Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 53

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Нехай коло R, C (рис.6.6, а) має ненульові початкові умови: Uc(0) = E.

сІис (г)

Напруги на ємності   иСвл (Г)   та опорі   иквл (Г) = Я/вл (Г) = -м—

задовольняють другому закону Кірхгофа, згідно з яким

\ U

E

а б Рисунок б.б - Схеми електричних кіл: а - R, c; б - R, L

29б

^вл(0 + %вл(0 = 0,    або   КС^^- + иСвл(і) = 0. (6.37)

Диференціальному рівнянню (6.37) відповідає характеристичне

рСЯ +1 = 0.

Це рівняння має єдиний корінь р1 = -1/ ЯС, який є дійсним від'ємним

числом. Інакше, р1 = -1/ т, де стала т = ЯС має вимірність часу: [т] = [ЯС] =

ОмхФ = ОмхАхс/В = с. Вона зветься сталою часу кола. Отже, загальний розв'язок рівняння (6.37) такий:

Пс вл (0 = V1' = Ахг-/т. (6.38) Стала А1 розраховується з початкових умов з використанням закону

комутації. При г = +0 за формулою (6.38) иС (+0) = А1е0 = А1; згідно з законом комутації за ненульових початкових умов ис (+0) = ис (-0) = Е. Тобто Л\ = Е, і

вираз (6.38) приймає вигляд: ис вл (') = Ее-.

Струм у колі та напругу на опорі можна знайти за законом Ома:

'вл(') = = -ЕЯе-'/т; иявлм = Д<вл(') = -Ее-', де т = КС.

ш Я

Відповідні графіки зображено на рис.6.7, а. З рисунку видно, що згідно з другим законом Кірхгофа в будь-який момент часу алгебраїчна сума напруг у колі дорівнює нулю.

З'ясувати зміст сталої часу можна, поклавши ' = т. Тоді иС (т) = -иЯ (т) = Е / е; '(т) = -Е /(Я -е). Отже, стала часу т дорівнює часовому

інтервалу, за який напруга або струм в колі Я, С зменшуються за абсолютною величиною у вільному режимі в е = 2,718 рази (37% від початкового значення).

Інакше, стала часу електричного кола - величина, що характеризує електричне коло з одним інерційним елементом (індуктивністю чи ємністю) і дорівнює довжині піддотичної до кривої вільної складової перехідного струму

(рис.6.7, а). Дійсно, Шисвл(') =-Ее-/т =-исвл). Графік функції иСвл(')/Е

& т т

для різних значень т наведено на рис.6.7, б, а числові значення - у табл.6.1.

Із знайденого розв' язку виходить, що процес зменшення напруги та

струму продовжується нескінченно, і лише при ' да коло переходить до

режиму спокою, коли вся енергія СЕ / 2, накопичена у ємності, буде виділена в опорі Я у вигляді теплової енергії.

Таблиця 6.1 - Числові значення функції исвл (')

г / т

1

2

2,3

3

4,6

иС вл (г)/ Е

0,368

0,136

0,1

0,05

0,01

В інженерній діяльності користуються різними критеріями практичної тривалості перехідного процесу їпер. Наприклад, в техніці сильних струмів

приймают ґпер = (5...6)т, у слабкострумових колах вільні процеси вважають

закінченими,  коли   ис) < 0,0іЕ ,  тобто  тривалість  перехідного процесу

становить їпер = 4,6т.

и ), і(0 Е

0

-Е/Я -Е

иСвл )/ Е

1

^^^^

ї 0,368

 

 

 

 

/       иЯвл (ї)

0

а

 

її < Т2 < Т3

0     Ті Т2 т3

б

Рисунок 6.7 - Графіки часових залежностей струму і напруг кола Я, С

у вільному режимі

6.2.2 Увімкнення джерела постійної напруги до кола Я, с

У колі Я, С, яке зображено на рис.6.6, а, увімкненню джерела Е відповідає зміна положення перемикача £: 2-і. При цьому існують нульові початкові умови: ис (-0) = 0. Згідно з другим законом Кірхгофа:

Яі(ї) + ис (ї) = Е; ЯСАис ) + ис ) = Е. (6.39)

За класичним методом розв'язок диференціального рівняння (6.39) представляють у вигляді: ис) = исвл) + исвм).

Характеристичне рівняння рЯс +1 = 0 має корінь    рі = - і/ Яс = / т.

Загальний розв'язок рівняння (6.39) збігається з (6.38). Оскільки при /»°о конденсатор заряджається до рівня Е, то вимушена складова исвм = Е . Тоді

ис(ї) = Л\е~1+ Е. (6.40) Сталу інтегрування Лі знаходять із системи рівнянь:

ис (+0) = Лі + Е ; ис (-0) = 0.

Згідно з законом комутації ис (-0) = ис (+0). Тоді А\ + Е = 0, А1 = . Отже, за нульових початкових умов можна записати:

ис) = -Ее-/т = Е(1 - є-/т); іс(і) = = Ее; иЯ) = Яі(і) = Ее-/т.

ск Я

Графіки отриманих залежностей зображені на рис.6.8, а. Слід звернути увагу на те, що в момент комутації струм кола, а отже, і напруга иЯ ) зростають стрибкоподібно.

и (ґ)

Е

0

Е

10

б

Рисунок 6.8 - Графіки часових залежностей: а - напруг кола Я, С; б - вільних складових струму і напруг кола Я, Ь

6.2.3 Вільний режим у колі я, ь

Вільний режим у колі Я, Е виникає за рахунок енергії, накопиченої в магнітному полі індуктивності. Схема (рис.6.6, б) має ненульові початкові умови: іЕ (-0) = І0. Тому при замиканні перемикача у вітці Я, Е виникає вільний

процес.

Згідно з другим законом Кірхгофа:

иЯвл (ґ) + иЕвл (ґ) = 0;

Яівл (ґ) + Е­0.

(6.41)

Рівняння (6.41) аналогічне і дуальне до (6.37) відносно шуканої змінної. Відповідне характеристичне рівняння рЬ + Я = 0 має єдиний корінь р1 = - Я / Ь = -1/ т (т = Ь / Я), який є дійсним від'ємним числом. Тому загальний розв'язок рівняння (6.41) матиме вигляд:

івл (і) = А1ер1і = Ахе-/т. (6.42) Значення сталої А1 отримують з початкових умов і рівняння (6.42): і(+0) = А1, і(-0) = /0, отже А1 = /0. Тоді

ґ

ґ/т

; иЕвл

(ґ) =

w сіґ

-ЯІ0Є

ґ/т

Стала часу т має той самий зміст, що й у колі Яс . Тривалість вільного процесу іпер тим більше, чим більше індуктивність Ь і менше опір Я (рис.6.8, б).

6.2.4 Увімкнення джерела постійної напруги до кола Я, ь

Схема аналізованого кола зображена на рис.6.9, а. Початкові умови нульові:  іЕ (-0) = 0. Згідно з другим законом Кірхгофа після переведення

перемикача до положення "2" алгебраїчна сума напруг на елементах кола дорівнюватиме Е:

Сі(ґ)

Е . (6.43)

+ Яі(ґ)

сіґ

1

Я

І 5   иЯ (ґ)

Е

иЕ(ґ)

а

и ), і(ґ)

Е

Е

Я

Е

0

Е

Я

X...........................................................................................................................................

\

\

........\....................^

 

У*

""""""""тиЕ (ґ)   ^ і(ґ)

 

 

 

 

 

б

Рисунок 6.9 - Увімкнення джерела постійної напруги до кола Я, Ь: а - схема; б - графіки струму і напруг

За класичним методом розв'язок (6.43) має вигляд:      = івл(і) + івм(і).

Характеристичне рівняння Ьр + Я = 0 має корінь р1 = - Я / Ь = -1/ т. Тому

вільна складова збігається з виразом (6.42). Оскільки при і—»°о струм у колі становить       = Е / Я   (для постійного струму індуктивність еквівалентна

короткому замиканню), то вимушена складова іЬвм (і) = Е / Я.

Тоді і( ґ) = А1еРіґ + Е / Я. Визначивши сталу А1

іЕ (+0) = А1 + Е / Я;

іе (-0) = 0;

А1 = - Е / Я,

можна записати:

і (ґ) = -Ее = Е (1 Я ЯЯ

е ґ/т);

иЯ (ґ) = Яі (ґ) = Е (1 - е-ґ);     иь (ґ) = Е&&1 = Я^е-/т

сіґ Ят

Ее

Відповідні графіки зображені на рис.6.9, б.

Порівняння розв'язків для кіл Я, С і Я, Ь показує, що за нульових початкових умов і ступінчастої дії струм у колі Я, Ь і напруга на ємності у колі Я, С змінюються за однаковим законом. Струм іЬ ), поступово зростаючи від

нуля при ґ = 0, асимптотично наближається до значення I = Е / Я. Напруга на індуктивності иЬ ) в момент комутації змінюється стрибком. У колі при ґ— да встановлюється режим постійного струму: і (да) = Е / Я, иЬ (да) = 0, иЯ (да) = Е.

Тривалість перехідного процесу практично оцінюється за тими ж критеріями, що й у колі Я, С.

6.3 Перехідні процеси у колі я, ь, с

З особливостями перехідних процесів у колі Я, Ь, С доцільно ознайомитись, розглянувши послідовне з'єднання елементів (рис.6.10, а) і припустивши, що у попередній момент до короткого замикання кола електромагнітна енергія зосереджена в ємності, а струм в індуктивності дорівнює нулю:   иС(-0) = Е, іЬ(-0) = 0 .

Щоб проаналізувати вільний режим, складають рівняння

Сівл (ґ )

иС вл (ґ ) + Яівл (ґ) + Ь

СІІ

0

і розв'язують його відносно будь-якої напруги або струму кола, наприклад, відносно напруги на ємності, скориставшись співвідношенням (6.10).

Е

а

Рисунок 6.10 ■

Е

Ь

гуул.

б

Схеми кола Я, Ь, С в режимах: а - вільних; б - вимушених коливань

0,

(6.44)

У результаті виходить диференціальне рівняння другого порядку:

Ли1 вл (І) + Я ЛиС вл (І) + иСвл (І)

сіг2      Е    сіг ЕС

сІиС  (ґ)       сІиС  (ґ) 2 або Св2    + 25   СвлЛ } + юрезиС  )

де сорез =     ЕС ; 5 = Я /2Е - коефіцієнт загасання.

Диференціальному рівнянню (6.44) відповідає характеристичне рівняння

0,р2 + 2Ър + С0рез = 0,

(6.45)

вл -

яке має два корені р12 = -5±А*52 - юрез = -5 ± 7'юв

де сорез - кутова частота незагасаючих коливань (резонансна частота);

ювл - кутова частота вільних загасаючих коливань.

На відміну від кіл першого порядку в послідовному колі Я, Ь, С характер перехідного процесу може бути різним. Залежно від значення параметрів кола можливі три основні режими (рис.6.11):

ІпГ

 

 

 

 

 

 

0

 

Іт

р1 = р2 = -5 О

р1 = -5 + ./Ювл

рез

0

р2

а

б

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації