Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 55

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

моменти часу ґ1 і ґ1 + Твл.

Щоб пояснити зміст величини 0, слід записати вираз (6.57) у вигляді:

Тоді зрозуміло, що

0 = 1п     Іт = Ід     V-*'   ) = 1п е8Твл = 8Твл.

Величини 8, совл, 0 визначаються параметрами кола:

«вл = д/«2ез- 8 = «рез

Якщо добротність 6 >>1, «вл —» «рез. Тоді

Я 2п      пЯ п 0 = 8Твл =--=-= — = па ,

2Ь «вл    Ь«рез 6

де а - загасання. Наприклад, при добротності 6 = 40, а = 0,025; 0 = 0,08.

1 -

_8І

2

«рез

« рез

Я

2 Ь« рез

« рез

' 1 ^2

V 26 у

; 6

«рез Ь

Я

2

Коефіцієнт загасання контуру 8 пов'язаний з його добротністю 2 та

Я      Ясорез      юрез     1 7

загасанням а: 8 = — =--— =       = — сореза .

2Ь   2сорезЬ    2(2    2 рез

5. При ґ = 1/ 8 ордината обвідної (крива, яка характеризує змінювання

амплітуди коливань за часом, зветься обвідною) І0е~8ґ у е = 2,718 рази менша,

ніж початкове значення 10. Тому величину 1/ 8 можна вважати сталою часу

коливального контуру: т = 1/ 8 = 2Ь / Я. Крім того,

2Ь = 2 Ьс0рез = 2д_ = 2

Я    Яс0рез    юрез 2Аюп

З останнього виразу можна зробити важливі висновки:

а) т • 2Асоп = 2. Аналогічно, для кола першого порядку т • Пю = 1. Отже, стала часу жорстко пов'язана з шириною смуги пропускання (СП). Якщо добротність 2 велика (СП - вузька), коливання тривають довго, і навпаки, якщо 2 низька (СП - широка), коливання швидко загасають;

б) оскільки 2 = &>резт /2, можна експериментально визначати добротність

контуру за обвідною загасаючих коливань.

6.3.4 Увімкнення джерела постійної напруги до кола я, ь, с

Схема кола Я, Ь, С, до якого вмикається джерело Е, зображена на рис.6.10, б. Диференціальне рівняння для даної схеми відрізняється від (6.44) тим, що є неоднорідним (тобто правою частиною):

йиС )   Я йпС )   иС ) Е

—+--+ СУ ' =-. (6.59)

аґ2    Ь аґ     ЬС ЬС

За класичним методом розв'язок рівняння (6.59) шукають у вигляді:

Вираз для вільної складової иСвл) збігається з формулою (6.46), а

вимушена складова иСвм ) дорівнює Е: иС ) = А1еРх1 + А2еР2ґ + Е .

Вираз для струму можна знайти за формулою:

С(ґ) = = СА1 Р1ер1ґ + СА2Р2ер2ґ.

аґ

Якщо скласти систему рівнянь для моменту часу ґ = +0:

гиС (+0) = А1 + А2 + Е ;

Іс (+0) = СА1Р1 + СА2 Р2, та врахувати нульові початкові умови, тоді

'° = А1 + А2 + Е ; А1 = ;   А2 =-^^.

Визначивши значення сталих А1 і А2 , можна записати:

30^ис) = Е   Рі   ері - Е   Рі    еР2і + Е ; (6.60) Р\ - р2 р1 - р2

іс) = = СЕРР^(ер11 - ер21).

Оскільки р1 р2 = 1/ ЕС, то

іс) = т( Е    )(ері1 -ер2і); (6.61)

Е( 1 - 2)

иЕ ) = Е ^ = Е —р^- ері1 - Е ер21. (6.62)

Порівняння виразів (6.60) - (6.62) і (6.49) - (6.51) призводить до висновку:

1) коефіцієнти А1 і А2 змінюють знак;

2) виникає вимушена складова: исвм ) = Е, иЕвм ) = 0, івм (і) = 0.

Отже, при увімкненні джерела постійної напруги Е можна скористатись виразами, які було отримано для вільного режиму, але змінити знак вільної складової на протилежний і додати вимушену складову.

Так, для критичного режиму з формул (6.53) - (6.55) виходить:

ис) = Е - Е(1 + 8і)е"5і; (6.63)

і(і) =        "8і; (6.64)

иЕ ) = Ее"§і (1-8і). (6.65)

Згідно з формулами (6.60) - (6.62) на рис.6.14, а побудовано криві для аперіодичного режиму (Я > 2р; р12 < 0), а згідно з виразами (6.63) - (6.65) на

рис.6.14 б - для граничного аперіодичного режиму (Я = ; р1 = р2 = -8). Для

обох режимів напруга на ємності плавно зростає від нуля до значення Е. Аналогічно     вільному     режиму,     струм     досягає     максимуму при

1 р

і = і1 =-1п—^ а напруга на індуктивності - при і2 = 2і1.

1 - 2 1

Аналогічно, змінюючи знак вільної складової та додаючи вимушену складову, з формул (6.56) - (6.58) можна здобути вирази для напруг на ємності та індуктивності і струму у колі для коливального режиму:

Ею

ис) = Е--резе"8і соб(ювлі - у); (6.66)

і(і) =-е 8і бйіювлі; (6.67)

Еювл

Ею

иЕ ) = рез е "8і соб(ювлґ + у). (6.68)и ), і (і)

а

0

б

0

Г

Рисунок 6.14 - Графіки струмів і напруг у колі Я, Е, с при увімкненні до джерела постійної напруги: а - аперіодичний режим; б - критичний режим

Відповідні графіки зображено на рис.6.15. Аналіз графіків показує:

1) у будь-який момент часу сума напруг на елементах кола дорівнює Е;

2) коливання  є  загасаючими,   стала  часу  визначається аналогічно вільному режиму: т = 1/ 8 = 2Е / Я;

3) якщо значення сталої часу велике, коливання загасають повільно. Тому через інтервал часу Твл / 2 після моменту комутації напруга на ємності ис = 2Е,

тобто можливе явище перенапруги. Це явище практично використовується тоді, коли необхідно отримати напругу, яка майже у два рази перевищує напругу джерела енергії (в імпульсній техніці, радіопередавальних пристроях тощо).

и ), і(і)

исвм (і)

^-----

т

в

Рисунок 6.15 - Графіки струму і напруг у колі Я, Ь, С при увімкненні джерела постійної напруги (коливальний режим)

6.4 Перехідні процеси у колах Я, с; я, ь; я, ь, с при синусоїдній дії

6.4.1 Увімкнення джерела синусоїдної дії до кола Я, с

При увімкненні синусоїдної дії перехідні процеси значною мірою залежать від фази напруги (струму) джерела в момент комутації.

Нехай коло Я, С (рис.6.16, а) вмикається до джерела синусоїдної напруги е(і) = Ет соз(соі + уЕ) за нульових початкових умов: %(-0) = 0.

Якщо необхідно визначити закон змінювання напруги на ємності, можна скористатись рівнянням (6.39), яке в даному випадку матиме вигляд:

ЯСІиС(і)

(6.69)

Диференціальному рівнянню (6.69) відповідає характеристичне:

ЯСр +1 = 0.

а

б

в

Рисунок 6.16 - Кола, які вмикаються до джерела синусоїдної напруги

За класичним методом розв'язок рівняння (6.69) можна знайти, як

де иСвл(і) = Ае-І, рі =-1/ЯС = -1/т . Оскільки дія є синусоїдною, вимушена складова визначається методом комплексних амплітуд:

Перехід від комплексної амплітуди до миттєвого значення дає:

де

Отже,

Стала А обчислюється з початкових умов і закону комутації:

\иС (+0) = А + итС С0Ї5 уиС ;

иС (-0) = 0;

Визначивши А, можна записати кінцевий вираз для шуканої напруги:

UC (t) = -Umc cosyUC Є t/T + Umc cosH + yUc)

(6.7G)

Отже, напруга на ємності дорівнює сумі двох складових. Залежно від величини \\>иС спостерігаються два характерних випадки.

1. Нехай в момент увімкнення джерела миттєве значення вимушеної складової дорівнює нулю. Це можливо, якщо \\U  = ±п/2. Тоді cos\\U  = 0,

uc вл (t) = 0 і перехідних процесів не виникає.

2. У загальному випадку, коли \\U фп/2; cos\\U  ф 0, напруга на

ємності, як це видно з (6.70), може суттєво відрізнятися від напруги вимушених коливань Uc вм (t). Найхарактернішим у цьому сенсі є перехідний процес, який

спостерігається при \\U  = 0, п (рис.6.17, а).

У нульовий момент часу сума напруг Ucвл (t) + Ucвм (t) = 0 . Потім виникає перехідний процес, який закінчується через 4,6т. При t > 4,6т вільна складова практично дорівнює нулю і графік Uc (t) збігається з кривою Ucвм (t). Після замикання ключа через проміжок часу Твл /2, напруга Uc (t) > Umc. Отже,

максимум напруги на ємності може перевищувати амплітуду вимушеної складової майже удвічі (особливо, якщо стала часу велика).

U c(t >

Umc

G

c

G

i (t)

1 m

G

2п

т>> T= — со

i(t)

у вм =п

б

Рисунок 6.17 - Графіки струмів і напруг при увімкненні до джерела синусоїдної напруги кіл: а - Я, С; б - Я, Ь

6.4.2 Увімкнення джерела синусоїдної дії до кола я, ь

Нехай коло Я, Ь (рис.6.16, б) вмикається до джерела синусоїдної дії є(ї) = Ет сов(соґ + Е) за нульових початкових умов. Якщо треба знайти струм у колі, можна скористатись рівнянням (6.43):

L

dt

+ Ri(t) = Em cos(cot + уE).

Розв'язок цього рівняння: i(t) = i (t) + i  (t) = Ає t + івм(t).

t

Оскільки дія змінюється за синусоїдним законом, вимушену складову струму знаходять методом комплексних амплітуд:

Е      Е ре и ре

де _ Ет / Дч/1 + (ют)2 ;  у вм Е-ф_У е~ arctg ЮІ; 1 _1/Я.

Тоді і(г) _ Ар-/г+ Іт соБ+ увм).

Сталу А визначають з початкових умов і закону комутації:

іЬ (+0) _ А + Іт С08 У вм ; іЬ (-0) _ 0; А _-^ С08 у вм .

Отже, кінцевий вираз для струму у колі буде такий:

і(г) _-Іт С08увмр"г/Г + Іт С0$(®г + увм) . (6.71)

Аналогічно режиму кола Я, С (див. п. 6.4.1), залежно від початкової фази вимушеної складової струму можливі два характерні випадки.

1. Відсутність перехідного процесу, коли увм _ ±п /2. При цьому у

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації