Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 54

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

Ч

-5 - ./«вл

в

рез

Рисунок 6.11 - Розташування коренів характеристичного рівняння на

комплексній площині

1) корені р12 - дійсні різні (рис.6.11, а). Тоді 8 > сорез, Я > (р = VЬІС - характеристичний опір), добротність <2 < 0,5 (аперіодичний вільний режим);

2) корені р12 - дійсні рівні (кратні). При цьому 8 = сорез, р1 = р2 =-8 (рис.6.11, б), Я = 2р, () = 0,5 (критичний режим);

3) корені р12 - комплексно-спряжені (рис.6.11, в). При цьому 8<сорез, Я < 2р, <2 > 0,5 (коливальний режим).

Отже, характер вільних процесів у контурі залежить від вигляду коренів характеристичного рівняння.

6.3.1 Аперіодичний режим

Якщо корені р12 - різні (варіант 1 і 3 ), тобто не утворюють кратного кореня, то згідно з виразом (6.9) загальний розв'язок (6.44) записується так:

ис вл ) = 4^ + 4ер2'. (6.46) Щоб визначити струм у колі, використовують співвідношення (6.10):

(6.47)

Для визначення А1 та А2 підставляють +0 у вирази (6.46), (6.47):

\ис вл (+0) = А, + А2-

Лл (+0) = СА р, + СА2 р2 Враховуючи початкові умови ис (-0) = Е, закони комутації, можна записати:

(6.48)

/(-0) = іЕ (-0) = 0, а також

[ Е = А + А2;

[ А2 = Е - А,; А,р, + (Е - А,)р2 = 0.

З   цієї системи Підстановка значень А: виразів:

виходить:      А, = -Ер2 /(р, - р2);     А2 = Ер1 /(р1 - р2)

і А2 у співвідношення (6.46) і (6.47) призводить до

Ер2

р2 - р,

-єр,і

Ер,

-вр2І;

р2 - р,

(6.49)

івл і<) = (

р2 - р,

Оскільки p1 р2 = сор,

рез

ЕС

то івл( )

Е

(е^2 - ер22);

и

Е вл

( )=Е

Е

(

V

р,ер'2 - р2ер22

(6.50)

(6-5!)

СІ2 р2 - р,

Як видно з графіків (рис.6Л2, а-в), побудованих згідно з виразами (6.49) - (6.5,), перехідні процеси мають аперіодичний характер. Графіки побудовано для випадку, коли обидва корені від'ємні, а другий корінь р2 за

абсолютною величиною більший першого.

Напруга на ємності монотонно зменшується, починаючи з початкового значення Е. При 2 = 0 дотична до иС (2) паралельна осі абсцис, оскільки

і(+0) = СиС (+0). Струм і(2) буде максимальним при 21

!п р2

р, - р 2 А тобто в

точці перегину кривої иС(2), в подальшому струм прямує до нуля.

Оскільки при 2 = +0 струм кола дорівнює нулю, а отже, ик (2) = 0, напруги

на ємності та індуктивності однакові за величиною, але протилежні за знаком. Напруга на індуктивності дорівнює нулю, коли струм досягає максимуму. В момент часу 22 = 22,, коли крива струму має точку перегину, напруга на

індуктивності досягає максимального значення, а далі зменшується до нуля.

Під час розрядження ємності енергія електричного поля в моменти часу 2 < 21 частково перетворюється в тепло в опорі, а частково переходить у

магнітне поле індуктивності. При 2 > 21 енергія електричного і магнітного полей

перетворюється в теплову (оскільки при 2 < 2, струм кола зростає за модулем,

що відповідає збільшенню запаса енергії магнітного струму, а при 2 > 21 струм, і

відповідно, запас енергії зменшується).

,

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. ЧЛі иСвя )

Е

0

Ер1 еРХІ

р1 - Р\

иСвл (ї)

І1

Ер1

р1 - р1

а

0

ЕеРі 1

      \ Еер^

иЬвл (1)

Ер1 ер її

б

Рисунок 6.11 - Графіки струмів і напруг у колі Я, Ь, С а, б, в - аперіодичний режим, г - критичний режим

6.3.2 Критичний (граничний аперіодичний) режим

На межі між коливальним і аперіодичним режимами існує критичний вільний режим. Він відповідає кратним кореням характеристичного рівняння, коли Я = 2р, 2 = 0,5, p1 = р2 = -8. У цьому режимі 8 — сорез, частота вільних

/22

коливань ювл = д/8 - юрез — 0, а період вільних коливань Твл — оо.

Загальний розв'язок рівняння (6.44) для кратних коренів має вигляд (6.П):

иС вл (2) = (А, + А22 )е "82. (6.52) Сталі А, і А2 визначають з початкових умов. Якщо підставити значення 2 =+0 до виразу (6.52), тоді иСвл(+0) = А,. Друге рівняння отримують із співвідношення:

3044

L(t) = c(t) = = C(-SAle-8t + A2e~S - A2tSe-8t); і,(+0) = C(-8A + A2).

at

Оскільки Uc (+0) = Uc (-0) = E,       іь (+0) = іь (-0) = 0, то

fE = 4; 0 = -84 + A2 ;

A2 = 8A1 = 8E.

Тоді Uc вл (t) = E (1 + 8t )e"8t; (б.53)

івл (t) = C (-SEe~St + SEe~St - EtS2e~St) = -CES2te~St.

22

З огляду на те, що у критичному режимі 8 = -урез = І / LC,

івл (t) = - Lte ~5t; (б.54)

^вл(t) = L^Op- = -e(e~St - Ste~St) = Ee~St(St -1). (б.55) at

Криві змінювання напруги на ємності та індуктивності і струму у колі, знайдені за формулами (б.53) - (б.55), зображено на рис.б.12, г. Ці залежності аналогічні кривим (рис.б.12, а-в). Струм буде максимальним за абсолютною величиною при tmax /8. Аналізуючи графіки, можна стверджувати, що власні процеси у даному випадку також мають аперіодичний характер. Тобто умова сорез =8  є граничною умовою існування аперіодичного процесу в

контурі.

6.3.3 Коливальний режим у колі r, l, c

Якщо 8 < С0рез (R < 2p), то корені характеристичного рівняння (б.45) утворюють пару комплексно-спряжених чисел p1 = -8 + jcoBJI; p2 = -8 - jcoBJI

(рис.б.ІІ, в). Тоді справедливий розв'язок (б.І0) або аналогічний запис з використанням функції косинус:

^вл(t) = Ae_8t cos(ювлt + у) .

Струм у колі визначається співвідношенням:

івл (t) = C (t) = CdUc (t) = -CA8e"8t cosBлt + у) - CAe~5t ювл sinвлt + у).

at

Підставивши значення +0 в отримані вирази і враховуючи початкові умови Uc (-0) = E; і(-0) = іL (-0) = 0, а також закони комутації, аналогічно

рівнянням (б.48), записують систему для визначення сталих A та у:

fE = A cos у ;

[0 = 8A cos у + Aco^ sm у ,

звідки виходить:

tgу = 8-;       A = -E— = Eyj 1 + tgV = Eyj 1 + 82/св2л = E--Урез

ювл cos у СУ.

влде рез = V—2л + §2 ;     (-у) = arctg-

«вл

Підстановка значень A та і|/ у вираз для напруги на ємності дає:

Есо

UCвл(0 = ^рЄз^"§t COs(oW -      - (6.56) «вл

Аналогічно,   підставляючи   A   та   у   до   виразу   для   струму та використовуючи формулу

a sin х + & cos x = r sin(x + y) = r cos(90 - x-y); r = V a + b ;      y = arctg—,

a

Е«вл

Напругу на індуктивності визначають диференціюванням виразу (6.57):

можна записати:

UL вл (t) = L     1     =--1-§Є      Sin влt + —влЄ     COS вл^:

dt        —в

вл

E E /-

—є(sin —   - —вл cos ) =--є2л + 52 cos(—+ у);

«вл «вл

Е«

иЬвл ) =--^ Є-& СОВ(«вл^ + У) - (6.58)

«вл

Криві, побудовані за формулами (6.56) - (6.58), зображено на рис.6.13. Аналіз цих графіків показує наступне:

1. Оскільки процес відбувається за рахунок власної енергії кола, він ви­кликає вільні коливання, які були б синусоїдними, якби амплітуда була постійною за часом. В даному випадку амплітуда зменшується за експоненційним законом, тому ці коливання звуться загасаючими. Період загасаючих коливань Твл = 2п/«вл, де «вл - частота вільних коливань.

2. Відповідно, такий розряд ємності зветься коливальним. Для добротного кола значення кута і|/ наближається до 0°, тому розряд починається майже з величини Е (хоча невеличкий зсув відносно осі ординат таки є). Напруга на ємності зменшується і змінює знак, тобто відбувається перезарядження ємності. Розряд ємності супроводжується втратою енергії, яка переходить до індуктивності. Отже, з енергетичної точки зору, процес власних коливань в контурі можна розглядати як результат неперервного перерозподілу енергії між Е і С, між електричним і магнітним полями.

3. Графік иквл ) збігається з графіком /вл (і) з точністю до постійного

коефіцієнта. У будь-який момент часу сума напруг у вільному режимі дорівнює

нулю: иЕ вл (І) + иЯ вл (І) + иС вл (І) = 0.

Деякий зсув між синусоїдами иЕвл ) та исвл ) непомітний, тому що коло в коливальному режимі має високу добротність.

30б

Рисунок 6.13 - Графіки струму і напруг у колі Я, Ь, С в режимі вільних коливань

4. Якщо Я << , коливання існують довго, і коло є послідовним коливальним контуром. Швидкість загасання вільних коливань характеризується коефіцієнтом 8, тому він зветься коефіцієнтом загасання. Чим менше значення 8, тим довше тривають коливання.

Швидкість загасання вільних процесів характеризується також логарифмічним декрементом загасання 0, який визначається як натуральний логарифм відношення амплітуд напруг иСвл ), иЬвл ) або струму івл ) у

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації