Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 51

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Щоб довести це твердження, доцільно скористатись комплексними миттєвими значеннями дії та відгуку. Якщо дія

х(і) _ Хте^,

то для лінійного кола відгук змінюється з такою самою частотою, але має іншу комплексну амплітуду

у ) _ Н (о) ХтЄ°.

Функція у(і) є частинним розв'язком рівняння (6.2). Підстановка х(і) і у(і) до (6.2) призводить до тотожності:

Я(с)ХтЄССп(]0)П + Ьп-1(ЗСОТ1 + ... + \]СО + ^ _

_ ХтЄ]ОІ т Со)т + ат-1(30)т-1 +... + а^О + а0]. (6.7) Множник (/О)п здобутий внаслідок п-кратного диференціювання е/сі. Після скорочення на е]Ь° та Хт з виразу (6.7) виходить, що

Н(С) _ ат (/0 + ат-1(]°У~1 + к + а1/С + а0 (68)

_ Ьп (]0)п + Ьп-1(/о)п-1 + к + Ь1д + Ь)

Порівнюючи формули (6.2) і (6.8), неважко помітити, що коефіцієнти ак і Ьк

відповідно однакові, - символ першої похідної, а (/О)к - символ к-'ї похідної.

7  , . Лк                         і  ску(і) • / •

Добуток Ьк (/О)   відповідає члену Ьк-к— диференціального рівняння, а ак (/О)

- ак-к—. Отже, за знаменником дробу (6.8) можна скласти ліву частину рівняння

сг

(6.2), а за чисельником (6.8) - праву.

Використання КПФ кола для складання підсумкового рівняння дещо спрощує класичний метод аналізу, оскільки зведення системи рівнянь до одного рівняння -задача досить громіздка, простіше визначити КПФ.

Знаменник виразу (6.8) після заміни (/О)к на рк утворює характеристичний

поліном. Якщо цей поліном прирівняти до нуля, виходить характеристичне рівняння.

Як зазначено вище, вигляд лівої частини рівняння (6.2) не залежить від того, для якої змінної воно складається. Тому для здобуття рівняння кола можна скористатись комплексною функцією (КФ) будь-якого виду, зокрема КВФ -комплексною вхідною функцією - 2 вх (о) чи Г вх (о), а для складання характеристичного рівняння застосувати такий спосіб: а) записати формулу вхідного опору або провідності кола в комплексній формі; б) у формулі 2ВХ (/О) чи Гвх (/О)

замінити множник /О на р; в) отриманий вираз прирівняти до нуля: 2вх(р) _ 0,

Гвх (р) _ 0.

Характеристичне рівняння можна отримати, прирівнюючи до нуля вхідний опір 2вх (р) відносно будь-якої вітки кола. У тих випадках, коли розгалужене коло має

єдиний накопичувач енергії, зручніше розглядати формулу вхідного опору відносно вітки з накопичувачем енергії. Якщо у схемі є джерело струму, для здобуття характеристичного рівняння рекомендуються виконати одну з двох дій: розрахувати опір Хвх (р) не відносно вітки з джерелом (вважаючи її розімкненою), а відносно будь-якої іншої вітки кола; або розрахувати провідність відносно вітки з джерелом і прирівняти її до нуля: Гвх (р) _ 0.

Як скласти диференціальне та характеристичне рівняння кола за допомогою КПФ і 2вх (р), розглянуто у прикладі 6.2.

Вигляд вільної складової визначається характером коренів характеристичного рівняння рк =1,2,..., п).

Корені рк рівняння (6.6) можуть бути дійсними, комплексними, простими

і кратними. Оскільки в ЛЕК параметри елементів додатні, а коефіцієнти рівняння (6.6) визначаються схемою кола і параметрами її елементів, то Ьі > 0.

Тому корені рк - від'ємні дійсні або комплексні-спряжені, які мають від'ємну

дійсну частину (Яерк < 0).

Якщо серед коренів характеристичного рівняння немає кратних, тоді

увл(і) 4еркі, (6.9)

к _1

де Ак - сталі інтегрування.

Якщо є комплексно-спряжені корені, наприклад рк к+1 _ -8к ± /0влк, то вираз АкеРкі + Ак+хеРк+х1 перетворюється у

e-5 kt (Akeja™k +Ak+1e~7Ювл kt) = е~д kt (M cos       + N sin швл kt) =

= Ae "5 kt sin(a^ kt + (6.10) де А, і|/ - сталі інтегрування.

Якщо серед n коренів Pk l коренів є кратними дійсному кореню, наприклад p1, то

Увл(0 = (Ai + A2t + ... + Aitl-1)ePlt + ±AkePkt. (6.11)

k=i+1

Якщо є m-кратні спряжені комплексні корені, тоді

Увл(t) = e"§1t It~l(Ml cosсовл/ + N sin fflвлlt) + I AkePkt. (6.12)

i =1 k=m+1

З огляду на те, що в ЛЕК корені або їх дійсна частина є від'ємними,

lim     (t) = 0.

t ->оо

Оскільки вільні процеси в ЛЕК загасають, розв'язок диференціального рівняння y(t) з часом прямує до увм (t):

lim y(t) =     (t). (6.13)

too

Теоретично перехідний процес продовжується нескінченно і вимушена складова увм(t) є розв'язком рівняння для t o. Ця обставина дозволяє у

випадку постійної або синусоїдної дії визначати увм (t) методами теорії кіл, викладеними вище у розд.2 і 3.

Кількість сталих інтегрування Ak у розв' язку рівняння кола збігається з

його порядком n. Щоб визначити n сталих Ak, необхідно n рівнянь і n

початкових умов. Необхідну кількість рівнянь можна отримати n -1 кратним диференціюванням розв'язку (6.4). Початкові значення знаходять, розглядаючи вихідну систему рівнянь Кірхгофа при t = +0, в якій незалежні початкові значення відомі з законів комутації.

Нехай розв' язок рівняння кола порядку n має вигляд:

y(t) =I AkePkt +     (t). (6.14)

k=1

Якщо продиференціювати (6.14) послідовно n -1 разів, вийде система:

y'(t) =Y.PkAkePkt + увм (t);

k=1

y"(t) =lPf AkePkt +    (t); (615)

k =1

у(n-1)(t) =I Pi-1 AkePkt +    -1)(t). k=1

Для t =+0 співвідношення (6.14) і (6.15) призводять до системи рівнянь відносно Ak (+о) =14 + (+0);

к=1

п

у'(+0) =1     + увм (+0);

к=1

уч+0) = 1 /л2 Ак + Увм (+0);

(6.16)

к=1

У(п-1)(+0) =1 /л"-1 Ак + увм-1)(+0).

к=1

Знаючи початкові значення, тобто ліві частини рівнянь (6.16), знаходять Ак. Наприклад, для кола першого порядку

у(+0) = 4 +     (+0), звідки А1 = у(+0) -     (+0). Отже, аналіз перехідних процесів класичним методом складається з етапів:

1. Визначення початкових умов іЬк (-0), пСк (-0).

2. Визначення   незалежних   початкових   значень   і1 (+0),   ис (+0),

використовуючи закони комутації.

3. Складання системи рівнянь за законами Кірхгофа для моменту часу ґ = +0, отримання диференціального рівняння кола відносно шуканої змінної.

4. Визначення  характеристичного   рівняння   (6.6)   і   його коренів, розрахунок вільного режиму за формулами (6.9) - (6.12).

5. Розрахунок вимушеного режиму.

6. Визначення залежних початкових значень.

7. Розрахунок сталих інтегрування, виходячи зі співвідношень (6.16).

8. Підсумовування вільних та вимушених складових за формулою (6.4). Слід пам'ятати, що фізично існують тільки повні струми (напруги), які

дорівнюють сумі вимушеної та вільної складових. Саме їх можна вимірювати або спостерігати за допомогою приладів (осцилографа, вольтметра тощо). Щодо них слушні закони комутації. Вимушена та вільна складові є розрахунковими величинами, сума яких дає реальні (фізичні) струми і напруги.

Приклад  6.1.  Скласти  диференціальне  рівняння  для  кола з нульовим (рис.6.2, а) і ненульовим (рис.6.2, б) первинним запасом енергії.

а

Рисунок 6.2 - Електричні кола: а - з нульовими; б - з ненульовими початковими умовами

Розв'язання. Рівняння, що описують процеси в колі, складаються для режиму після комутації. Складемо для схеми (рис.6.2, а) систему рівнянь за методом Кірхгофа, наприклад для вузла 1 та контурів К і К2 :

Г

С

Я^і) + Я2'2(*) + Ь

і аі (6.і7)

Щоб розв'язати систему (6.17), зведемо її до рівняння відносно якої-небудь однієї змінної, наприклад струму іі ( Г). Для цього продиференціюємо друге рівняння системи (6.17):

і аі      аі2   с аі

Далі знайдемо з першого рівняння системи (6.17)

із(о = іі(о - І2(0,

а з третього -

і?2      ^2    СГ ^2

Підставивши (6.20) до (6.19), а далі вираз для із(г) до (6.18), здобудемо підсумкове рівняння для струму і1( ) :

(6.і8) (6.і9)

(6.20)

а 2іі( і) + ь + я^сш^ і) + Яі + ^2    = 1(0

аі 2 Л     Т /~< -7-і Г>     Т /~<       і ^    ' Т -7-і

+

і

-е(і). (6.2і)

я2ьс    аг    я2ьс 1X7 ь а   я2ьс

Оскільки порядок рівняння (6.2і) другий, коло (рис.6.2, а) є колом другого порядку.

Якщо первинний запас енергії кола ненульовий (рис.6.2, б), після комутації схема виглядатиме так само, як і для кола з нульовими початковими умовами, а система рівнянь за законами Кірхгофа

Г

с

Яііі(і)+\ із( і)аі +

а

(6.22)

яЛ( і) + Я2І2( і)+ь

аіі( і)

а

е(і)

буде аналогічною системі (6.17). Системи (6.17) і (6.22) відрізняються лише нижньою межею інтеграла у другому рівнянні, який можна записати у вигляді: 1'1 0 1 г 1 г

с

с

с

с

де и с о - початкова напруга на ємності в момент комутації.

Оскільки исо - постійна величина, її похідна за часом дорівнює нулю. Тому

перетворення системи (6.22), подібні перетворенням системи (6.17), призводять до рівняння (6.21).

Приклад 6.2. Скласти диференціальне та характеристичне рівняння для кола (рис.6.1), вважаючи відгуком напругу на індуктивності. Розв язання. Використовуючи формулу для КПФ

Я2 уші /(Я2 + уші)   = Я2 уші

Я (ю)

11 2ЯЬ 112 вх

(6.23)

Е    11 £вх    Я1 +Я2уші /(Я2+уші)   уюЦЯ^Я2) + Я^Я2 ' за знаменником виразу (6.23) запишемо ліву, а за чисельником (6.23) - праву частину диференціального рівняння кола відносно напруги иі (і):

сїиь (і)

+ ЯхЯ2иь ) = ЬЯ2

сСє(і)

Поділивши останнє рівняння на        , отримуємо вираз (6.3).

Щоб   здобути   характеристичне   рівняння,   замінимо   у лівій диференціального рівняння (6.3) оператор диференціювання на оператор р : частині

Я1Я2

р +1 = 0.

Знайдемо характеристичне рівняння в іншій спосіб вхідний опір кола   вх (() відносно затискачів джерела: (6.24)

прирівнявши до нуля

Яі +

Я2 уюь

0;

+і=0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації