Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації - страница 58

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 

(6.2) при г -—с для х(г) = 1), у ) = ё ):

/>0 ё (со) = й?0, звідки ё (со) і виразу (6.8) для КПФ кола при а = 0

н (0) = V V

З фізичної точки зору, слушність співвідношення (7.7) пояснюється одна­ковою поведінкою реактивних (накопичувальних) елементів кола Ь, С в ре­жимі синусоїдної дії з частотою со = 0 та в усталеному режимі — оо) при дії постійного джерела. В обох режимах ємності заряджені до постійної напруги (розімкнені), а через індуктивності проходить постійний струм (замкнені).

Аналогічно можна обгрунтувати співвідношення (7.8). При дії сину­соїдного джерела з частотою со — о в момент часу ґ = +0 при перехідному процесі у колі з нульовими початковими умовами ємності замкнені, а індуктивності розімкнені. Можна показати (виконати самостійно), що

Г   0, якщо т < п ; g (+0) = Н (;оо) = ^ /

/ Ьп, якщо т

п.

Приклад 7.1. Знайти перехідні характеристики кола (рис.7.4, а), вважаючи дією напругу джерела, а відгуками - струми іх ), і2 ), Іс ) та напругу пс ) . Побуду­вати графіки перехідних характеристик.

є(і у

а

Я2

І2 )

б

Я>2

І2 (+0)

Рисунок 7.4 - До прикладу 7.1: а - схема кола; б - режим кола для і = +0

Розв 'язання. У прикладі 6.3 розглянуті перехідні процеси для аналогічної схеми (рис.6.3, а). Скористуємось знайденим там коренем характеристичного рівняння, спільного для всіх процесів даного кола, Рі =-(І\ + , якому відповідає

однакова для всіх процесів стала часу кола

т = -1/ р1 = Я1Я2С /(Я1 + Л2). (7.9)

Виходячи з фізичного значення перехідних характеристик, проаналізуємо перехідний режим кола при увімкненні його до джерела постійної напруги (рис.7.4, а) за нульової початкової умови ис (—0) = 0. Струми кола і напруги на ємності згідно з класичним методом запишемо у вигляді:

і ) = Лге— +    ); ис ) = Лисє-1 + исвм ), (7.10)

де стала часу кола т визначається за формулою (7.9).

Вимушені складові, які входять до розв'язку (7.10), знаходимо, розглядаючи усталений режим з постійним джерелом Е:

І1вм = І2вм = Е /(Я1 + Я2); ІСвм = 0; иСвм = ЕЯ2 /(Я1 + Я2).

Щоб знайти сталі інтегрування ЛІ, Лис у рівняннях (7.10), визначимо по­чаткові значення струмів і напруг на ємності за еквівалентною схемою кола для і = +0 (рис.7.4, б): І1(+0) = ІС(+0) = Е/Я1; І2(+0) = 0; иС(+0) = иС(—0) = 0.

Сталі інтегрування знайдемо, підставивши до рівняння (7.10) вимушені та початкові значення струмів і напруги на ємності для моменту часу і = +0 :

Е

Лі

Е

ЕЛ2

42 = г2(+0) - '2вм

Е

Лі + Л2

4С = С(+0) - Свм = ^/Яі; = «С(+0) " «Свм = -^ /(Я + я2) Складемо кінцеві вирази для шуканих миттєвих значень:

їі(*) = Апє-1 Іт

івм

Е

(і) = 2

і Іт Е

-є~1 Іт+-

Е

Лі + Л2

Е

Лі + Л2

Лі + Л2

Лі + Л2

(і - є-іІт);

іс ) =        ІТ+ і'свм ) = Еє-Іт І Лі

ис (і) = 4ис^ Іт+ исвм )

ЕЛ2

Лі + Л2

-є~і Іт+-

ЕЛ2

ЕЛ2

Лі + Л2

Лі + Л2

(7.іі)

(7.і2) (7.і3)

є-Іт). (7.і4)

Побудуємо графіки миттєвих значень струмів      ), і'2(і), с ) (рис.7.5, а) і

напруги ис ) (рис.7.5, б).

За визначенням, перехідні характеристики чисельно дорівнюють виразам (7.іі) - (7.і4) при Е = і. Для того, щоб при і < 0 забезпечити рівність g(і) = 0,

прийнято, записуючи перехідні характеристики, використовувати множник і):

Л2

-є~і Іт +

і

Лі + Л2

і

Лі + Л2

і(і);

^,^с (і) = 2(і - є~" 7)І(Лі + Л2)|-

Перехідні характеристики gi1(і), gl2(і), giс ) мають розмірність провідності (См), а перехідна характеристика guc ) безрозмірна (рис.7.5, в, г).

Приклад 7.2. Перевірити граничні співвідношення (7.7) і (7.8) для перехідної характеристики gi1(і) і КПФ Н_а(ю) у колі (рис.7.4, а).

Розв'язання. Використовуючи знайдений у прикладі 7.і вираз для перехідної характеристики gil (і), запишемо її граничні значення для і = +0 і і оо:

й'і(40) = іІ Лі;  gil{co) = іІ(Лі + Л2). Визначимо у загальному вигляді КПФ Н_цИ), яка є комплексною вхідною провідністю даного кола, і подамо її у стандартній формі (6.8):

I і

Е

(7.і5)

Лі +

_[_=      Я2 )ооС +1

КгІІ©С   = Я1Я2ісоС + Я1 + Я2 Я2 +1/ ісоС

Знайдемо граничні значення КПФ, використовуючи вираз (7Л5):

Яя(0) = 1/(Я1 + Я2); ЯлО») = 1/Ях. Перевіримо слушність граничних співвідношень:

£л(») = Яі1(0) = 1/(Я1+ Я2) = V"о; (+0) =        ) = 1/Я1 = Vа1г де а0 = Я1 + Я2, а1 = Я1Я2С, Ь0 = 1, Ь1 = Я2С - відповідні коефіцієнти при і© у знаменнику і чисельнику стандартних форм запису КПФ (6.8) і (7.15).

Е_

Е

Лі+Л2

а

0

Лі

Лі2

їі(і)

/'с (і)

gll(і)

^ 2(і )

иС (і )

Лі2

б

0

і

guc ) Лі2

0 і 0 і

Рисунок 7.5 - Графіки до прикладу 7.і: а, б - перехідні процеси при увімкненні джерела є(і) = Е; в, г - перехідні характеристики

Приклад 7.3. Визначити перехідну характеристику кола, призначеного для ек­ранування елементів А і В (див. приклад 3.9, рис.3.30, б), вважаючи дією напругу «вх (і), а відгуком - напругу «ь (і) . Параметри кола взяти з прикладу 3.9.

Розв язання. Поклавши «вх (і) = 1(і) (рис.7.6, а), розрахуємо режими кола, які

характеризують шукану перехідну характеристику.

Перехідну характеристику знайдемо класичним методом у вигляді:

8 ) = [ 8 вл (і) + 8 вм ]1(і), де 8вл (і), 8 вм - відповідно вільні та вимушені складові розв'язку. Вимушену  складову розв'язку знайдемо,  розглядаючи усталений режим

— оо) при постійній одиничній напрузі на вході (рис.7.6, б): 8вм = «ь (») = 0.

Щоб знайти характеристичне рівняння кола прирівняємо до нуля вхідний опір

кола ^вх(©), замінивши і© на р (див. п.6.1.2):

Х вх (р) = _1_ + Лз (Л + іІ Рс2)

і  + рс2Л3Ль + Лз

рсі   Лз + Ль + іІ        рсі   рс2з + Ль) + і

Лз Льр2 + 2( Лз + Ль) + сіЛз ] р + і

р 2са( Лз + ль ) + рсі

= 0.

і

і

і

і

в

г

А

02,

а о

А

і(+0)

ивх (+0) = і

с 2(+0)

ї

А

о-

иь (+0)

з;

о-

В

ивх (со) = і

б о­

иь(со)

Рисунок 7.6 - До прикладу 7.3: а - схема кола; б - режим кола при і—да; в - режим кола при і = +0

Прирівнюючи нулю чисельник Zвх (р), отримаємо характеристичне рівняння:

р 2 + с2(Лз + ЛЬ ) + сіЛз р + сіс2 Лз ЛЬ

і

сіс2 Лз ЛЬ 0

яке має два корені:

р12 = /2±уіа2/4-Ь , де а = (С2(Яз + ЯЬ) + С1Яз)/С1С2ЯзЯЬ ; Ь = 1/С1С2ЯзЯЬ.

Обчислимо значення коренів для заданих параметрів кола: Р1 = -1,67 ■Ю10 с-1,

7 1

Р2 = -9,96 -10 с- . Для різних дійсних коренів характеристичного рівняння вільна

складова має вигляд (6.9): 8вл (і) = 41ер1 + 42еР2і, де 41, 42 - сталі інтегрування.

Щоб розрахувати 41, 42, скористаємось формулами (6.15), (6.16) і запишемо значення перехідної характеристики та її похідної в момент і = +0 :

|   8(+0) = 41 + [ 8X+0) = Р141 + Р242 . Вираз похідної 8 (і) знайдемо з рівняння Кірхгофа для схеми (рис.7.6, а).

« (і\ = «  (і\   «   (і\   « й[«ь)] == й[8(і)] = ^«вх(і)   й«с 1(і)   ^«С2(і)

«Ь(і) = «вх(і)   «С1(і)   «С 2(і);       т     —     т    =     т т т ^

01 01 01 01 01

Врахувавши диференціальне співвідношення між напругою і струмом в ємності: —= ^   , отримаємо: = 0    С1       С 2

(7.і6)

(іі

с

іі

с2

Щоб визначити початкові значення перехідної характеристики та її похідної, розглянемо режим кола для і = +0 (рис.7.6, в): g (+0) = щ (+0) = і;

і [ g (+0)]      і   Лз + ЛЬ     і   Лз + ЛЬ     Лз    =   Лз + ЛЬ і

сі     Лз ЛЬ       с2     Лз ЛЬ     ЛЬ + Лз        сіЛз ЛЬ     с2 ЛЬ

Тоді система (7.і6) матиме вигляд:

і = 4 +

-(Лз + Ль сіЛз Ль - іІ с2 Ль = р Аі + р2 А2 .

в

Розв'язуючи цю систему, знаходимо: . = -(Я3 + Яь)/Яь -1/С2Яь -р2 .     = А + (Яз + Я)/С!^зЯ +1/С2Я .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації