Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 50

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

22. Два Г-подібних ФВЧ, кожен з яких складається з ємності 1 мкФ та індукти­вності 10 мГн, утворюють П-подібний фільтр. Розрахувати частоту зрізу / з (гранич­ну частоту) і характеристичний опір при 2/з та 0,5/з.

Вказівка. Скористатись формулою (/) = к / ^1 + (/з / ]/)2 . Відповідь: /з = 1592 Гц; 115,47 Ом; -у"57,74 Ом.

23. Дати визначення ідеального ОП. Навести параметри реального ОП.

24. Чим відрізняються диференційне та триполюсне увімкнення ОП?

25. Завдяки яким властивостям ОП, для розрахунку коефіцієнта передачі за на­пругою можна використовувати приблизну формулу (5.72)?

26. Пояснити, як складається формула для розрахунку коефіцієнта передачі за напругою у випадку каскадного з'єднання схем з ОП.

ти приклади схем.

ГІ

Й2 \\С

27. Знайти комплексний коефіці­єнт передачі за напругою активного ЯС-фільтра (рис.5.37), АЧХ і ФЧХ. Дано:        С = 3 нФ,        Я1 = 43 кОм,

Я2 = 91 кОм.

І І

Відповідь:

2,12 .

Рисунок 5.37 - Схема активного ^С-фільтра

КЛАСИЧНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ

Основні поняття та означення Перехідні процеси в колах Я, С та Я, Ь Перехідні процесі у колі Я, Ь, С Перехідні процеси у колах Я, С; Я, Ь; Я, Ь, С при синусоїдній дії

, спу(г)   ,    сїп-1 у(г)        , сіу(г)   .    , .    Гґ ,

сСгп     " 1 сіг

іь (-0) = іь (+0)     ис (-0) = ис (+0)

+ щ) = Е

с

і(г) = -Ее-/т + Е = Е -е-/т)

Я ЯЯ

О. Коші

1

Я

^г-СІ=Н

-► і(г)

2 і ^   иЯ (г)

Е

и ), і(г)

Е

Е

Я

0

Е

Я

X............................................................................................................................................

N

\

........\....................„

--(г.

 

Г   '   ~уиь ) ^І(г)

 

 

6 КЛАСИЧНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ

6.1 Основні поняття та означення

У розділах 1-3 розглянуто усталені (стаціонарні) процеси в лінійних електричних колах. Стаціонарний режим (процес) характеризується тим, що струми і напруги або незмінні у часі (кола постійного струму), або є періодичними функціями часу (кола змінного струму).

Реальні електричні процеси завжди відрізняються від стаціонарних, тому що будь-яка неперіодична зміна типу дії, параметрів кола або структури схеми викликає порушення стаціонарності режиму.

Перехідним зветься процес, який виникає в електричному колі під час переходу від одного усталеного режиму до іншого. Перехідні процеси виникають за певних умов, наприклад, при комутації.

Комутація - це зміна параметрів або схеми кола, ввімкнення або вимкнення джерела електричної енергії, зміна напруги на вході кола. Якщо коло містить тільки активні опори, то комутація "миттєво" викликає відповідні зміни струмів і напруг у вітках. За наявності реактивних елементів комутація супроводжується появою перехідних процесів. Теоретично тривалість перехідного процесу нескінченна, а практично залежить від параметрів кола і вимірюється для низькочастотних кіл мілісекундами або мікросекундами. Застосовуючи спеціальні схеми і підбираючи параметри кола, можна прискорити чи уповільнити перехідний процес.

Отже, умовами виникнення перехідних процесів є: 1) комутація; 2) наявність у колі реактивних елементів.

Перехідні процеси в деяких електричних колах пристроїв зв'язку, автоматики, імпульсної та телевізійної техніки є робочими процесами при нормальній експлуатації цих пристроїв. Іноді перехідні процеси супроводжуються небажаними явищами: на певних ділянках кола виникають перенапруги і так звані надструми.

Тому розрахунок і дослідження перехідних процесів є важливою інженерною задачею.

6.1.1 Закони комутації і початкові умови

Виникнення перехідних процесів пов'язано з особливостями змінювання енергії електромагнітного поля у реактивних елементах. З фізичних міркувань

зрозуміло,  що  енергія поля в  індуктивностях   м>ь = Ьіь /2   та ємностях

м>с = Єис /2   не  може  змінюватися миттєво:   енергія може змінюватися

безперервно, тому що інакше потужність р = дм> / йї, яка дорівнює похідній

енергії за часом, досягала б нескінченного значення, що фізично неможливо.

Це твердження виражає принцип неперервності у часі сумарного магнітного потокозчеплення індуктивності Ч* і сумарного електричного заряду

ємності д. Якщо момент комутації розглядати як початок відліку часу ґ 0 = 0, то

момент безпосередньо перед комутацією позначається ґ = -0, а момент після комутації ґ = +0 . Враховуючи ці позначення, можна записати:

І д (-0) = І д (+0); І ^ (-0) = І ч> (+0).

іі іі

Оскільки Ш=Ы, Є=Си, то ІЬіі1(-0)=ІЦіь{+0); Іс ис(-0) =Іс ис(+0).

/ / / /

З цих рівнянь, вважаючи сумарні значення Ы і С незмінними, отримують так звані закони комутації:

і1 (-0) = і1 (+0) - перший закон комутації;

ис (-0) = ис (+0) - другий закон комутації.

Отже, у початковий момент після комутації струм в індуктивності (напруга на ємності) залишається саме таким, яким він був безпосередньо перед комутацією, а потім плавно змінюється. При цьому слід пам'ятати, що в колах з ідеальними елементами стрибкоподібно можуть змінюватися: 1) струми в опорах та ємностях; 2) напруги на опорах та індуктивностях.

Значення струму в індуктивності та напруги на ємності до моменту комутації звуться початковими умовами. Оскільки початок перехідного процесу звичайно вважають таким, що збігається з початком відліку часу, то початкові умови для струму в індуктивності та напруги на ємності к-ї вітки позначають іЬк (-0), иСк (-0).

Розрізнюють нульові та ненульові початкові умови. Якщо первинний запас енергії у всіх реактивних елементах кола дорівнює нулю, початкові умови називаються нульовими. Якщо хоча б в одному накопичувальному елементі первинний запас енергії ненульовий, початкові умови називають ненульовими. Наприклад, кола (рис.6.1 і 6.2, а) мають нульові початкові умови, а коло (рис.6.2, б) - ненульові.

За нульових початкових умов, коли іь (-0) = 0, ис (-0) = 0, індуктивність у

початковий момент часу після комутації еквівалентна розриву кола, а ємність -короткому замиканню. У випадку ненульових початкових умов, тобто коли іь (-0) ф 0,   ис (-0) ф 0,  індуктивність  в  перший момент після комутації

еквівалентна джерелу струму іь (-0), а ємність - джерелу ЕРС ис (-0).

Початковими значеннями називають значення всіх електричних величин та їх похідних безпосередньо після комутації, тобто в момент часу ґ = +0. Використовують поняття незалежних початкових значень: і1 (+0), ис (+0).

Аналізуючи перехідні процеси у розгалужених колах, поряд з незалежними використовують так звані залежні початкові значення, а саме: значення всіх струмів і напруг, крім іь, ис, а також їх похідних при ґ = +0 . Залежні початкові

значення обчислюють за незалежними, виходячи з законів Кірхгофа.

При розрахунку перехідних процесів в електричних колах початкові значення мають бути відомими - заданими або додатково знайденими з урахуванням законів комутації.

6.1.2 Вимушений і вільний режими

Аналіз електричних процесів в ЛЕК, як відомо, базується на розв'язанні рівнянь Кірхгофа для миттєвих значень напруг і струмів в елементах кола. Оскільки дані миттєві значення пов'язані диференціальними залежностями, рівняння, які описують перехідні процеси, є диференціальними.

У ЛЕК з постійними зосередженими параметрами процеси описують лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами, методику складання якого можна розглянути на прикладі кола

(рис.6.1) з нульовими індуктивності.

З урахуванням диференціального співвідношення (1.16) між напругою і струмом в елементі Ь система рівнянь за законами Кірхгофа матиме вигляд:

) = І2(ґ) + іь(ґ);

0 =

початковими умовами, де треба знайти струм

в

Д1

Ь

*2

І2ї{     г1Ь (ґ)

іг(і) Д

Рисунок 6.1 - Електричне коло з нульовими початковими умовами

Розв'язуючи систему методом підстановки, можна підставити значення з першого рівняння до другого:

е(і) - 1Ь (і)і?і

і2 ( )

а далі вираз для струму І2(ґ) - до третього рівняння:

0

ІіЬ( ) І

Є(0 *2

+ іь ( 0

Д1Д2

В результаті виходить диференціальне рівняння відносно струму ІЬ ( ґ):

гД1 + *2 ІІЬ ( 0 + І  ( ґ) = Є( 0

У   загальному   вигляді процеси диференціальним рівнянням п-го порядку:

в

*1

ЛЕК описуються

Ьп

СІПУ(Ґ)

+ Ьп-1

+... + Ь

Су (ґ)

+ Ьо У (ґ) = ї (ґ),

(6.1)

лінійним

(6.2)

де у(і) - шукана функція (струм, напруга) - відгук кола на вхідну дію;

Стх(ґ) сІґт

+ ат-1

сІт-1х(ґ)

+...+а

1

Сх( )

+ а0 х( )

відома  функція, яка

залежить від дії х(і); а0, а1,ада; Ь0, Ь1,Ь„ - постійні коефіцієнти.

Важливо зазначити, що вигляд лівої частини рівняння (6.2) не залежить від того, для якої змінної воно складається, а залежить тільки від схеми кола і

2844параметрів його елементів. У цьому легко переконатися, записавши рівняння (6.1) відносно напруги на індуктивності та врахувавши зв'язок іЬ ) та иЬ ):

иь ) + -\иь _ -у..

К1К2 Ь 0 К1

Якщо продиференціювати останнє рівняння за часом та помножити його на Ь, виходить вираз:

т д1 + ?2 Сиь(і) + и (і) _ Ь Се(і) (6 3)

який відрізняється від рівняння (6.1) тільки правою частиною. Стосовно ж до (6.1),

х(0 _ е(і); у(і) _ іь (і); п _ 1; ^ _ 1; Ь _ Ь \ +/2 ; /(і) _ ^; ао _

У математиці існують різні способи розв'язання рівняння (6.2).

Згідно з класичним методом розв'язок (6.2) слід шукати у вигляді суми двох функцій - загального розв'язку однорідного рівняння і частинного розв'язку неоднорідного рівняння:

У (і) _ Увл ) + Увм ), (6.4)

де Увл(і) - загальний розв'язок рівняння (6.2) без правої частини, який характеризує електричні явища за відсутністю зовнішньої дії; увм (і) -частинний розв'язок (6.2) з правою частиною.

Відомо, що задача визначення частинного розв'язку диференціального рівняння при заданій початковій умові має назву задачі Коші1.

Класичний метод аналізу перехідних процесів в електричних колах полягає у складанні диференціального рівняння, що описує стан кола, розв'язанні цього рівняння і фізичному трактуванні розв'язку. Перевагою класичного методу є відносна простота, якщо порядок кола не перевищує двох.

У колі з реактивними елементами енергія джерела частково розсіюється на опорах, а частково накопичується в реактивних елементах. Процеси, які існують у колі за рахунок цього запасу енергії після відімкнення джерела, називають вільними. Тобто, якщо дія х(і) _ 0, коло перебуває у вільному

режимі. Функції, що визначаються за загальним розв'язком, звуться вільними складовими (струмів, напруг тощо). Характер вільного процесу визначається схемою кола і параметрами його елементів.

Функція увм (і) характеризує вимушений режим, обумовлений зовнішнім

джерелом. Характер змінювання електричних величин у колі у вимушеному

1 Коші Огюстен Луі, Саислу (1789-1857) - французький математик, член Паризької АН (1816) і Петербурзької АН (1831). Автор більше 800 праць з арифметики і теорії чисел; алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, тригонометрії, теоретичної та небесної механіки, математичної фізики, теорії пружності, оптики тощо. Коші належать терміни «модуль» комплексного числа, «спряжені» комплексні числа та ін.режимі визначається не тільки схемою і параметрами кола, але й законом змінювання дії. Якщо дія х(і) - постійна функція або періодична за часом, то

вимушений струм (напруга) буде одночасно і усталеним.

Існує універсальний метод визначення вільної складової, згідно з яким оператор диференціювання в однорідному для (6.2) рівнянні

+ Ьп-1^ + ... + ^ + Ь0 у (і) _ 0 (6.5)

сІіп сІіп 1 Сі

замінюють алгебраїчним оператором р:

сІпу (і)     п    сІп-1 у(і)     п-1      сі 2 у (і)     2    Су (і) . . .

іп іп 1 і2 і

Тоді вираз (6.5) перетворюється у характеристичне рівняння кола:

Ьпрп + Ьп-1рп-1 +... + + Ь0 _ 0. (6.6)

Степінь характеристичного полінома - лівої частини виразу (6.6) -визначається порядком диференціального рівняння (6.2) і зветься порядком кола.

Примітка. Диференціальне рівняння кола можна отримати, не складаючи вихідної системи рівнянь Кірхгофа. Достатньо визначити комплексну передатну функцію (КПФ) кола Н(о) .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації