Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 52

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Я2 + )(1       ' " Я1Я2

Після заміни у'со на р, отримуємо вираз (6.24).

Приклад 6.3. Знайти струм /2 ) електричного кола (рис.6.3, а).

іх(і)

сс

а

1  іс )     I І2)

Я2

б

Рисунок 6.3 - Схеми електричних кіл до прикладів 6.3 і 6.4

Яз

і3 ( )

Розв язання. Запишемо систему рівнянь Кірхгофа:

) - І2) - іс ) = 0; Щі) + Я2І2) = є(і );

ис ) - Я2І2) = 0

та зведемо її до одного рівняння відносно струму І2 (і): (6.25)

+ ^-2 і2(і) =-е(і ). (6.26)

Сі    я1я2с я1я2с

Складемо характеристичне рівняння та знайдемо його корінь:

р + я + я = 0; рі =-Я + Я .

Розв'язок рівняння (6.26) згідно з класичним методом має вигляд:

і2) = + і2вм ), (6.27)

де вимушена складова струму і2вм ) може бути записана конкретно, якщо

буде заданий закон змінювання вхідної дії. Визначення вимушеної складової відгуку в режимі постійної та синусоїдної дії розглянуто в прикладі 6.4 та підрозд. 6.2, 6.4.

Знайдемо сталу інтегрування з рівняння (6.27), підставивши і = +0 :

і2 (+0) = 4 + і2вм (+0). (6.28)

Початкове значення струму і2 (+0) визначимо з третього рівняння системи (6.25) при і = +0: ис (+0) - Я2і2(+0) = 0.

Оскільки початкові умови нульові, то ис (-0) = 0. За другим законом комутації ис (+0) = ис (-0). Отже, і2 (+0) = 0 і з виразу (6.28) знаходимо:

4 = 2вм (+0) ;      і2) = -2вм (+0)еР1' + і2вм ) .

Приклад 6.4. Коло з параметрами Е = 12 В, Яі = Я3 = 10 Ом, Я2 = 3 Ом, Ь = 2 мГн (рис.6.3, б) увімкнено до джерела постійної ЕРС. Визначити струм і'3 ). Розв 'язання.

і. Коло має ненульові початкові умови. За законами Кірхгофа складемо систему рівнянь для миттєвих значень напруг та струмів для моменту часу і = +0 :

) = і2(і) + і3(і);

<Я1і1(і) + Я3і3(і) = Е ; (6.29)

Я3і3) - Ь^ЛІ - Я2і2) = 0. Л

Розв'язуючи цю систему відносно струму і*3 ), знаходимо диференціальне рівняння:

Ь( Яі + Я3)        + і3 )[ Я1Я3 + Я2 (Яі + Я3)] = ЕЯ2, (6.30) Л

з якого визначаємо характеристичне рівняння:

Ь( Яі + Я3) р + (ЯіЯ3 + Я2 Яі + Я3 Я2) = 0. Корінь характеристичного рівняння становить:

рі = -ЯЯ + Я2 Яі + Я3 Я2 =-4000 с -і. (6.3і)

Примітка. Зазначимо, що іноді задачу аналізу перехідного процесу у колі першого порядку розв' язують, виключаючи етап складання диференціального рівняння. При цьому корінь характеристичного рівняння знаходять за допомогоюсталої часу і = — 1/ рх (див. підрозд.6.2). Оскільки характеристичне рівняння кола (як

ліва частина диференціального) не залежить від зовнішньої дії, сталу часу можна визначати, розглядаючи вільний процес у колі. При цьому вважають, що джерела напруги розімкнено, джерела струму - замкнено, а в реактивному елементі накопичено деякий запас енергії. Накопичувальний елемент розглядають як джерело енергії, а іншу частину кола - як його навантаження.

Для кола Я, С (див. п.6.2.1) стала часу іс = ЯеС, для кола Я, Ь (див. п.6.2.3)

стала часу і ь = Ь / Яе, де  Яе  - еквівалентний опір кола відносно затискачів

накопичувального елемента.

Оскільки джерелом вільних процесів у схемі є індуктивність, знайдемо значення еквівалентного опору відносно затискачів індуктивності:

Я,

Я2 +

Я1Я3

Я + Яз

Рі

1

Я,

ь

Я\Яз + Я2 Яі + Я3 Я2 Ь( Яі + Яз)

Як бачимо, отриманий результат збігається з виразом (6.31).

Розв'язок рівняння (6.30) шукаємо у вигляді:

із(і) = ЛівРі1 + і3вм ). (6.32)

2. Щоб знайти вимушену складову, розглянемо момент часу і да. В усталеному режимі постійного струму опір індуктивності дорівнює нулю. За еквівалентною схемою (рис.6.4, а) знаходимо шуканий струм І3вм (і) = 13(0°), користуючись законом Ома та формулою розподілу струмів у паралельних вітках:

Я_=_ЕЯі_=     і2 3

і3(о) =

Я2 + Я3    [ Яі + Я2 Я3/( Я2 + Я3)]( Я2 + Я3)   (і0 + 30/і3) 43

0,225А.

Е

и

1'

Я2

а

Я3

Іі(+0) Яі

Е

І2(+0)

б

Я3

Рисунок 6.4 - Еквівалентні схеми кола (рис.6.3, б) для моментів часу:

а - і —да; б - і = +0

3. Щоб визначити сталу Лі, розглянемо рівняння (6.32) при і = +0 :

І3 (+0) = Лі + І3вм (+0), звідки

Лі = І3 (+0) - І3вм (+0). (6.33) Оскільки шуканий струм і3 (і) не є струмом в індуктивному елементі, до нього не можна безпосередньо застосувати закон комутації. У цьому випадку І3 (+0) є залежним початковим значенням, яке можна знайти двома способами:а) для моменту ґ = +0, підставивши перше рівняння системи (6.29) до другого, матимемо:

Щ [і2 (+0) + і3 (+0)] + ^3 (+0) = Е, звідки і3 (+0) = Е ~ ^1І2(+0) . Струм І2 (+0) визначаємо з першого закона комутації як струм в індуктивності:

і2 (+0) = і2 (-0) = Е= -12- = 0,923 А, ^        ^       Щ + Я2   10 + 3

.   . ( 0)   12 -10 0,923 0139

тоді і3(+0)=10+10—=0,139 А;

б) складемо схему кола для моменту ґ = +0 (рис.6.4, б), враховуючи, що за ненульових початкових умов індуктивність еквівалентна джерелу струму /2 (+0). Оскільки в цій схемі є два джерела, скористуємось методом накладання:

Із(+0) = іза (+0) - ізб (+0) = ~ І2 (+0) +1- = 0,6 - 0,462 = 0,139 А.

Отже, з формули (6.33) Л\ = 0,139 - 0,225 = -0,086А, а кінцевий вираз для струму матиме вигляд: І3 (ґ) = -0,086е ~4000/ + 0,225 А.

Приклад 6.5. До електричного кола, яке утворюють послідовно з'єднані елементи Ь = 40 мГн, Я та С (рис.6.5, а), прикладено постійну напругу и = 120 В. Конденсатор замкнено. Розімкненням контакту конденсатор вводиться у коло. Знайти напругу на обкладинках конденсатора та струм у двох випадках: 1) Я = 100 Ом, С = 25 мкФ; 2) Я = 80 Ом, С = 5 мкФ. Накреслити криву гіс (ґ).

Розв'язання. Розв'яжемо задачу, виключаючи етап складання диференціального рівняння. Напругу на конденсаторі знайдемо у вигляді суми вимушеного та вільного значень: ис (ґ) = исвл (ґ) + иСвм (ґ) .

Рисунок 6.5 - До прикладу 6.5: а - схема; б - графіки часової залежності

напруги на ємності

Вимушена складова напруги в усталеному режимі иСвм ) = 120 В, оскільки

після розмикання ключа по закінченні перехідного процесу конденсатор буде заряджений до рівня прикладеної до кола постійної напруги.

Щоб визначити вільну складову, прирівняємо до нуля вхідний опір кола ^вх (®), замінивши у'со на р :

Я + рЬ +1/рС = 0;       р2ЬЄ + рЯс +1 = 0. (6.34) Характеристичне рівняння (6.34) має два корені:

Я

V 2 Ь у

2

1

ЬС

(6.35)

Для кожного з двох заданих випадків обчислимо корені р12, а також вільну

складову шуканої напруги.

1. За формулою (6.35) знаходимо: р1 =-2000 с-1, р2 =-500 с-1. Для різних дійсних коренів характеристичного рівняння вільна складова має вигляд (6.9):

исвл ) = V + А2Єр2Ґ ,

де А, А2 - сталі інтегрування.

Підсумовуючи вільну та вимушену складові, матимемо:

ис ) = Ахер1 + А2Єр2Ґ + исвм ). Щоб розрахувати А1, А2, скористаємось формулами (6.15), (6.16):

с (+0) = А + А2 +120; и(+0) = р1 А1 + р2А2 . Згідно з законом комутації за нульових початкових умов ис (-0) = ис (+0) = 0. Щоб знайти значення похідної и(+0), запишемо диференціальне співвідношення між напругою і струмом в ємності:

(+0) = іс (+0) сіґ с '

Оскільки в момент ґ = +0 за нульових початкових умов ємність еквівалентна короткому замиканню, а індуктивність була замкнена в усталеному режимі до комутації, струм іс (+0) = V / Я.

Тоді система (6.36) матиме вигляд:

0 = А1 + А2 +120;     г   а2 =-А1 -120;

іЯс = р1 А1 + р2А2 ;    І48000 = р1 А1 + р2А2 . Розв'язуючи цю систему, знаходимо А1 = 8 В, А2 = -128 В. Отже, ис) = 120 + "2000ґ - 128е"500ґ В (рис.6.5, б, крива 1);

іс ) = с = -0,4е "2000ґ + 1,6е "500ґ А.

сіґ

2. За формулою (6.35) р12 =-8± 7'ювл = -1000 ± ] 2000 с-1. Для комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння вільна складова має вигляд (6.10):

%вл (t) = Ae Ы sin(GW + у),

де А, у - сталі інтегрування.

Підсумовуючи вільну та вимушену складові, матимемо:

UC {t) = АЄ~Ш $5ш(0^ + у) + иСвм (t) .

Складемо систему рівнянь аналогічно системі (6.36):

Г0 = А sin у +120;

-= -8А sin у + Асовл cos у .

Виразимо з першого рівняння А = —120/ sin у та підставимо до другого:

3 -105 = 1205 — 120ювл^у, звідки у = arcctg(—3/4) = —530; А = 150 В. Запишемо кінцевий вираз напруги на конденсаторі:

uC(t) = 120 + 150e"1000t sin(2000t 530) В (рис.6.5, б, крива 2). Зазначимо, що вільну складову можна знайти, використовуючи функцію

косинус:       исвл(t) = Аcos(0W + у1).

Розраховуючи аналогічно сталі інтегрування А1, отримаємо:

ис (t) = 120 150e"1000t cos(2000t + 370) В. Диференціюючи Uc (t) і помножуючи на С, визначаємо струм; ic (t) = 0,75 -10 —3 e"1000t [1000 cos(2000t + 370) + 2000 sin(2000t + 370)] = = 0,75e"1000t V5sin(2000t + 370 + arctg0,5) = 1,68e "1000t sin(2000t + 640) А.

6.2 Перехідні процеси в колах R, c та r, l 6.2.1 Вільний режим у колі r, c

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації