояснюється відсутністю струму, і відповідно, відсутністю спадів напруг на резисто­рах. Потенціал точок 4-5 джерела АТС та затискачів 1-2 буде однаковим.

Якщо ключ К замкнено, струм у лінії та напруга на затискачах 1-2 становити­муть, відповідно:

/ = Е / Явх = 60/2400 = 0,025 мА; и12 = /ЯТА = 0,025 600 = 15 В.

4. Якщо до затискачів 1-2 увімкнено ідентичний ТА, вхідний опір становитиме Явх =ЯАТС+Ял1+Ял2+ЯТА1ЯТА2/(ЯТА1+ЯТА2)=700 +550 +550+600 600/300 =2100 Ом, струм у лінії та напруга на затискачах 1-2 становитимуть, відповідно

/ = Е / Явх = 60/2100 = 0,029 мА; и12 = /ЯТА = 0,029 300 = 8,6 В.

Отже, значення напруги в лінії є одним з демаскуючих ознак наявності в теле­фонній лінії засобів несанкціонованого зняття інформації.

2.2.3 Еквівалентні перетворення опорів, з'єднаних у вигляді «трикутника» або «зірки»

З'єднання трьох опорів у вигляді «трикутника» або П-схеми показане на рис.2.5; з'єднання у вигляді «зірки» або Т-схеми - на рис.2.6. Ці з'єднання не містять послідовно або паралельно увімкнених елементів, і тому до них засто­совують окремий вид еквівалентних перетворень: «зірка-трикутник» і навпаки.

Формули для переходу від «трикутника» до еквівалентної «зірки»:

Явх = ЯАТС+Ял1+ Ял2+ ЯТА ЯІК /(ЯТА + ЯІК) =700 +550 +550 + 600 10/610 = 1810 Ом

я3-1я2-3

(2.3)

я1-2 + я2-3 + я3-1

я1-2 = я0-1 + я0-2 +    0-1   0 2 ;  я2-3 = я0-2 + я0-3 +

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації